-
-
-
สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้ คือพูดถึงคณิตศาสตร์
-
เบื้องหลังการกู้จำนอง
-
และนี่ไม่ใช่วิดีโอเรื่องไฟแนนซ์เสียทีเดียว
-
มันเป็นเรื่องคณิตศาสตร์มากกว่า
-
แต่มันบอกถึง, อย่างน้อยก็ในหัวผม, คำถามพื้นฐาน
-
ที่สุดที่วนเวียนอยู่ในหัวผม
-
เป็นเวลานาน
-
คุณก็รู้, เราต้องกู้เงินแบบนี้ไปซื้อบ้าน
-
สมมุติว่าคุณกู้จำนองได้เงินมา $200,000
-
โดยมีบ้านเป็นหลักประกัน
-
คุณจะจ่ายเงินคืนเป็นเวลา -- 30 ปี หรือคุณ
-
อาจบอกว่ามันคือ 360 -- เดือน
-
เพราะถ้าคุณจ่ายเงินคืนทุกเดือน,
-
โดยทั่วไปแล้วดอกเบี้ยก็จะทบเป็นรายเดือนด้วย
-
และสมมุติว่าคุณจ่ายดอกเบี้ย -- 6%
-
นี่คือดอกเบี้ยต่อปี, และถ้าเขาคิดทบต้น
-
เป็นรายเดือน, มันจะเป็น 6% หารด้วย 12
-
คุณก็ได้ 0.5% ต่อเดือน
-
-
-
ทีนี้โดยทั่วไป เวลาคุณกู้เงินแบบนี้, นายหน้า
-
จำนองหรือนายธนาคาร จะดูตารางหรือ
-
ตัวเลข ในโปรแกรมคอมพิวเตอร์
-
แล้วเขาจะบอกว่า โอ้ โอเค, เงินที่จ่าย
-
จะเป็น $1,200 ต่อเดือน
-
และถ้าคุณจ่าย $1,200 ต่อเดือนเป็นเวลา 360 เดือน, ตอน
-
จบ 360 เดือนนั้น คุณจะจ่ายเงิน $200,000
-
บวกดอกเบี้ยที่คิดเพิ่มเข้าไปจนหมด
-
แต่ตัวเลขนี้ไม่ได้มาง่ายๆ
-
ลองดูตัวอย่างด้วยการกู้จำนองเป็นอย่างไรกันดีกว่า
-
ในวันที่ 0, คุณกู้เงินไป $200,000
-
-
-
คุณยังไม่ต้องจ่ายเงินกู้ใดๆ
-
คุณจะต้องจ่ายเงินกู้ก้อนแรกคืน
-
หนึ่งเดือนจากวันนี้
-
ดังนั้นปริมาณนี้จะทบต้นด้วยดอกเบี้ย 0.5%
-
และทศนิยมหนึ่งตัว มันคือ 0.005
-
แล้วในหนึ่งเดือน, มีดอกเบี้ยด้วย, เจ้านี่จะเพิ่มเป็น
-
200,000 คูณ 1 บวก 0.005
-
แล้วคุณจะจ่ายเงิน $1,200
-
มันก็แค่ ลบ 1,200 หรือบางทีผมควรเขียนว่า 1.2k
-
แต่ผมแค่อยากให้คุณเข้าใจแนวคิดเฉยๆ
-
แล้วในเดือนต่อมา, สิ่งที่เหลือไม่ว่าเท่าไหร่ก็๖าม
-
จะถูกคิดดอกเบี้ยทบต้นอีก 0.5%, 0.005
-
แล้วในเดือนต่อไป คุณจะกลับมาแล้ว
-
คุณก็จ่าย $1,200 อีกที
-
ลบ $1,200
-
และนี่เกิดขึ้นทั้งสิ้น 360 ครั้ง
-
คุณจะทำแบบนี้ต่อไป
-
และคุณนึกภาพได้ว่าถ้าคุณพยายามแก้หา
-
ตัวเลขนี้ -- ตอนจบ คุณจะได้พจน์ที่
-
ใหญ่มาก มันจะมี, คุณก็รู้, วงเล็บ 360 อันตรงนี้
-
-- และตอนจบ ทั้งหมดจะเท่ากับ 0
-
เพราะหลังจากที่คุณจ่ายเงินก้อนสุดท้าย, คุณก็จ่าย
-
เพื่อบ้านจนหมด
-
แต่โดยทั่วไปแล้ว เขาหาเงินที่ต้องจ่ายนี้อย่างไร?
-
ลองเรียกมันว่า p
-
มันมีวิธีหาโดยใช้คณิตศาสตร์ใหม่?
-
เพื่อหาค่าดังกล่าว, ลองทำให้มันเป็นนามธรรมหน่อย
-
สมมุติว่า l เท่ากับจำนวนเงินกู้
-
-
-
สมมุติว่า i คืออัตราดอกเบี้ยรายเดือน
-
-
-
สมมุติว่า n เท่ากับจำนวนเดือน
-
ที่เราสนใจ
-
แล้วเราจะตั้ง p เท่ากับเงิน
-
ที่ต้องจ่ายรายเดือน, เป็นเงินจ่ายเงินกู้ประจำเดือน
-
บางส่วนเพื่อจ่ายดอก, บางส่วนเพื่อจ่ายเงินต้น, แต่คุณ
-
จะจ่ายทุกเดือนเท่าๆ กันเพื่อ
-
จ่ายเงินกู้บวกดอกเบี้ย
-
นี่ก็คือเงินจ่ายรายเดือน
-
-
-
แล้วพจน์เดียวกันนี่ที่ผมเพิ่งเขียนไป, ถ้าผมเขียน
-
มันในรูปตัวแปร, คุณเริ่มต้นด้วยเงินกู้ l.
-
เมื่อผ่านไป 1 เดือน มันทบต้นเป็น 1 บวก i
-
แล้วคุณก็คูณมันด้วย 1 บวก 1 ลบ i. i ใน
-
กรณีนี้คือ 0.005
-
แล้วคุณก็จ่ายเงินประจำเดือน p, งั้นลบ p
-
นั่นคือจบเดือนที่ 1
-
ตอนนี้มีคุณยังมีเงินที่เหลือในเงินกู้
-
นั่นจะเอาไปทบต้นในเดือนต่อไป
-
แล้วคุณก็ต้องจ่ายเงินอีก p
-
แล้วกระบวนการนี้จะซ้ำไป 300 หรือ n ครั้ง
-
เพราะผมยังใช้ตัวแปรอยู่
-
-
-
คุณจะมี n ในวงเล็บ
-
-
-
แล้วเมื่อคุณทำไปทั้งสิ้น n ครั้ง,
-
ทั้งหมดนั่นจะเท่ากับ 0
-
คำถามผมคือว่า, สิ่งที่ผมได้ตั้งขึ้นมา
-
ในวิดีโอนี้, เราจะแก้หา p ได้อย่างไร?
-
คุณก็รู้, ถ้าเรารู้ปริมาณเงินกู้, ถ้าเรารู้อัตราดอกเบี้ย
-
รายเดือน, ถ้าเรารู้จำนวนเดือน,
-
คุณจะแก้หา p ได้อย่างไร?
-
มันดูไม่ใช่สมการพีชคณิต
-
ที่แก้ได้ง่ายๆ เลย
-
ลองดูว่าเราจะสามารถทำอะไรได้สักหน่อยไหม
-
-
-
ลองดูว่าเราสามารถเรียงเจ้านี่ในรูปทั่วไปได้ไหม
-
ลองเริ่มด้วยตัวอย่าง n เท่ากับ 1 ก่อน
-
ถ้า n เท่ากับ 1, สถานการณ์เราจะเป็นแบบนี้
-
คุณเอาเงินกู้มา, คุณคิดทบมันไป 1 เดือน, 1
-
บวก i, แล้วคุณจ่ายเงินของเดือน
-
ทีนี้ นี่คือเงินกู้จำนองที่จ่ายไปใน 1 เดือน, ดังนั้น
-
หลังจากจ่ายไป 1 ครั้ง หนี้คุณก็หมดแล้ว,
-
คุณไม่มีอะไรเหลืออีก
-
ทีนี้ถ้าคุณแก้หา p, คุณก็สามารถสลับข้างได้
-
คุณจะได้ p เท่ากับ l คูณ 1 บวก i
-
หรือถ้าคุณหารทั้งสองข้างด้วย 1 บวก i, คุณจะได้ p ส่วน
-
1 บวก i เท่ากับ l
-
และคุณอาจบอกว่า เฮ้ คุณแก้หา p ได้นี่
-
แล้วคุณจะทำนี่ไปทำไม?
-
และผมทำแบบนี้, เพราะผมอยากให้คุณเห็น
-
รูปแบบที่จะปรากฏขึ้นมา
-
ลองดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อ n เท่ากับ 2
-
-
-
ทีนี้คุณจะเริ่มด้วยเงินกู้
-
มันทบไป 1 เดือน
-
คุณจ่ายเงินไป
-
แล้วยังมีปริมาณที่เหลืออยู่
-
นั่นจะทบไปอีก 1 เดือน
-
แล้วคุณก็จ่ายเงินครั้งที่สอง
-
ทีนี้เงินกู้นี้ต้องจ่ายแค่สองครั้ง,
-
ตอนนี้คุณก็จบแล้ว
-
คุณไม่มีเงินกู้เหลือแล้ว
-
คุณได้จ่ายทั้งต้นทั้งดอกหมดแล้ว
-
ทีนี้ลองแก้หา p กัน
-
ผมจะใช้สีกับ p นะ
-
ผมจะทำให้ p นี่สีชมพู
-
งั้นลองบวก p ทั้งสองข้างแล้วสลับที่กัน
-
แล้ว p สีเขียวนี่จะเท่ากับ
-
เจ้าพวกนี่ตรงนี้ทั้งหมด
-
เท่ากับ l คูณ 1 บวก i ลบ p สีชมพูนั่น
-
มันคือ p เดียวกัน, ผมแค่อยากแสดงให้คุณเห็น
-
ว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อใช้พีชคณิต
-
ลบ p สีชมพูนั่น คูณ 1 บวก i
-
ทีนี้ถาคุณหารทั้งสองข้างด้วย 1 บวก i, คุณจะได้ p
-
ส่วน 1 บวก i เท่ากับ l คูณ 1 บวก i ลบ p สีชมพูนั่น
-
ตอนนี้ลองบวก p สีชมพูนั่นทั้งสองข้างของสมการ
-
คุณจะได้ p ชมพู บวก p นี่ บวก p ส่วน 1 บวก i
-
เท่ากับ l คูณ 1 บวก i
-
ทีนี้หารทั้งสองข้างด้วย 1 บวก i
-
คุณจะได้ p สีชมพู ส่วน 1 บวก i บวก p สีเขียว, p เดียวกันนี้,
-
คูณ -- มันหารด้วย 1 บวก i อยู่แล้ว, คุณ
-
ก็หารมันอีกครั้งด้วย 1 บวก i, มันจึงเป็น
-
หารด้วย 1 บวก i กำลังสอง เท่ากับเงินกู้
-
สิ่งที่น่าสนใจเกิดขึ้นแล้ว
-
คุณอาจอยากดูวิดีโอเรื่องมูลค่าปัจจุบันสักหน่อย
-
ในกรณีนี้, เงินที่คุณจ่าย, คุณลดค่ามัน
-
ด้วยอัตราดอกเบี้ย, แล้วคุณจะได้ปริมาณเงินกู้
-
ตรงนี้คุณเอาเงินที่คุณจ่ายแต่ละเดือน, คุณลดค่ามัน, คุณ
-
หารมันด้วย 1 บวกอัตราดอกเบี้ยต่อเดือน
-
ยกกำลังจำนวนเดือน
-
ที่สุดแล้ว, คุณก็แค่หามูลค่าปัจจุบันของการ
-
จ่ายแต่ละตัว, แล้วเหมือนเดิม, คุณได้เท่ากับปริมาณเงินกู้
-
คุณอาจทดสอบด้วยตนเองก็ได้ ถ้าคุณ
-
อยากฝึกใช้พีชคณิต
-
ถ้าคุณทำแบบนี้กับ n เท่ากับ 3
-
ผมจะไม่ทำเพราะปัญหาเรื่องเวลา
-
ถ้าคุณทำสำหรับ n เท่ากับ 3, คุณจะได้ว่า
-
เงินกู้ เท่ากับ p ส่วน 1 บวก i บวก p ส่วน 1 บวก i กำลังสอง
-
บวก p ส่วน 1 บวก i กำลังสาม
-
ถ้าคุณมีเวลา, ผมแนะนำให้คุณลองพิสูจน์นี่
-
ด้วยตัวเองโดยใช้กระบวนการเดียวกับที่เราทำตรงนี้
-
คุณจะเห็นว่ามันค่อนข้างยุ่งเหยิงทีเดียว
-
มันมีการจัดรูปอะไรมากมาย, แต่มัน
-
ไม่ควรกินเวลาคุณเกินไป
-
แต่โดยทั่วไปแล้ว, หวังว่าผมคงทำให้คุณเห็นแล้วว่า เราสามารถเขียน
-
ปริมาณเงินกู้ เท่ากับมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายทั้งหมด
-
เราจึงบอกได้โดยทั่วไปว่า ปริมาณเงินกู้, ถ้าเรา
-
ขยายผลไปยัง n แทน โดย n เท่ากับจำนวนเดือน, เราก็
-
สามารถบอกว่ามันเท่ากับ -- ผมจะดึง p ออกมาจากสมการนะ
-
มันเท่ากับ p, บวก 1 คูณ 1 ส่วน 1 บวก i
-
บวก 1 ส่วน 1 บวก i กำลังสอง บวก, คุณก็ทำ
-
แบบนี้ไป n ครั้ง, บวก 1 ส่วน 1 บวก i กำลัง n
-
ทีนี้คุณอาจเห็นนี่แล้ว
-
เจ้านี่ตรงนี้คืออนุกรมเรขาคณิต
-
-
-
และมันมีวิธีหาผลบวกของอนุกรม
-
เรขาคณิตที่จบตรงไหนก็ตามอยู่
-
-
-
และผมสัญญาไว้ตอนแรกว่า นี่คือการ
-
ประยุกต์เรื่องอนุกรมเรขาคณิต
-
มันเท่ากับผลบวกของ 1 ส่วน 1 บวก i ยกกำลัง, อืม ผมจะใช้
-
ตัวอักษรอื่นตรงนี้นะ, j จาก j เท่ากับ 1
-
นี่คือกำลังหนึ่ง คุณมองว่านี่คือยกกำลังหนึ่ง
-
ไปจนถึง j เท่ากับ n
-
นั่นก็คือผลบวก
-
ลองดูว่ามันมีวิธีแก้หาผลบวกง่ายๆ ไหม
-
คุณคงไม่อยากทำแบบนี้ 360 ครั้ง
-
คุณทำได้, คุณหาเลขนั้นได้, คุณสามารถหาร
-
l ด้วยจำนวนนั้น, แล้วคุณก็หา p ได้
-
แต่มันมีวิธีทำง่ายกว่านี้มาก, ลองดูว่า
-
เราจะจัดรูปเจ้านี่ได้ไหม
-
เพื่อให้เลขง่ายขึ้น, ขอผมกำหนดสิ่งต่อไปนี้
-
สมมุติว่า r เท่ากับ 1 ส่วน 1 บวก i
-
และขอผมเรียกว่าผลรวมทั้งหมดว่า s
-
ผลบวกนี่ตรงนี้เท่ากับ s
-
แล้วถ้าผมบอกว่า r เท่ากับแต่ละเทอมนี่ แล้ว s
-
จะเท่ากับ นี่จะเท่ากับ r
-
ยกกำลังหนึ่ง
-
ผมจะเขียน r ยกกำลังหนึ่ง นี่คือ r ยกกำลังสอง, เพราะ
-
ถ้าคุณยกกำลังสองตัวเศษ คุณจะได้ 1 เหมือนเดิม
-
นี่ก็คือ บวก r กำลังสอง บวก r กำลังสาม, บวกไปจนถึง
-
นี่คือ r กำลัง n
-
ผมจะแสดงกลให้คุณดู
-
ผมลืมสูตรตลอด, นี่จึงเป็นวิธีที่ดี
-
เพื่อหาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต
-
ที่จริงแล้วมันใช้หาผลบวกของอนุกรม
-
เรขาคณิตแบบอนันต์ด้วยถ้าคุณต้องการ, แต่เรากำลัง
-
ยุ่งกับกรณีไม่ถึงอนันต์อยู่
-
ลองคูณ s ด้วย r ดู
-
แล้ว r คูณs จะเท่ากับอะไร?
-
ถ้าคุณคูณแต่ละเทอมด้วย r, คุณคูณ r
-
กำลังหนึ่ง ด้วย r คุณจะได้ r กำลังสอง
-
คุณคูณ r กำลังสอง ด้วย r, คุณจะได้ r กำลังสาม
-
แล้วถ้าคุณทำไปเรื่อยๆ จนถึง, คุณคูณ r --
-
ดูสิ มี r กำลัง n ลบ 1 ตรงนี้ -- คุณคูณมัน
-
ด้วย r, แล้วคุณจะได้ r กำลัง n
-
แล้วคุณคูณ r กำลัง n คูณ r, คุณจะได้
-
บวก r กำลัง n บวก 1
-
ทั้งหมดนี่ตรงนี้ คือเทอมพวกนี้ทั้งหมดคูณ
-
ด้วย r, และผมเขียนมันให้อยู่ตรงเลขชี้กำลังเดียวกัน
-
ทีนี้สิ่งที่คุณทำได้คือคุณลบบรรทัดสีเขียว
-
จากบรรทัดสีม่วงนี่
-
แล้วถ้าคุณบอกว่า s ลบ rs, คุณจะได้อะไร?
-
ผมก็แค่ลบบรรทัดนี้จากบรรทัดนี้
-
ทีนี้, คุณจะได้ r1 ลบ 0, คุณจะได้ r กำลังหนึ่ง
-
ลบว่างเปล่าตรงนี้
-
แต่เมื่อคุณมี r กำลังสอง ลบ r กำลังสอง ตัดกัน
-
r กำลังสาม ลบ r กำลังสาม ตัดกัน
-
พวกมันตัดกันหมด, ไปจนถึง r กำลัง n ลบ r
-
กำลัง n ตัดกัน, แล้วคุณจะเหลือแค่
-
เทอมสุดท้ายตรงนี้
-
และนี่คือสาเหตุที่มันเจ๋ง
-
คุณก็เหลือแค่ ลบ r กำลัง n บวก 1
-
ทีนี้ลองแยก s ออกมา
-
คุณจะได้ s คูณ 1 ลบ r -- ทั้งหมดที่ผมทำ คือ ผมแยก s ออกมา --
-
เท่ากับ r ยกกำลังหนึ่ง ลบ r ยกกำลังอ n ลบ 1
-
และตอนนี้ถ้าผมหารทั้งสองข้างด้วย 1 ลบ
-
r, คุณจะได้ผลบวก
-
ผลบวก เท่ากับ r ลบ r กำลัง n บวก 1 ส่วน 1 ลบ r
-
นั่นคือสิ่งที่ผลบวกเป็น, โดยเรานิยาม
-
r แบบนี้
-
ทีนี้เราสามารถเขียนสูตรเพี้ยนๆ นี้ใหม่ได้
-
เราบอกได้ว่าปริมาณเงินกู้ เท่ากับ
-
เงินที่จ่ายต่อเดือนคูณเจ้านี่
-
ผมจะเขียนด้วยสีเขียวนะ
-
คูณ r ลบ r กำลัง n บวก 1
-
ทั้งหมดนั้นส่วน 1 ลบ r
-
ทีนี้ถ้าคุณอยากแก้ p คุณก็คูณทั้งสองข้าง
-
ด้วยอินเวอร์สของเจ้านี่, แล้วคุณจะได้ p เท่ากับเงินกู้
-
คูณอินเวอร์สของเจ้านั่น
-
ผมจะใช้สีชมพูนะ, เพราะมันคืออินเวอร์ส
-
1 ลบ r ส่วน r ลบ r กำลัง n บวก 1
-
โดย r คือเจ้านี่ตรงนี้
-
เราทำเสร็จแล้ว
-
นี่คือวิธีที่คุณใช้แก้หา
-
เงินจ่ายเงินกู้ได้
-
ลองใช้สูตรนี้ดู
-
สมมุติว่าคุณมีเงินกู้เท่ากับ $200,000
-
สมมุติว่าอัตราดอกเบี้ยเท่ากับ 6% ต่อปี
-
ซึ่งก็คือ 0.5% ต่อเดือน มันก็เหมือนกับ 0.005
-
นี่คืออัตราดอกเบี้ยต่อเดือน
-
และสมมุติว่ามันเป็นเงินกู้แบบ 30 ปี, ดังนั้น n
-
จะเท่ากับ 360 เดือน
-
ลองหาดูว่าเราได้อะไร
-
อย่างแรกที่เราอยากทำคือ เราอยากหาว่า
-
ค่า r คืออะไร
-
-
-
มันคือ r เท่ากับ 1 ส่วน 1 บวก i
-
ลองเอา 1 หารด้วย 1 บวก i ได้ บวก 0.005
-
นั่นคืออัตราดอกเบี้ยต่อเดือน, ครึ่งเปอร์เซ็นต์
-
-
-
แล้ว 0.995 คือ r ของเรา
-
ขอผมเขียนมันลงไปนะ 0.995
-
ทีนี้ เครื่องคิดเลขนี่ไม่เก็บค่าตัวแปร, งั้นผม
-
จะเขียนมันลงไปตรงนี้
-
r ได้เท่ากับ 0.995
-
ผมจะใช้เจ้านั่นตรงนี้นะ
-
ผมจะเสียความแม่นยำสักหน่อย, แต่ผมว่า
-
มันคงไม่เป็นไร
-
สิ่งสำคัญคือว่า ผมอยากให้คุณเข้าใจแนวคิดตรงนี้
-
แล้วปริมาณที่ต้องจ่ายเป็นเท่าไหร่?
-
ลองคูณปริมาณเงินกู้ นั่นคือ $200,000 คูณ 1 ลบ
-
r, นั่นคือ 1 ลบ 0.995 หารด้วย r ก็คือ 0.995 ลบ 0.995
-
ยกกำลัง -- ตรงนี้ n เท่ากับ 360 เดือน, ดังนั้นมันจะ
-
เป็น 360 บวก 1 ยกกำลัง 361, เป็นเลขที่ผม
-
ไม่มีทางขึ้นในใจได้, แล้วผมก็ปิดวงเล็บ, และ
-
คำตอบสุดท้ายคือประมาณ $1,200
-
ที่จริงถ้าคุณทำแบบทศนิยมครบ คุณจะได้ค่า
-
น้อยกว่านั้นนิดหน่อย, แต่นี่มีค่าประมาณ $1,200
-
แบบนั้น, เราสามารถหาได้แล้ว
-
ว่าเงินจ่ายเงินกู้ควรเป็นเท่าไหร่
-
มันคือ p เท่ากับ $1,200
-
มันเป็นเลขที่หรูหราทีเดียว ในการหา
-
สิ่งที่คนส่วนใหญ่ต้องใช้ในชีวิตประจำวัน, แต่ตอนนี้คุณ
-
รู้เลขเบื้องหลังมันแล้ว
-
คุณไม่ต้องเล่นกับตารางหรือตารางคำนวณ
-
เพื่อทดลองหาค่านั้นอีกต่อไปแล้ว
-
-