Geometric series sum to figure out mortgage payments

Figuring out the formula for fixed mortgage payments using the sum of a geometric series

Det jeg vil gjøre i denne videoen er å gå over regnestykket

bak et boliglån.

Og dette er ikke egentlig kommer til å være en finans video.

Det er faktisk mye mer matematisk.

Men det adresser, i hvert fall i mitt sinn, en av de mest grunnleggende

spørsmål som er minst blitt sirklet i hodet mitt

i lang tid.

Du vet, vi tar opp disse lånene for å kjøpe hus.

La oss si du tar ut en $ 200,000 boliglån.

Det er sikret ved huset ditt.

Du kommer til å betale den over - 30 år, eller du kan

si det er 360 - måneder.

Fordi hvis du normalt betaler utbetalinger hver måned,

interesse normalt forbindelser på månedlig basis.

Og la oss si at du betaler 6% - interesse.

Dette er årlig rente, og de er vanligvis compounding

på månedlig basis, slik at 6% dividert med 12.

Du snakker om 0,5% per måned.

Nå normalt når du får et lån som dette, ditt boliglån

megler eller bankmann vil se nærmere på noen type diagram eller

skriver tallene inn noen type dataprogram.

Og de vil si oh OK, er betalingen går

å være $ 1200 per måned.

Og hvis du betaler som $ 1200 per måned over 360 måneder, ved

slutten av de 360 måneder du vil ha betalt av $ 200.000

pluss eventuelle renter som kunne ha påløpt.

Men dette tallet er det ikke så lett å komme sammen.

La oss bare vise et eksempel på hvordan den faktiske boliglån fungerer.

Så på dag null, har du en $ 200000 lån.

Du trenger ikke betale noen boliglån betalinger.

Du kommer til å betale ditt første boliglån betaling

en måned fra i dag.

Så dette beløpet kommer til å bli forsterket av det 0,5%, og

som et desimaltall som er en 0.005.

Så i en måned, med renter, vil dette ha vokst til

200.000 ganger 1 pluss 0,005.

Så du kommer til å betale $ 1.200.

Bare kommer til å bli minus 1200 eller kanskje jeg burde skrive 1.2K.

Men jeg er bare egentlig bare viser deg den ideen.

Og så den neste måneden, er det igjen er

kommer til å bli forverret igjen av den 0,5%, 0,005.

Og så den neste måneden du kommer til å komme tilbake og du er

kommer til å betale denne $ 1200 igjen.

Minus $ 1.200.

Og dette kommer til å skje 360 ganger.

Så du kommer til å fortsette å gjøre dette.

Og du kan tenke deg hvis du faktisk prøver å løse for

dette nummeret - på slutten av det du kommer til å ha denne enorme

uttrykk som kommer til å ha vet du 360 parentes over

her - og på slutten, er det alle kommer til å være lik 0.

Fordi etter at du har betalt den endelige betalingen, er du ferdig

betaling av huset.

Men generelt hvordan gjorde de regne ut denne betalingen?

La oss kalle det s.

Er det noen matematisk måte å finne det ut?

Og for å gjøre det, la oss få litt mer abstrakt.

La oss si at l er lik lånebeløpet.

La oss si at jeg er lik den månedlige renter.

La oss si at n er lik antall måneder

at vi arbeider med.

Og så skal vi sette p er lik den månedlige

betaling, månedlige boliglån betalingen.

Noen som er interesse, noen som er prinsippet, men det er

det samme beløpet du skal betale hver måned for å betale ned

at lånet pluss renter.

Så dette er den månedlige betalingen.

Så denne samme uttrykket bare jeg skrev der oppe, hvis jeg skrev det

i abstrakte termer, starter du med en lånebeløpet l.

Etter en måned det forbindelser som 1 pluss i.

Så du multipliserer det ganger 1 pluss i. jeg i denne

Situasjonen var 0.005.

Så du betaler en månedlig betaling av p, så minus s.

Så det er på slutten av en måned.

Nå har du noe beløp ennå til overs på lånet ditt.

Det vil nå sammensatte over den neste måneden.

Så du kommer til å betale en annen betaling s.

Og så denne prosessen kommer til å gjenta 300 eller n ganger,

fordi jeg bor abstrakt.

Du kommer til å ha n parenteser.

Og etter du har gjort dette n ganger, er at alle

kommer til å være lik 0.

Så mitt spørsmål, en som jeg i hovedsak å sette opp i

denne videoen, er løse hvordan vi gjøre for p?

Du vet hvis vi vet lånebeløpet, hvis vi kjenner de månedlige

rente, hvis vi vet antall måneder, hvordan

Har du løse for p?

Det ser ikke ut som dette er virkelig en enkel algebraisk

ligningen til å løse.

La oss se om vi kan gjøre en liten fremgang.

La oss se om vi kan omorganisere dette på en generell måte.

Så la oss starte med et eksempel av n være lik 1.

Hvis n er lik 1, da vår situasjon ser slik ut:

du tar ut lån, compound du den for en måned, 1

pluss i, og så betale den månedlige betalingen.

Nå var dette et boliglån som blir nedbetalt i en måned, så

etter at en betaling du er nå ferdig med lånet deres,

du har ingenting til overs.

Nå hvis vi løse for p, kan du nå bytte sidene.

Du får p er lik l ganger 1 pluss i.

Eller hvis du deler på begge sider av en pluss i, får du p over

1 pluss jeg er lik l.

Og du kan si hei du allerede løst for p

hvorfor gjør dere dette?

Og jeg gjør dette, fordi jeg ønsker å vise deg en

mønster som vil dukke opp.

La oss se hva som skjer når n er lik 2.

Vel da du starter med dine lån beløp.

Det forbindelser for en måned.

Du gjør betalingen.

Så er det noen beløp til overs.

Det vil compound for en måned.

Deretter kan du gjøre dine andre betaling.

Nå er denne boliglån trenger bare to betalinger,

så nå du er ferdig.

Du har ingen lån til overs.

Du har betalt alle hovedstol og renter.

La oss nå løser for p.

Så jeg kommer til å farge p-tallet.

Jeg kommer til å gjøre dette p rosa.

Så la oss legge p til begge sider og bytte sider.

Så denne grønne p vil være lik for alle denne

virksomhet over her.

Er lik l ganger en pluss i minus som rosa s.

De er den samme p, jeg bare ønsker å vise deg hva som er

happening algebraically.

Minus at rosa p ganger 1 pluss i.

Nå hvis du deler på begge sider av en pluss i, får du p over

1 pluss jeg er lik l ganger en pluss i minus som rosa s.

Nå la oss legge til at rosa p til begge sider av denne ligningen.

Du får den rosa p pluss denne p pluss p over 1 pluss jeg er

lik l ganger 1 pluss i.

Nå deles begge sider av 1 pluss i.

Du får den rosa p over 1 pluss i pluss grønne p, det samme p,

ganger - det allerede blir delt på 1 pluss i, er du

kommer til å dele det igjen ved en pluss i, så det kommer til å bli

delt på 1 pluss i squared er lik lånet.

Noe interessant er voksende.

Du ønsker kanskje å se videoer på nåverdien.

I denne situasjonen tar du betalingen, rabatten du det

ved månedlig rente, får du låne beløpet.

Her kan du ta hver enkelt betaling, rabatt du det, du

dele det med 1 pluss månedlig rente til

kraft av antall måneder.

Så du er egentlig å ta nåverdien av

betalinger og igjen, får du din lånebeløpet.

Du ønsker kanskje å bekrefte dette for deg selv hvis du ønsker en

litt algebra praksis.

Hvis du gjør dette med n er lik 3.

Jeg kommer ikke til å gjøre det bare for moro skyld tiden.

Hvis du gjør n er lik 3, du kommer til å få at

lånet er lik p over 1 pluss i pluss p over 1 pluss i squared

pluss p over 1 pluss jeg til den tredje.

Hvis du har litt tid, oppfordrer jeg deg til å bevise dette for

selv bare bruker nøyaktig samme prosess som vi gjorde her.

Du kommer til å se det kommer til å bli litt harry.

Det kommer til å være mye av et manipulere ting, men det

vil ikke ta deg for lang.

Men generelt, forhåpentligvis, har jeg vist deg at vi kan skrive

lånebeløpet som nåverdien av alle utbetalingene.

Så vi kan si generelt lånebeløpet, hvis vi nå

generalisere det til n istedenfor og n er lik et tall, kunne vi

si at det er lik - Jeg skal faktisk ta p ut av

ligningen, så det er lik p, 1 ganger pluss 1 over 1 pluss i

pluss 1 over 1 pluss i kvadrat pluss, og du bare holde

gjøre dette n ganger, pluss 1 over 1 pluss jeg til n.

Nå kan du gjenkjenne dette.

Dette her er en geometrisk serie.

Og det finnes måter å regne ut summen av geometriske

serier for vilkårlige ender.

Som jeg lovet i begynnelsen av videoen dette ville være

en anvendelse av en geometrisk serie.

Det er lik summen av 1 over 1 pluss jeg til, vel jeg vil bruke

noen andre brev her, til j fra j er lik 1.

Dette er til den kraften du kan vise denne er til den første

makt til j er lik n.

Det er nøyaktig hva som summen er.

La oss se om det finnes noen enkel måte å løse for den summen.

Du ønsker ikke å gjøre dette 360 ganger.

Du kan, vil du få et nummer, og så du kan dele

l med det nummeret, og du ville ha løst for p.

Men det må jo være enklere måte å gjøre det, så la oss se

hvis vi kan forenkle dette.

Bare for å gjøre regnestykket enklere, la meg gjøre en definisjon.

La oss si at r er lik 1 over 1 pluss i.

Og la meg kalle hele denne summen s.

Denne summen her er lik s.

Så hvis vi sier r er lik hvert av disse vilkårene deretter s er

kommer til å bli lik dette kommer til å være r til

den første strømmen.

Jeg skal skrive r først dette kommer til å være r squared, fordi

hvis du square telleren du bare få en 1 igjen.

Så dette er pluss r kvadratet pluss r til den tredje, pluss alle

måten dette er r til n.

Og jeg vil vise deg litt triks.

Jeg har alltid glemmer formelen, så dette er en god måte å

regne ut summen av en geometrisk serie.

Egentlig kan dette brukes til å finne en sum av et uendelig

geometriske serien hvis du vil, men vi arbeider

med et begrenset en.

La oss formere e ganger r.

Så r ganger s er tenkt å være lik hva?

Hvis du multipliserer hvert av disse vilkårene ved r, multipliserer du r

til de første gangene r får du r squared.

Du multipliserer r squared ganger r du får r til den tredje.

Og så fortsette med det hele veien, multipliserer du r -

se det er en r til n minus en her - du multipliserer det

ganger r, får du r til n.

Og så du multiplisere r til n ganger r, får du

pluss r til n pluss en.

Alt dette er rett her er alle disse vilkårene multiplisert

av r, og jeg bare sette dem under samme eksponenten.

Nå hva du kan gjøre er at du kan trekke fra denne grønne

linje fra denne lilla linje.

Så hvis vi skulle si er minus rs, hva vi får?

Jeg er bare trekke denne linjen fra den linjen.

Vel, du får r1 minus 0, slik at du får r til den første

power minus ingenting der.

Men da har du r squared minus r squared utjevne r

til tredje minus r til den tredje kansellere ut.

De utjevne, hele veien opp til r til n minus r til

n kansellere ut, men da sitter du igjen med denne

siste ordene her.

Og dette er grunnen til det er en ryddig trick.

Så sitter du igjen med minus r til n pluss en.

Nå faktor ut en s.

Du får e ganger 1 minus r - alt jeg gjorde er jeg priset ut s -

er lik r til den første strømmen minus r til n pluss en.

Og nå hvis du dele begge sider med 1 minus

r, får du din sum.

Din sum er lik r minus r til n pluss 1 over 1 minus r.

Det er hva våre sum er lik, der vi definerte

vi r på denne måten.

Så nå kan vi omskrive hele denne gale formel.

Vi kan si at vår lånebeløpet er lik vår månedlige

betaling ganger denne tingen.

Jeg skal skrive det i grønt.

Times r minus r til n pluss en.

Alt av at over 1 minus r.

Nå hvis vi prøver å løse for p du multiplisere begge sider

av den inverse av dette, og du får p er lik lånet ditt

beløpet ganger inverse av det.

Jeg gjør det i rosa, fordi det er den inverse.

1 minus r over r minus r til n pluss en.

Der r er dette tingen akkurat der.

Og vi er ferdig.

Dette er hvordan du faktisk kan løse for din faktiske

boliglån betaling.

La oss faktisk bruke den.

Så la oss si at lånet er lik $ 200.000.

La oss si at renten er lik 6% årlig,

som er 0,5% månedlig som er det samme som 0,005.

Dette er månedlig rente.

Og la oss si det er en 30 års lån, så n kommer til å

være lik 360 måneder.

La oss finne ut hva vi får.

Så det første vi vil gjøre er vi ønsker å finne

ut hva vår r verdien er.

Så r er 1 over 1 pluss i.

Så la oss ta en dividert med 1 pluss i så pluss 0,005.

Det er hva våre månedlige renter er en halv prosent.

Så 0.995 det er hva våre r er lik.

La meg skrive det ned, 0.995.

Nå er denne kalkulatoren ikke lagrer variabler, så jeg kommer

bare skrive det ned her.

Så r er lik 0,995.

Vi bare brukte det riktig der.

Jeg mister litt presisjon, men jeg

tror det vil bli OK.

Det viktigste er at jeg ønsker å gi deg den ideen her.

Så hva er vår betaling beløpet?

La oss formere våre lån beløp som er $ 200.000 ganger 1 minus

r, så 1 minus 0.995 dividert med r som er 0.995 minus 0,995 til

den av - nå n er 360 måneder, så det kommer til å bli

360 pluss 1 til 361 makten, noe jeg kunne definitivt

ikke i hodet mitt, og da jeg lukker parentes, og min

endelige svaret er omtrent $ 1.200.

Egentlig hvis du gjør det med full presisjon du blir litt

litt lavere enn det, men dette kommer til å være rundt $ 1.200.

Så bare sånn, kunne vi regne ut vår

faktiske boliglån betaling.

Så p er lik $ 1.200.

Så det var noen rimelig fancy matematikk å finne ut

noe som folk flest takle hverdagen, men nå vet du

selve regnestykket bak den.

Du trenger ikke å spille med noen bord eller regneark for å

slags eksperimentelt får nummeret.