< Return to Video

ผลบวกอนุกรมเรขาคณิตเพื่อหาเงินจ่ายเงินกู้

  • 0:00 - 0:00
    -
  • 0:00 - 0:03
    สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้ คือพูดถึงคณิตศาสตร์
  • 0:03 - 0:08
    เบื้องหลังการกู้จำนอง
  • 0:08 - 0:10
    และนี่ไม่ใช่วิดีโอเรื่องไฟแนนซ์เสียทีเดียว
  • 0:10 - 0:11
    มันเป็นเรื่องคณิตศาสตร์มากกว่า
  • 0:11 - 0:15
    แต่มันบอกถึง, อย่างน้อยก็ในหัวผม, คำถามพื้นฐาน
  • 0:15 - 0:18
    ที่สุดที่วนเวียนอยู่ในหัวผม
  • 0:18 - 0:20
    เป็นเวลานาน
  • 0:20 - 0:23
    คุณก็รู้, เราต้องกู้เงินแบบนี้ไปซื้อบ้าน
  • 0:23 - 0:28
    สมมุติว่าคุณกู้จำนองได้เงินมา $200,000
  • 0:28 - 0:30
    โดยมีบ้านเป็นหลักประกัน
  • 0:30 - 0:35
    คุณจะจ่ายเงินคืนเป็นเวลา -- 30 ปี หรือคุณ
  • 0:35 - 0:39
    อาจบอกว่ามันคือ 360 -- เดือน
  • 0:39 - 0:42
    เพราะถ้าคุณจ่ายเงินคืนทุกเดือน,
  • 0:42 - 0:45
    โดยทั่วไปแล้วดอกเบี้ยก็จะทบเป็นรายเดือนด้วย
  • 0:45 - 0:50
    และสมมุติว่าคุณจ่ายดอกเบี้ย -- 6%
  • 0:50 - 0:53
    นี่คือดอกเบี้ยต่อปี, และถ้าเขาคิดทบต้น
  • 0:53 - 0:56
    เป็นรายเดือน, มันจะเป็น 6% หารด้วย 12
  • 0:56 - 0:59
    คุณก็ได้ 0.5% ต่อเดือน
  • 0:59 - 1:03
    -
  • 1:03 - 1:07
    ทีนี้โดยทั่วไป เวลาคุณกู้เงินแบบนี้, นายหน้า
  • 1:07 - 1:11
    จำนองหรือนายธนาคาร จะดูตารางหรือ
  • 1:11 - 1:13
    ตัวเลข ในโปรแกรมคอมพิวเตอร์
  • 1:13 - 1:16
    แล้วเขาจะบอกว่า โอ้ โอเค, เงินที่จ่าย
  • 1:16 - 1:21
    จะเป็น $1,200 ต่อเดือน
  • 1:21 - 1:26
    และถ้าคุณจ่าย $1,200 ต่อเดือนเป็นเวลา 360 เดือน, ตอน
  • 1:26 - 1:31
    จบ 360 เดือนนั้น คุณจะจ่ายเงิน $200,000
  • 1:31 - 1:33
    บวกดอกเบี้ยที่คิดเพิ่มเข้าไปจนหมด
  • 1:33 - 1:37
    แต่ตัวเลขนี้ไม่ได้มาง่ายๆ
  • 1:37 - 1:43
    ลองดูตัวอย่างด้วยการกู้จำนองเป็นอย่างไรกันดีกว่า
  • 1:43 - 1:45
    ในวันที่ 0, คุณกู้เงินไป $200,000
  • 1:45 - 1:51
    -
  • 1:51 - 1:53
    คุณยังไม่ต้องจ่ายเงินกู้ใดๆ
  • 1:53 - 1:55
    คุณจะต้องจ่ายเงินกู้ก้อนแรกคืน
  • 1:55 - 1:56
    หนึ่งเดือนจากวันนี้
  • 1:56 - 2:05
    ดังนั้นปริมาณนี้จะทบต้นด้วยดอกเบี้ย 0.5%
  • 2:05 - 2:08
    และทศนิยมหนึ่งตัว มันคือ 0.005
  • 2:08 - 2:11
    แล้วในหนึ่งเดือน, มีดอกเบี้ยด้วย, เจ้านี่จะเพิ่มเป็น
  • 2:11 - 2:19
    200,000 คูณ 1 บวก 0.005
  • 2:19 - 2:22
    แล้วคุณจะจ่ายเงิน $1,200
  • 2:22 - 2:26
    มันก็แค่ ลบ 1,200 หรือบางทีผมควรเขียนว่า 1.2k
  • 2:26 - 2:29
    แต่ผมแค่อยากให้คุณเข้าใจแนวคิดเฉยๆ
  • 2:29 - 2:33
    แล้วในเดือนต่อมา, สิ่งที่เหลือไม่ว่าเท่าไหร่ก็๖าม
  • 2:33 - 2:38
    จะถูกคิดดอกเบี้ยทบต้นอีก 0.5%, 0.005
  • 2:38 - 2:40
    แล้วในเดือนต่อไป คุณจะกลับมาแล้ว
  • 2:40 - 2:42
    คุณก็จ่าย $1,200 อีกที
  • 2:42 - 2:45
    ลบ $1,200
  • 2:45 - 2:49
    และนี่เกิดขึ้นทั้งสิ้น 360 ครั้ง
  • 2:49 - 2:50
    คุณจะทำแบบนี้ต่อไป
  • 2:50 - 2:53
    และคุณนึกภาพได้ว่าถ้าคุณพยายามแก้หา
  • 2:53 - 2:55
    ตัวเลขนี้ -- ตอนจบ คุณจะได้พจน์ที่
  • 2:55 - 2:58
    ใหญ่มาก มันจะมี, คุณก็รู้, วงเล็บ 360 อันตรงนี้
  • 2:58 - 3:02
    -- และตอนจบ ทั้งหมดจะเท่ากับ 0
  • 3:02 - 3:05
    เพราะหลังจากที่คุณจ่ายเงินก้อนสุดท้าย, คุณก็จ่าย
  • 3:05 - 3:06
    เพื่อบ้านจนหมด
  • 3:06 - 3:12
    แต่โดยทั่วไปแล้ว เขาหาเงินที่ต้องจ่ายนี้อย่างไร?
  • 3:12 - 3:14
    ลองเรียกมันว่า p
  • 3:14 - 3:17
    มันมีวิธีหาโดยใช้คณิตศาสตร์ใหม่?
  • 3:17 - 3:21
    เพื่อหาค่าดังกล่าว, ลองทำให้มันเป็นนามธรรมหน่อย
  • 3:21 - 3:25
    สมมุติว่า l เท่ากับจำนวนเงินกู้
  • 3:25 - 3:30
    -
  • 3:30 - 3:33
    สมมุติว่า i คืออัตราดอกเบี้ยรายเดือน
  • 3:33 - 3:38
    -
  • 3:38 - 3:46
    สมมุติว่า n เท่ากับจำนวนเดือน
  • 3:46 - 3:47
    ที่เราสนใจ
  • 3:47 - 3:52
    แล้วเราจะตั้ง p เท่ากับเงิน
  • 3:52 - 3:54
    ที่ต้องจ่ายรายเดือน, เป็นเงินจ่ายเงินกู้ประจำเดือน
  • 3:54 - 3:57
    บางส่วนเพื่อจ่ายดอก, บางส่วนเพื่อจ่ายเงินต้น, แต่คุณ
  • 3:57 - 4:01
    จะจ่ายทุกเดือนเท่าๆ กันเพื่อ
  • 4:01 - 4:02
    จ่ายเงินกู้บวกดอกเบี้ย
  • 4:02 - 4:05
    นี่ก็คือเงินจ่ายรายเดือน
  • 4:05 - 4:07
    -
  • 4:07 - 4:10
    แล้วพจน์เดียวกันนี่ที่ผมเพิ่งเขียนไป, ถ้าผมเขียน
  • 4:10 - 4:16
    มันในรูปตัวแปร, คุณเริ่มต้นด้วยเงินกู้ l.
  • 4:16 - 4:20
    เมื่อผ่านไป 1 เดือน มันทบต้นเป็น 1 บวก i
  • 4:20 - 4:23
    แล้วคุณก็คูณมันด้วย 1 บวก 1 ลบ i. i ใน
  • 4:23 - 4:25
    กรณีนี้คือ 0.005
  • 4:25 - 4:30
    แล้วคุณก็จ่ายเงินประจำเดือน p, งั้นลบ p
  • 4:30 - 4:33
    นั่นคือจบเดือนที่ 1
  • 4:33 - 4:35
    ตอนนี้มีคุณยังมีเงินที่เหลือในเงินกู้
  • 4:35 - 4:39
    นั่นจะเอาไปทบต้นในเดือนต่อไป
  • 4:39 - 4:42
    แล้วคุณก็ต้องจ่ายเงินอีก p
  • 4:42 - 4:47
    แล้วกระบวนการนี้จะซ้ำไป 300 หรือ n ครั้ง
  • 4:47 - 4:48
    เพราะผมยังใช้ตัวแปรอยู่
  • 4:48 - 4:53
    -
  • 4:53 - 4:54
    คุณจะมี n ในวงเล็บ
  • 4:54 - 4:57
    -
  • 4:57 - 5:01
    แล้วเมื่อคุณทำไปทั้งสิ้น n ครั้ง,
  • 5:01 - 5:03
    ทั้งหมดนั่นจะเท่ากับ 0
  • 5:03 - 5:06
    คำถามผมคือว่า, สิ่งที่ผมได้ตั้งขึ้นมา
  • 5:06 - 5:09
    ในวิดีโอนี้, เราจะแก้หา p ได้อย่างไร?
  • 5:09 - 5:12
    คุณก็รู้, ถ้าเรารู้ปริมาณเงินกู้, ถ้าเรารู้อัตราดอกเบี้ย
  • 5:12 - 5:14
    รายเดือน, ถ้าเรารู้จำนวนเดือน,
  • 5:14 - 5:16
    คุณจะแก้หา p ได้อย่างไร?
  • 5:16 - 5:19
    มันดูไม่ใช่สมการพีชคณิต
  • 5:19 - 5:20
    ที่แก้ได้ง่ายๆ เลย
  • 5:20 - 5:21
    ลองดูว่าเราจะสามารถทำอะไรได้สักหน่อยไหม
  • 5:21 - 5:24
    -
  • 5:24 - 5:27
    ลองดูว่าเราสามารถเรียงเจ้านี่ในรูปทั่วไปได้ไหม
  • 5:27 - 5:32
    ลองเริ่มด้วยตัวอย่าง n เท่ากับ 1 ก่อน
  • 5:32 - 5:37
    ถ้า n เท่ากับ 1, สถานการณ์เราจะเป็นแบบนี้
  • 5:37 - 5:41
    คุณเอาเงินกู้มา, คุณคิดทบมันไป 1 เดือน, 1
  • 5:41 - 5:45
    บวก i, แล้วคุณจ่ายเงินของเดือน
  • 5:45 - 5:49
    ทีนี้ นี่คือเงินกู้จำนองที่จ่ายไปใน 1 เดือน, ดังนั้น
  • 5:49 - 5:53
    หลังจากจ่ายไป 1 ครั้ง หนี้คุณก็หมดแล้ว,
  • 5:53 - 5:55
    คุณไม่มีอะไรเหลืออีก
  • 5:55 - 5:58
    ทีนี้ถ้าคุณแก้หา p, คุณก็สามารถสลับข้างได้
  • 5:58 - 6:03
    คุณจะได้ p เท่ากับ l คูณ 1 บวก i
  • 6:03 - 6:09
    หรือถ้าคุณหารทั้งสองข้างด้วย 1 บวก i, คุณจะได้ p ส่วน
  • 6:09 - 6:12
    1 บวก i เท่ากับ l
  • 6:12 - 6:14
    และคุณอาจบอกว่า เฮ้ คุณแก้หา p ได้นี่
  • 6:14 - 6:15
    แล้วคุณจะทำนี่ไปทำไม?
  • 6:15 - 6:16
    และผมทำแบบนี้, เพราะผมอยากให้คุณเห็น
  • 6:16 - 6:18
    รูปแบบที่จะปรากฏขึ้นมา
  • 6:18 - 6:20
    ลองดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อ n เท่ากับ 2
  • 6:20 - 6:24
    -
  • 6:24 - 6:26
    ทีนี้คุณจะเริ่มด้วยเงินกู้
  • 6:26 - 6:28
    มันทบไป 1 เดือน
  • 6:28 - 6:31
    คุณจ่ายเงินไป
  • 6:31 - 6:32
    แล้วยังมีปริมาณที่เหลืออยู่
  • 6:32 - 6:35
    นั่นจะทบไปอีก 1 เดือน
  • 6:35 - 6:37
    แล้วคุณก็จ่ายเงินครั้งที่สอง
  • 6:37 - 6:39
    ทีนี้เงินกู้นี้ต้องจ่ายแค่สองครั้ง,
  • 6:39 - 6:42
    ตอนนี้คุณก็จบแล้ว
  • 6:42 - 6:43
    คุณไม่มีเงินกู้เหลือแล้ว
  • 6:43 - 6:45
    คุณได้จ่ายทั้งต้นทั้งดอกหมดแล้ว
  • 6:45 - 6:47
    ทีนี้ลองแก้หา p กัน
  • 6:47 - 6:48
    ผมจะใช้สีกับ p นะ
  • 6:48 - 6:51
    ผมจะทำให้ p นี่สีชมพู
  • 6:51 - 6:55
    งั้นลองบวก p ทั้งสองข้างแล้วสลับที่กัน
  • 6:55 - 6:59
    แล้ว p สีเขียวนี่จะเท่ากับ
  • 6:59 - 7:00
    เจ้าพวกนี่ตรงนี้ทั้งหมด
  • 7:00 - 7:09
    เท่ากับ l คูณ 1 บวก i ลบ p สีชมพูนั่น
  • 7:09 - 7:11
    มันคือ p เดียวกัน, ผมแค่อยากแสดงให้คุณเห็น
  • 7:11 - 7:13
    ว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อใช้พีชคณิต
  • 7:13 - 7:18
    ลบ p สีชมพูนั่น คูณ 1 บวก i
  • 7:18 - 7:22
    ทีนี้ถาคุณหารทั้งสองข้างด้วย 1 บวก i, คุณจะได้ p
  • 7:22 - 7:31
    ส่วน 1 บวก i เท่ากับ l คูณ 1 บวก i ลบ p สีชมพูนั่น
  • 7:31 - 7:34
    ตอนนี้ลองบวก p สีชมพูนั่นทั้งสองข้างของสมการ
  • 7:34 - 7:43
    คุณจะได้ p ชมพู บวก p นี่ บวก p ส่วน 1 บวก i
  • 7:43 - 7:47
    เท่ากับ l คูณ 1 บวก i
  • 7:47 - 7:50
    ทีนี้หารทั้งสองข้างด้วย 1 บวก i
  • 7:50 - 8:00
    คุณจะได้ p สีชมพู ส่วน 1 บวก i บวก p สีเขียว, p เดียวกันนี้,
  • 8:00 - 8:02
    คูณ -- มันหารด้วย 1 บวก i อยู่แล้ว, คุณ
  • 8:02 - 8:04
    ก็หารมันอีกครั้งด้วย 1 บวก i, มันจึงเป็น
  • 8:04 - 8:10
    หารด้วย 1 บวก i กำลังสอง เท่ากับเงินกู้
  • 8:10 - 8:13
    สิ่งที่น่าสนใจเกิดขึ้นแล้ว
  • 8:13 - 8:16
    คุณอาจอยากดูวิดีโอเรื่องมูลค่าปัจจุบันสักหน่อย
  • 8:16 - 8:20
    ในกรณีนี้, เงินที่คุณจ่าย, คุณลดค่ามัน
  • 8:20 - 8:23
    ด้วยอัตราดอกเบี้ย, แล้วคุณจะได้ปริมาณเงินกู้
  • 8:23 - 8:26
    ตรงนี้คุณเอาเงินที่คุณจ่ายแต่ละเดือน, คุณลดค่ามัน, คุณ
  • 8:26 - 8:31
    หารมันด้วย 1 บวกอัตราดอกเบี้ยต่อเดือน
  • 8:31 - 8:33
    ยกกำลังจำนวนเดือน
  • 8:33 - 8:35
    ที่สุดแล้ว, คุณก็แค่หามูลค่าปัจจุบันของการ
  • 8:35 - 8:39
    จ่ายแต่ละตัว, แล้วเหมือนเดิม, คุณได้เท่ากับปริมาณเงินกู้
  • 8:39 - 8:42
    คุณอาจทดสอบด้วยตนเองก็ได้ ถ้าคุณ
  • 8:42 - 8:44
    อยากฝึกใช้พีชคณิต
  • 8:44 - 8:46
    ถ้าคุณทำแบบนี้กับ n เท่ากับ 3
  • 8:46 - 8:48
    ผมจะไม่ทำเพราะปัญหาเรื่องเวลา
  • 8:48 - 8:51
    ถ้าคุณทำสำหรับ n เท่ากับ 3, คุณจะได้ว่า
  • 8:51 - 9:01
    เงินกู้ เท่ากับ p ส่วน 1 บวก i บวก p ส่วน 1 บวก i กำลังสอง
  • 9:01 - 9:07
    บวก p ส่วน 1 บวก i กำลังสาม
  • 9:07 - 9:10
    ถ้าคุณมีเวลา, ผมแนะนำให้คุณลองพิสูจน์นี่
  • 9:10 - 9:13
    ด้วยตัวเองโดยใช้กระบวนการเดียวกับที่เราทำตรงนี้
  • 9:13 - 9:15
    คุณจะเห็นว่ามันค่อนข้างยุ่งเหยิงทีเดียว
  • 9:15 - 9:18
    มันมีการจัดรูปอะไรมากมาย, แต่มัน
  • 9:18 - 9:19
    ไม่ควรกินเวลาคุณเกินไป
  • 9:19 - 9:24
    แต่โดยทั่วไปแล้ว, หวังว่าผมคงทำให้คุณเห็นแล้วว่า เราสามารถเขียน
  • 9:24 - 9:27
    ปริมาณเงินกู้ เท่ากับมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายทั้งหมด
  • 9:27 - 9:30
    เราจึงบอกได้โดยทั่วไปว่า ปริมาณเงินกู้, ถ้าเรา
  • 9:30 - 9:34
    ขยายผลไปยัง n แทน โดย n เท่ากับจำนวนเดือน, เราก็
  • 9:34 - 9:38
    สามารถบอกว่ามันเท่ากับ -- ผมจะดึง p ออกมาจากสมการนะ
  • 9:38 - 9:45
    มันเท่ากับ p, บวก 1 คูณ 1 ส่วน 1 บวก i
  • 9:45 - 9:51
    บวก 1 ส่วน 1 บวก i กำลังสอง บวก, คุณก็ทำ
  • 9:51 - 9:59
    แบบนี้ไป n ครั้ง, บวก 1 ส่วน 1 บวก i กำลัง n
  • 9:59 - 10:01
    ทีนี้คุณอาจเห็นนี่แล้ว
  • 10:01 - 10:04
    เจ้านี่ตรงนี้คืออนุกรมเรขาคณิต
  • 10:04 - 10:07
    -
  • 10:07 - 10:10
    และมันมีวิธีหาผลบวกของอนุกรม
  • 10:10 - 10:12
    เรขาคณิตที่จบตรงไหนก็ตามอยู่
  • 10:12 - 10:17
    -
  • 10:17 - 10:19
    และผมสัญญาไว้ตอนแรกว่า นี่คือการ
  • 10:19 - 10:23
    ประยุกต์เรื่องอนุกรมเรขาคณิต
  • 10:23 - 10:31
    มันเท่ากับผลบวกของ 1 ส่วน 1 บวก i ยกกำลัง, อืม ผมจะใช้
  • 10:31 - 10:37
    ตัวอักษรอื่นตรงนี้นะ, j จาก j เท่ากับ 1
  • 10:37 - 10:40
    นี่คือกำลังหนึ่ง คุณมองว่านี่คือยกกำลังหนึ่ง
  • 10:40 - 10:43
    ไปจนถึง j เท่ากับ n
  • 10:43 - 10:45
    นั่นก็คือผลบวก
  • 10:45 - 10:48
    ลองดูว่ามันมีวิธีแก้หาผลบวกง่ายๆ ไหม
  • 10:48 - 10:51
    คุณคงไม่อยากทำแบบนี้ 360 ครั้ง
  • 10:51 - 10:53
    คุณทำได้, คุณหาเลขนั้นได้, คุณสามารถหาร
  • 10:53 - 10:55
    l ด้วยจำนวนนั้น, แล้วคุณก็หา p ได้
  • 10:55 - 10:58
    แต่มันมีวิธีทำง่ายกว่านี้มาก, ลองดูว่า
  • 10:58 - 11:01
    เราจะจัดรูปเจ้านี่ได้ไหม
  • 11:01 - 11:03
    เพื่อให้เลขง่ายขึ้น, ขอผมกำหนดสิ่งต่อไปนี้
  • 11:03 - 11:09
    สมมุติว่า r เท่ากับ 1 ส่วน 1 บวก i
  • 11:09 - 11:13
    และขอผมเรียกว่าผลรวมทั้งหมดว่า s
  • 11:13 - 11:16
    ผลบวกนี่ตรงนี้เท่ากับ s
  • 11:16 - 11:20
    แล้วถ้าผมบอกว่า r เท่ากับแต่ละเทอมนี่ แล้ว s
  • 11:20 - 11:22
    จะเท่ากับ นี่จะเท่ากับ r
  • 11:22 - 11:24
    ยกกำลังหนึ่ง
  • 11:24 - 11:26
    ผมจะเขียน r ยกกำลังหนึ่ง นี่คือ r ยกกำลังสอง, เพราะ
  • 11:26 - 11:29
    ถ้าคุณยกกำลังสองตัวเศษ คุณจะได้ 1 เหมือนเดิม
  • 11:29 - 11:34
    นี่ก็คือ บวก r กำลังสอง บวก r กำลังสาม, บวกไปจนถึง
  • 11:34 - 11:38
    นี่คือ r กำลัง n
  • 11:38 - 11:40
    ผมจะแสดงกลให้คุณดู
  • 11:40 - 11:42
    ผมลืมสูตรตลอด, นี่จึงเป็นวิธีที่ดี
  • 11:42 - 11:45
    เพื่อหาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต
  • 11:45 - 11:46
    ที่จริงแล้วมันใช้หาผลบวกของอนุกรม
  • 11:46 - 11:49
    เรขาคณิตแบบอนันต์ด้วยถ้าคุณต้องการ, แต่เรากำลัง
  • 11:49 - 11:52
    ยุ่งกับกรณีไม่ถึงอนันต์อยู่
  • 11:52 - 11:54
    ลองคูณ s ด้วย r ดู
  • 11:54 - 11:57
    แล้ว r คูณs จะเท่ากับอะไร?
  • 11:57 - 12:00
    ถ้าคุณคูณแต่ละเทอมด้วย r, คุณคูณ r
  • 12:00 - 12:02
    กำลังหนึ่ง ด้วย r คุณจะได้ r กำลังสอง
  • 12:02 - 12:06
    คุณคูณ r กำลังสอง ด้วย r, คุณจะได้ r กำลังสาม
  • 12:06 - 12:11
    แล้วถ้าคุณทำไปเรื่อยๆ จนถึง, คุณคูณ r --
  • 12:11 - 12:14
    ดูสิ มี r กำลัง n ลบ 1 ตรงนี้ -- คุณคูณมัน
  • 12:14 - 12:16
    ด้วย r, แล้วคุณจะได้ r กำลัง n
  • 12:16 - 12:19
    แล้วคุณคูณ r กำลัง n คูณ r, คุณจะได้
  • 12:19 - 12:22
    บวก r กำลัง n บวก 1
  • 12:22 - 12:26
    ทั้งหมดนี่ตรงนี้ คือเทอมพวกนี้ทั้งหมดคูณ
  • 12:26 - 12:30
    ด้วย r, และผมเขียนมันให้อยู่ตรงเลขชี้กำลังเดียวกัน
  • 12:30 - 12:32
    ทีนี้สิ่งที่คุณทำได้คือคุณลบบรรทัดสีเขียว
  • 12:32 - 12:34
    จากบรรทัดสีม่วงนี่
  • 12:34 - 12:43
    แล้วถ้าคุณบอกว่า s ลบ rs, คุณจะได้อะไร?
  • 12:43 - 12:46
    ผมก็แค่ลบบรรทัดนี้จากบรรทัดนี้
  • 12:46 - 12:52
    ทีนี้, คุณจะได้ r1 ลบ 0, คุณจะได้ r กำลังหนึ่ง
  • 12:52 - 12:54
    ลบว่างเปล่าตรงนี้
  • 12:54 - 12:56
    แต่เมื่อคุณมี r กำลังสอง ลบ r กำลังสอง ตัดกัน
  • 12:56 - 12:58
    r กำลังสาม ลบ r กำลังสาม ตัดกัน
  • 12:58 - 13:01
    พวกมันตัดกันหมด, ไปจนถึง r กำลัง n ลบ r
  • 13:01 - 13:03
    กำลัง n ตัดกัน, แล้วคุณจะเหลือแค่
  • 13:03 - 13:04
    เทอมสุดท้ายตรงนี้
  • 13:04 - 13:06
    และนี่คือสาเหตุที่มันเจ๋ง
  • 13:06 - 13:11
    คุณก็เหลือแค่ ลบ r กำลัง n บวก 1
  • 13:11 - 13:13
    ทีนี้ลองแยก s ออกมา
  • 13:13 - 13:18
    คุณจะได้ s คูณ 1 ลบ r -- ทั้งหมดที่ผมทำ คือ ผมแยก s ออกมา --
  • 13:18 - 13:24
    เท่ากับ r ยกกำลังหนึ่ง ลบ r ยกกำลังอ n ลบ 1
  • 13:24 - 13:26
    และตอนนี้ถ้าผมหารทั้งสองข้างด้วย 1 ลบ
  • 13:26 - 13:29
    r, คุณจะได้ผลบวก
  • 13:29 - 13:42
    ผลบวก เท่ากับ r ลบ r กำลัง n บวก 1 ส่วน 1 ลบ r
  • 13:42 - 13:45
    นั่นคือสิ่งที่ผลบวกเป็น, โดยเรานิยาม
  • 13:45 - 13:46
    r แบบนี้
  • 13:46 - 13:50
    ทีนี้เราสามารถเขียนสูตรเพี้ยนๆ นี้ใหม่ได้
  • 13:50 - 13:55
    เราบอกได้ว่าปริมาณเงินกู้ เท่ากับ
  • 13:55 - 13:58
    เงินที่จ่ายต่อเดือนคูณเจ้านี่
  • 13:58 - 14:00
    ผมจะเขียนด้วยสีเขียวนะ
  • 14:00 - 14:05
    คูณ r ลบ r กำลัง n บวก 1
  • 14:05 - 14:08
    ทั้งหมดนั้นส่วน 1 ลบ r
  • 14:08 - 14:12
    ทีนี้ถ้าคุณอยากแก้ p คุณก็คูณทั้งสองข้าง
  • 14:12 - 14:18
    ด้วยอินเวอร์สของเจ้านี่, แล้วคุณจะได้ p เท่ากับเงินกู้
  • 14:18 - 14:21
    คูณอินเวอร์สของเจ้านั่น
  • 14:21 - 14:23
    ผมจะใช้สีชมพูนะ, เพราะมันคืออินเวอร์ส
  • 14:23 - 14:31
    1 ลบ r ส่วน r ลบ r กำลัง n บวก 1
  • 14:31 - 14:33
    โดย r คือเจ้านี่ตรงนี้
  • 14:33 - 14:34
    เราทำเสร็จแล้ว
  • 14:34 - 14:37
    นี่คือวิธีที่คุณใช้แก้หา
  • 14:37 - 14:38
    เงินจ่ายเงินกู้ได้
  • 14:38 - 14:40
    ลองใช้สูตรนี้ดู
  • 14:40 - 14:45
    สมมุติว่าคุณมีเงินกู้เท่ากับ $200,000
  • 14:45 - 14:50
    สมมุติว่าอัตราดอกเบี้ยเท่ากับ 6% ต่อปี
  • 14:50 - 14:58
    ซึ่งก็คือ 0.5% ต่อเดือน มันก็เหมือนกับ 0.005
  • 14:58 - 15:00
    นี่คืออัตราดอกเบี้ยต่อเดือน
  • 15:00 - 15:03
    และสมมุติว่ามันเป็นเงินกู้แบบ 30 ปี, ดังนั้น n
  • 15:03 - 15:06
    จะเท่ากับ 360 เดือน
  • 15:06 - 15:08
    ลองหาดูว่าเราได้อะไร
  • 15:08 - 15:10
    อย่างแรกที่เราอยากทำคือ เราอยากหาว่า
  • 15:10 - 15:12
    ค่า r คืออะไร
  • 15:12 - 15:16
    -
  • 15:16 - 15:19
    มันคือ r เท่ากับ 1 ส่วน 1 บวก i
  • 15:19 - 15:31
    ลองเอา 1 หารด้วย 1 บวก i ได้ บวก 0.005
  • 15:31 - 15:34
    นั่นคืออัตราดอกเบี้ยต่อเดือน, ครึ่งเปอร์เซ็นต์
  • 15:34 - 15:39
    -
  • 15:39 - 15:43
    แล้ว 0.995 คือ r ของเรา
  • 15:43 - 15:46
    ขอผมเขียนมันลงไปนะ 0.995
  • 15:46 - 15:48
    ทีนี้ เครื่องคิดเลขนี่ไม่เก็บค่าตัวแปร, งั้นผม
  • 15:48 - 15:51
    จะเขียนมันลงไปตรงนี้
  • 15:51 - 16:00
    r ได้เท่ากับ 0.995
  • 16:00 - 16:02
    ผมจะใช้เจ้านั่นตรงนี้นะ
  • 16:02 - 16:04
    ผมจะเสียความแม่นยำสักหน่อย, แต่ผมว่า
  • 16:04 - 16:06
    มันคงไม่เป็นไร
  • 16:06 - 16:09
    สิ่งสำคัญคือว่า ผมอยากให้คุณเข้าใจแนวคิดตรงนี้
  • 16:09 - 16:11
    แล้วปริมาณที่ต้องจ่ายเป็นเท่าไหร่?
  • 16:11 - 16:24
    ลองคูณปริมาณเงินกู้ นั่นคือ $200,000 คูณ 1 ลบ
  • 16:24 - 16:49
    r, นั่นคือ 1 ลบ 0.995 หารด้วย r ก็คือ 0.995 ลบ 0.995
  • 16:49 - 16:52
    ยกกำลัง -- ตรงนี้ n เท่ากับ 360 เดือน, ดังนั้นมันจะ
  • 16:52 - 16:59
    เป็น 360 บวก 1 ยกกำลัง 361, เป็นเลขที่ผม
  • 16:59 - 17:05
    ไม่มีทางขึ้นในใจได้, แล้วผมก็ปิดวงเล็บ, และ
  • 17:05 - 17:09
    คำตอบสุดท้ายคือประมาณ $1,200
  • 17:09 - 17:11
    ที่จริงถ้าคุณทำแบบทศนิยมครบ คุณจะได้ค่า
  • 17:11 - 17:15
    น้อยกว่านั้นนิดหน่อย, แต่นี่มีค่าประมาณ $1,200
  • 17:15 - 17:18
    แบบนั้น, เราสามารถหาได้แล้ว
  • 17:18 - 17:20
    ว่าเงินจ่ายเงินกู้ควรเป็นเท่าไหร่
  • 17:20 - 17:23
    มันคือ p เท่ากับ $1,200
  • 17:23 - 17:26
    มันเป็นเลขที่หรูหราทีเดียว ในการหา
  • 17:26 - 17:29
    สิ่งที่คนส่วนใหญ่ต้องใช้ในชีวิตประจำวัน, แต่ตอนนี้คุณ
  • 17:29 - 17:30
    รู้เลขเบื้องหลังมันแล้ว
  • 17:30 - 17:32
    คุณไม่ต้องเล่นกับตารางหรือตารางคำนวณ
  • 17:32 - 17:33
    เพื่อทดลองหาค่านั้นอีกต่อไปแล้ว
  • 17:33 - 17:35
    -
Title:
ผลบวกอนุกรมเรขาคณิตเพื่อหาเงินจ่ายเงินกู้
Description:

การหาสูตรสำหรับเงินจ่ายเงินกู้แบบคงที่ โดยใช้ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต

more » « less
Video Language:
English
Duration:
17:36

Thai subtitles

Revisions