住宅ローンの支払いを図の幾何学的シリーズ合計

Figuring out the formula for fixed mortgage payments using the sum of a geometric series

このビデオではしたい、数学上を行くです。

住宅ローンの融資の背後にあります。

これは本当に、金融のビデオをするつもりはないです。

実際には数学的には。

しかし、それは、少なくとも私の心で、1 つは、最も基本的なアドレス

質問には、少なくとも私の頭の中で旋回されています

長い間。

ご存知のように、これらの融資を住宅を購入する私たちを取る。

$200,000 の住宅ローンの貸付け金を取るとしましょう。

それはあなたの家で保護されています。

それ以上-30 年間、お支払いするつもりか、可能性があります。

360 - いうヶ月。

通常毎月の支払いを支払う場合、

金利は通常、毎月化合物します。

6 ％ の関心を払っているとしましょう。

これは、金利は、彼らは通常配合しています。

毎月、12 で除算ため 6 ％。

1 ヶ月あたりの約 0.5 ％ を話しています。

今通常時、次のように、あなたの住宅ローン融資を取得します。

ブローカーまたはあなたの銀行家グラフのいくつかのタイプになりますか

コンピューター プログラムのいくつかのタイプに内の数字を入力します。

ああ [ok] をお支払いになる言う

1,200 ドル 1 ヶ月あたりにします。

では $1,200 1 ヶ月 360 ヶ月以上を支払う場合、

あなたは $200,000 を支払う必要がありますこれらの 360 ヶ月

プラスの任意の関心は、発生している可能性があります。

しかし、この数は一緒に来るは簡単ではないです。

実際の住宅ローンのしくみの例を見せしましょう。

ゼロの日には、200,000 ドル融資ので。

すべての住宅ローンの支払いを支払うことはありません。

あなたの最初の住宅ローンの支払いを支払うしようとしています。

来月の今日。

この量は 0.5 ％ で、悪化するのになると

10 進数としては 0.005 です。

だから、興味を持って、各月のこの成長してきただろう

20万回 1 プラス 0.005。

[1,200 ドルを支払うつもりです。

ちょうど 1,200 マイナスになるまたは多分 1.2K を書く必要があります。

しかし、私は実際にちょうど考えを表示しています。

次の月には、何が残っています

もう一度、0.5 ％ で、悪化するつもり 0.005。

次の月に戻るつもりだし、したら

もう一度この $1,200 の支払いになるだろう。

$ 1,200 マイナス。

これ 360 回発生しています。

だからこれを維持するつもりです。

そして、実際に解決しようとしているかどうかを想像することができます。

この番号--それの終わりで、この巨大ないるつもりです。

360 のかっこを知っているが起こっている式

ここで - と最後に、0 に等しいすべてつもりです。

最後の支払いを払った後、完了しているため

家のオフを支払います。

しかし、一般に、この支払いを図でしたか？

その p と呼びましょう。

それを把握する数学的な方法は？

行うには、もう少し抽象的な取得しましょう。

L は、融資額に等しいとしましょう。

みましょうと言う、私は毎月の利子に等しい。

N が、数ヶ月に等しいとしましょう

私たちと取引しています。

して私たちを設定するつもりは p は、毎月に等しい

お支払いは、毎月の住宅ローンの支払い。

いくつかのいくつかの原則、関心が

同じ金額を支払う毎月支払うつもりです。

ローン plus の関心。

これはあなたの毎月の支払いです。

私はそれを書いた場合、この同じ式だけそこを書いた

抽象的な言葉で、あなたがローン量 l 始めます。

1 ヶ月後、1 プラス私は、化合物します。

1 プラス一回に掛けるようにこれで

状況は 0.005 だった。

P の月払いを支払うので p マイナス。

これは 1 ヶ月の終わりです。

今は、まだあなたのローンを左にいくつかの量がある。

今、次の 1 ヶ月以上化合物でしょう。

[P の他のお支払いを支払うつもりです。

このプロセス 300 または n 回の繰り返しになります。

私が抽象泊まってため。

N かっこするつもりです。

あなたがやった後 n 回です。

0 になるだろう。

だから私の質問、私は本質的にで設定を 1 つ

このビデオは、どのように我々 の p を解決するか

我々 は、毎月を知っている場合は、融資額を知っているかどうかを知っています。

金利は、数ヶ月、どのように知っている場合

p を解決するか。

これは本当に簡単ですようには見えない代数

方程式を解決します。

我々 は少し前進することができるを見てみましょう。

私たちがこの一般的な方法で並べ替えることができるかどうかを見てみましょう。

だから、例 1 に等しいされている n の始めましょう。

N が 1 に等しい場合は、私たちの状況はこのようになります：

あなたの貸付け金を取る、あなたがそれを 1 ヶ月、1 化合物

プラス私は、し、あなたの毎月の支払いを支払います。

今この 1 ヶ月で、報酬が支払われるに住宅ローンをされたので

その 1 お支払い後今の融資をして、

あなたは何も左がありません。

今 p を解決するには、今、側面を入れ替えることができます。

P を得る l 1 プラスは時間に等しい。

または 1 プラス私が両方の側を分割する場合は、p 以上を取得

1 プラス私は l に等しいです。

ちょっと p を既に解決言うかもしれない

なぜこれをやっているか？

表示したいのでこれをやって、

emerge するパターン。

N が 2 に等しい場合に何が起こるかを見てみましょう。

それでは、融資額を起動します。

それは 1 ヶ月の化合物します。

あなたはお支払いをください。

左にいくつかの量です。

1 ヶ月化合物でしょう。

次に、2 番目の支払いをします。

今この住宅ローンのみ 2 つの支払いをニーズします。

だから今あなたは終わりました。

あなたのローンの左があります。

すべての元金と利子を支払っています。

今すぐみましょう p を解決します。

だから色 p のつもり

私はこの p がピンクにするつもりです。

それでは両側に p を追加し、側面をスワップします。

だからこの緑の p これのすべてになります

ここでビジネス。

私はマイナス p ピンク l プラス 1 回になります。

彼らは、同じ p、私はちょうどあなたが何を表示したいの

代数で起こっています。

ピンクの 1 プラス I 回 p マイナス。

1 プラス私が両方の側を分割する場合は、今、p 以上を取得します。

1 プラス私は私はマイナス p ピンク l プラス 1 回です。

今、ピンクの p この方程式の両側に追加してみましょう。

ピンクの p を得るこの p プラス p 以上 1 プラス プラスです

l 1 プラスは時間に等しい。

今両側 1 プラス私によって分割します。

ピンクの p 以上 1 プラス私はプラス、緑の p は、同じ p を取得します。

回 - すでに 1 プラス、によって分割されている場合します。

それ再度 1 プラス私によって分かれることになる、のでそれになります。

プラスは乗の 1 によって分割する融資です。

何か興味深い浮上しています。

現在価値でビデオを視聴する場合があります。

この状況では、お支払いを取る、それを割引

あなたの毎月の金利で融資額を取得します。

ここであなたのお支払い、それを割引します。

1 に加え、毎月の利子率を除算、

数ヶ月の力。

本質的には、現在の値を取っているように、

支払い、もう一度、あなたの貸付け金の量を取得します。

場合これは、自分のためを確認する必要があります、

代数学の練習の少し。

この n の場合は 3 になります。

時間のためのちょうどそれをするつもりはないです。

場合は、n は 3 に等しく、それを取得するつもりだ、

ローンと p 以上 1 プラス プラス p は乗以上 1 プラスに等しい

プラス p 以上 1 プラス私は、3 番目に。

いくつかの時間がある場合は、私はこれを証明することをお勧め

自分だけはここでは、まったく同じプロセスを使用します。

それが起こっている少しを得ることを見に行くしているハリーします。

多くの操作するものが、それになるだろう

時間がかかりすぎることはありません。

しかし、一般に、うまくいけばはあなたに私たちを書くことができますきました

現在の値としてすべての支払いの融資額。

我々 一般的に場合、融資額を言うことができるように今

n の代わりに一般化し n は番号、我々 可能性があります。

等しい - 私は実際には、p を取ると言う、

数式、p、1 プラス 1 時間に等しいので以上 1 プラス私は

1 プラス 1 以上プラス私乗プラス、あなただけして

この n をやって、プラス 1 回以上、1 プラスは、n に。

今これが認識する可能性があります。

これは右ここで、幾何学的シリーズです。

幾何学的な金額を把握する方法があります。

任意の端のシリーズ。

私はこれになるビデオの冒頭に約束どおり

幾何学的一連のアプリケーション。

1 の合計に等しい以上 1 プラス私はよ使用して、よく

ここでは、いくつか他の文字 j から j こと 1 に等しい。

これにはこれを見ることができる電源が最初に

j パワーは n に等しい。

何は、合計では、まさにです。

あるかどうかは、その合計を解決する簡単な方法を見てみましょう。

360 回これを行うにしたくないです。

あなたの数を取得し、分割できます。

l その番号と、p を解決しているでしょう。

行うには、ここを参照してくださいに簡単に持っています。

我々 はこれを簡素化することができる場合は。

ちょうど数学やすく、定義させてください。

R は 1 に等しいとしましょう以上 1 プラス私。

私この全体の合計 s を呼び出すことができます。

この合計を右ここでは、s に等しいです。

もし我々 は r これらの各用語に等しい [s します。

次のように r をする行くです。

最初の電源。

この r 平方、ためになるだろうが私は r を最初に書くよ

分子を正方形する場合だけ、1 を再度得る。

したがって、この r 2 乗プラス r 3 プラスすべてにプラスです。

この r は n には。

私はあなたに少しのトリックが表示されます。

これは良い方法は常に、数式、忘れる

幾何学的シリーズの和を求めます。

実際にはこの無限の合計が検索される可能性があります。

幾何学的のような場合は、シリーズが、我々 に対処しています。

有限なと。

みましょう s 回 r を乗算します。

だから r 回 s 何に等しいするつもりですか？

あなたはこれらの各用語 r を乗算する場合、r を乗算します。

最初の回に r を r 2 乗します。

R 2 乗倍を乗算 r を r 3 番目に。

すべての方法は、あなた r--掛けることをやり続ける

1 つここでマイナス n r--それを乗算を参照してください。

r 回 r は n を取得します。

R は n を掛けます r 回を取得

プラス r n プラス 1 します。

これを右ここではすべてのこれらの用語を乗算

r で、私はちょうど同じ指数の下でそれらを置きます。

今何ができるこの緑を引くことがあります。

この紫色の線からの行。

場合は s rs マイナスと言っても、だから何は？

私はちょうどこの行は、行から減算です。

まあ、あなたマイナス 0、r1 r を最初に取得

何もないマイナスの電源。

しかしその r r を r 2 乗キャンセル マイナス乗

3 r、3 番目のキャンセルをするマイナス。

彼らはすべての r を r にマイナス n までのすべての方法、キャンセルします。

n をキャンセル、しかし、あなたが残ります

ここに最後の言葉。

そして、このきちんとした策略の理由です。

だからあなたと r マイナス、n に 1 を残しました。

今 s を出し。

R--すべての私はマイナス 1 私は、s を考慮 s 回を取得-

r r n プラス 1 にマイナスの最初の電源に等しい。

1 のマイナスが両側を分割する場合は

r、あなたの合計を取得します。

あなたの合計 1 r マイナス上 r r n プラス 1 にマイナスに等しいです。

定義されている場所の合計、ものです。

私たち r この方法では。

だから今我々 はこの全体の狂気の数式を書き換えることができます。

我々 の融資額が私たちは毎月に等しいであることを言うことができます。

お支払いは、このことを回します。

私は、それを緑で記述します。

回 r r n プラス 1 にマイナス。

すべては、以上の 1 r マイナスの。

今、私たちのための p を解決しようとしている場合、双方を乗算

これの逆で get p あなたのローンに等しい

逆時間量を。

それは逆であるため、ピンクでやってください。

1 r r r n プラス 1 にマイナスにマイナス。

ここで r はこのことをすぐそこです。

我々 が行われます。

これは、実際には、実際の解決方法です。

住宅ローンの支払い。

それは実際に適用してみましょう。

それではあなたのローン $200,000 に等しいことを言います。

あなたの金利年間 6 ％ に等しいこととしましょう、

0.005 と同じものは 0.5 ％ の毎月です。

これは毎月の金利です。

30 年ローンの n になるとしましょう

360 ヶ月に等しいこと。

何が私たちを得るので、あらかじめご理解させる。

私たちがしたい最初の事は把握したいです。

どのような私たちの r 値をであります。

R 1 は以上 1 プラス私。

だから 1 プラス私がので分割 1 プラス 0.005 をみましょう。

私たちの毎月の興味が何であるかは 0.5%。

私たち r です 0.995 等しいように。

私はダウン、0.995 を書くことができます。

私は今この電卓変数を格納しません。

ちょうどここに書きます。

だから r 0.995 に等しい。

右が使用します。

高精度、しかし、私の少しを失っています。

大丈夫だと思います。

ここでのアイデアを与えるしたいです。

我々 の支払いの量は何ですか？

Let's $200,000 マイナス 1 回は、融資額を掛ける

r、0.995 0.995 マイナスである r 0.995 マイナス 1 を割ったように

今 n 360 ヶ月になるだろうよ

360 プラス 1、361 パワーは、何か可能性が確実に

私の頭の中ではありませんし、私は、かっこを閉じると私

最終的な答えは、約 1,200 ドルです。

実際にはあなたを得る少し完全精度でそれを行う場合

より低いビットが、これは約 1,200 ドルになります。

これだけで、我々 を理解することができた私たち

実際の住宅ローンの支払い。

だから p 1,200 ドルに等しい。

これを理解するいくつかの合理的に派手な数学だった

ほとんどの人は毎日では、対処しますが、今知っています。

それの背後にある実際の数学。

いくつかのテーブルやスプレッドシートに再生する必要はありません。

種の実験の数を取得します。