Geometric series sum to figure out mortgage payments

Figuring out the formula for fixed mortgage payments using the sum of a geometric series

Quello che voglio fare in questo video e' dare un'occhiata alla matematica

che sta dietro ad un prestito per un mutuo.

E non sara' un video finanziario.

In realta' ci sara' un sacco di matematica.

Ma tocca, almeno nella mia testa, una delle domande

piu' basilari che mi sono ronzate in testa

per un sacco di tempo.

Sai, otteniamo i prestiti per comprare le case.

Diciamo che ottieni un prestito di 200,000 dollari.

E' assicurato dalla tua casa.

Lo ripagherai in --- 30 anni, o potresti

dire 360 --- mesi.

Perche' normalmente paghi ogni mese, gli

interessi di solito si accumulano a base mensile.

E diciamo che paghi il 6% di interesse.

Questo e' l'interesse annuale, e di solito si accumula

a base mensile, quindi e' 6% diviso 12.

Parli di uno 0,5% al mese.

Ora normalmente quando ottieni un prestito del genere, il tuo consulente

finanziario o il bancario guarda in qualche tabella o

inserisce qualche numero su un'applicazione su un computer.

E dicono: oh, ok, dovrai pagare

1.200 dollari al mese.

E se paghi $ 1.200 al mese per 360 mesi alla fine

dei 360 mesi avrai ripagato i $200.000

piu' gli interessi accumulati.

Ma non e' semplice arrivare a questo numero.

Facciamo un esempio di come funziona un prestito vero.

Quindi al giorno zero hai $200.000 di prestito.

200 K

Quindi non paghi il mutuo.

Paghi la tua prima rata

tra un mese da oggi.

Quindi l'ammontare sara' aumentato dello 0,5%, che

in decimale e' 0,005.

Quindi in un mese, con gli interessi, questo sara'

aumentato a 200.000 * (1 + 0,005).

Quindi paghi $1.200.

Sara' -1.200 o magari scrivo 1,2K.

Ma ti sto solo mostrando l'idea.

E poi il successivo prossimo, quel che resta

sara' di nuovo aumentato dello 0,5%, 0,005.

E poi il mese successivo torni e

devi di nuovo pagare $1,200.

- 1.200.

E questo succede 360 volte.

Quindi continui a fare questa cosa.

E puoi immaginare se provi sul serio a risolvere

questo numero --- alla fine avrai questa espressione

enorme che avra' sai 360 parentesi

qui --- e alla fine il tutto sara' uguale a 0.

Perche' dopo aver pagato l'ultima rata

hai finito di pagare casa.

Ma in generale come hanno calcolato questi pagamenti?

Chiamiamolo p.

C'e' un modo matematico per capirlo?

E per farlo, andiamo su un livello un po' piu' astratto.

Diciamo che L e' l'ammontare del prestito.

Diciamo che I e' l'interesse mensile.

Diciamo che n e' il numero dei mesi

con cui abbiamo a che fare.

E poi impostiamo p uguale al nostro pagamento

mensile, la nostra rata mensile del mutuo.

Un po' del quale e' interesse, un po' e' il capitale, ma e'

lo stesso ammontare che paghi ogni mese per ripagare

il prestito e gli interessi.

Percio' questo e' il pagamento mensile.

Quindi questa stessa espressione che ho scritto qui, se l'ho scritta

in termini astratti, inizi con un mutuo l.

Dopo un mese cresce di 1 + i.

Quindi lo moltiplichi per 1 + i. In questa

situazione i era 0,005.

Poi paghi una rata mensile di p, quindi -p.

Quindi questo e' alla fine del primo mese.

Ora hai un qualche ammontare rimasto di mutuo da pagare.

Questo si somma al prossimo mese.

Poi avrai un altro pagamento p.

E questo processo si ripete 300 o n volte,

perche' lo sto facendo astratto.

Avrai n parentesi.

E dopo averlo fatto per n volte, tutto questo

sara' uguale a 0.

Quindi la mia domanda, quella che sto ponendo

in questo video, e' come risolviamo p?

Sai, se sappiamo l'ammontare del prestito, sappiamo l'interesse

mensile, sappiamo il numero di mesi, come

risolviamo p?

Non sembra che sia una equazione

algebrica semplice de risolvere.

Vediamo se arriviamo da qualche parte.

Vediamo se riusciamo a metterlo in forma generica.

Quindi iniziamo con un esempio di n = 1.

Se n = 1, la situazione sara':

prendi il prestito, ci sommi gli interessi di un mese,

1 + i, poi paghi la rata mensile.

Ora questo e' un mutuo che viene pagato in un mese,

quindi dopo quella rata hai finito di pagare il mutuo,

non ti resta niente.

Quindi se risolviamo p, puoi scambiare i lati.

Ottieni p = l * (1 + i).

E se dividi entrambi i lati per 1 + i ottieni

p / (1 + i) = l.

E potresti dire: hey, hai gia' risolto p

perche' stai facendo questo?

Lo sto facendo perche' ti voglio mostrare

uno schema che uscira' fuori.

Vediamo che succede quando n = 2.

n = 2

Beh inizi con la cifra del mutuo.

Si incrementa degli interessi di un mese.

Effettui il pagamento.

C'e' un qualche ammontare rimasto.

Si incrementa degli interessi di un mese.

Effettui un secondo pagamento.

Ora questo mutuo necessita di due soli pagamenti,

quindi adesso hai finito.

Non hai mutuo residuo.

Hai pagato il capitale e gli interessi.

Ora risolviamo p.

Quindi ora coloro le p.

Faccio questa p rosa.

Quindi sommiamo p a entrambi i lati e scambiamo i lati.

Quindi questa p verde sara' uguale a tutta

questa faccenda qui.

E' uguale a l * (1 + i) meno questa p rosa.

E' la stessa p, voglio solo farti vedere cosa

sta succedendo algebricamente.

Meno questa p rosa per (1 + i).

Ora se dividi entrambi i lati per 1 + i ottieni

p / (1 + i) = l * (1 + i) meno questa p rosa.

Ora sommiamo questa p rosa a entrambi i lati dell'equazione.

Ottieni la p rosa piu' questa p su (1 + i)

= l * (1 + i).

Ora dividiamo entrambi i lati per 1 + i.

Ottieni la p rosa fratto 1 + i piu' la p verde, la stessa p,

per --- e' gia' diviso per 1 + i,

lo dividi di nuovo per 1 + i, quindi sara'

(diviso 1 + i)^2 = al prestito.

Sta emergendo una cosa interessante.

Magari guardati i video sul valore attuale.

In questa situazione prendi la rata, la sconti

dell'interesse mensile, ottieni il prestito.

Qui prendi le rate, le sconti,

dividi per 1 + l'interesse mensile elevato

al numero di mesi.

Quindi essenzialmente prendi il valore attuale delle

rate e di nuovo ottieni l'ammontare del prestito.

Potresti volerlo verificare da te se ti va di

fare un po' di pratica con l'algebra.

Se lo fai con n = 3.

Non lo faro' per motivi di tempo.

Se fai n = 3, otterrai

che il prestito e' p / (1 + i) + p / (1 + i)^2

+ p / (1 + p)^3.

Se hai tempo, ti incoraggio a dimostrartelo

usando lo stesso identico processo che abbiamo usato qui.

Vedrai che diventa un po' peloso.

Dovrai fare un sacco di manipolazioni, ma

non ti ci vorra' molto.

Ma in genere, si spera, ti ho fatto vedere che possiamo scrivere

il prestito come il valore attuale di tutte le rate.

Quindi potremmo dire in generale il prestito, se ora

lo generalizziamo con n invece di avere n uguale ad un numero, potremmo

dire che e' uguale a --- estraggo p

dall'equazione, quindi e' uguale a p, * ( 1 / (1 + i)

+ 1 / (1 + i)^2 +, e continui

a farlo n volte, + 1 / (1 + i)^n).

Adesso magari lo riconosci.

Questa qui e' una serie geometrica.

E ci sono modi per capire la somma di una serie

geometrica per termini arbitrari.

Serie Geometrica.

Come promesso all'inizio del video questa

sara' un'applicazione di una serie geometrica.

E' uguale alla sommatoria di 1 / (1 + i)^ --- beh, usero'

qualche altra lettera, alla j, per j che va da 1.

Questo e' alla potenza di 1, puoi vederlo come elevato alla prima,

a n.

Questa somma e' esattamente questo.

Vediamo se c'e' un modo semplice per risolvere questa sommatoria.

Non vuoi farlo 360 volte.

Potresti, ottieni un numero e poi puoi dividere

l per quel numero e avresti risolto p.

Ma ci deve essere un modo piu' semplice di farlo, quindi vediamo

se riusciamo a semplificare.

Per rendere piu' semplici i calcoli , fammi definire una cosa.

Diciamo che r = 1 / (1 + i).

E fammi chiamare questa sommatoria s.

Questa sommatoria e' uguale a s.

Poi se dico che r e' uguale a ognuno di questi termini allora s

sara' uguale a, questo sara'

r alla prima.

Scrivo r^1, questo sara' r^2, perche'

se elevi il numeratore ottieni di nuovo un 1.

Quindi questo piu' r^2 + r^3, piu'

tutta la serie fino a r^n.

E ti mostro un trucchetto.

Mi dimentico sempre la formula, quindi questo e' un buon modo di

capire la sommatoria di una serie geometrica.

In realta' questo potrebbe essere usato per trovare la sommatoria di una serie

geometrica infinita se ti va, ma abbiamo a che fare

con una finita.

Moltiplichiamo s per r.

Quindi a cosa sara' uguale r per s?

Se moltiplichi ognuno di questi termini per r, moltiplichi r

alla prima per r ottieni r^2.

Moltiplichi r^2 per r ottieni r^3.

E continui cosi', moltiplichi r ---

vedi qui c'e' una r^(n-1) --- moltiplichi quello

per r, ottieni r^n.

E poi moltiplichi r^n * r, ottieni

piu' r(n+1).

E questo qui e' tutti questi termini moltiplicati

per r, li ho solo messi sotto lo stesso esponente.

Adesso quello che puoi fare e' sottrarre questa linea

verde da questa linea viola.

Quindi se diciamo s - rs, cosa otteniamo?

Sto solo sottraendo qusta linea da questa linea.

Beh, ottieni r1 - 0, quindi qui ottieni

r^1 meno niente.

Ma poi hai r^2 - r^2 si annullano,

r^3 - r^3 si annullano.

Si annullano tutti, fino a r^n - r^n

si annullano, ma poi ti rimane

quest'ultimo termine qui.

Per questo e' un trucchetto carino.

Ti rimane - r^(n + 1).

Ora estraiamo una s.

Ottieni s * (1 - r) --- ho solo estratto la s ---

= r^1 - r^(n + 1).

E ora dividi entrambi i lati per

1 - r, ottieni la tua sommatoria.

La sommatorie e' uguale a (r - r^(n + 1)) / (1 - r).

La nostra sommatoria e' uguale a questo, con la r

definita in questo modo.

Quindi ora puoi riscriverti tutta questa formula pazzesca.

Possiamo dire che il prestito e' uguale alla rata

mensile moltiplicata questa cosa.

Lo scrivo in verde.

Per r - r^(n + 1).

Il tutto su 1 - r.

Ora se proviamo a risolvere p moltiplichi entrambi i lati

per l'inverso di questo, ottieni p = al tuo prestito

per l'inverso di questo.

Lo faccio in rosa, perche' e' l'inverso.

(1 - r) / (r - r^(n + 1)).

Dove r e' questa cosa qui.

E abbiamo finito.

Le rate mensili di un prestito

si calcolano sul serio cosi'.

Applichiamolo.

Quindi diciamo che il prestito e' uguale a $ 200.000

Diciamo che il tasso di interesse e' del 6% annuo,

che e' lo 0,5% mensile che e' come dire 0,005.

Questo e' l'interesse mensile.

E diciamo che e' un prestito a 30 anni, quindi n sara'

uguale a 360 mesi.

Vediamo cosa otteniamo.

Quindi la prima cosa che vogliamo fare e'

calcolare il valore di r.

Quindi r e' 1 / (1 + i).

Quindi prendiamo 1 diviso 1 + i quindi piu' 0,005.

Questo e' il nostro interesse mensile, 0,5 percento.

Quindi r e' uguale a 0,995.

Scriviamolo, 0,995.

Ora questa calcolatrice non salva le variabili, quindi

me la scrivo qui.

Quindi r = 0,995.

L'abbiamo usata qui.

Sto perdendo un po' di precisione, ma

penso che andra' bene.

La cosa principale e' che voglio renderti l'idea.

Quindi quant'e' la rata?

Moltiplichiamo il prestito che e' $200.000 per

1 - r, quindi 1 - 0,995 diviso r che e' 0,995

meno 0,995 alla --- ora n e' 360 mesi, quindi sara'

360 + 1 alla 361, qualcosa che decisamente

non sono in grado di fare a mente, poi chiudo le parentesi

e la risposta finale e' all'incirca $1.200.

In realta' se lo fai con la precisione giusta ottieni una cosa leggermente

minore di questa, ma all'incirca sara' $ 1.200.

Quindi cosi', siamo stati capaci di capire

la rata del mutuo.

Quindi p = $ 1.200.

Quindi questa erano i calcoli per capire

qualcosa con cui la gente ha a che fare ogni giorno, ma ora conosci

la matematica che c'e' dietro.

Non devi giocare con tabelle o fogli di calcolo

per ottenere il numero tipo sperimentalmente.