Ipotek ödemeleri anlamaya Geometrik seri toplamı

Figuring out the formula for fixed mortgage payments using the sum of a geometric series

Ne bu video yapmak istiyorum matematik üzerine gitmek.

Bir konut kredisi arkasında.

Ve bu gerçekten bir finans video olacak değildir.

Aslında daha bir çok matematiksel bulunuyor.

Ama, en azından aklımda en temel adreslerinden biri

en azından benim kafamda çizerek oldu sorular

uzun bir süre.

Biliyorsunuz, biz ev satın almak için kredi almak.

Diyelim ki 200.000 dolarlık bir mortgage kredisi almak söylüyorlar.

Evinizin güvenli.

Bunu ödemek için gidiyoruz - 30 yaş, ya da olabilir

360 olduğunu söylemek aylık.

Normalde her ay ödemeleri ödeme yapıyorsanız, Çünkü

aylık faiz normalde bileşikler.

Faiz -% 6 ödeme yapıyorsanız diyelim.

Bu, yıllık faiz ve genellikle bileşik

, bu yüzden 12 ile aylık bazda% 6 ayrılmıştır.

Ayda yaklaşık% 0.5 bahsediyoruz.

Şimdi böyle bir kredi, ipotek olsun normal

komisyoncu veya sizin bankacı bazı tip grafik içine bakmak veya

bilgisayar programı bazı tip numaraları yazın.

Ve onlar Tamam oh, ödemenizi gidiyor söyleyeceğim

Ayda 1200 $.

Ve siz, 360 ay boyunca aylık 1.200 ABD doları öderseniz

Bu 360 ay sonunda 200.000 $ ödedi olacak

ayrıca herhangi bir faiz tahakkuk olabilir.

Ama bu sayı gelmek için o kadar kolay değil.

Diyelim ki sadece gerçek ipotek nasıl çalıştığını gösteren bir örnek göstermektedir.

Yani sıfır gün, 200.000 dolarlık kredi var.

Herhangi bir ipotek ödemeleri ödemezsiniz.

Ilk mortgage ödemesi için gidiyoruz

bugünden itibaren bir ay.

Yani bu miktarın% 0,5 oranında bileşik olacak.

ondalık sayı olarak 0.005 bulunuyor.

Yani bir ay içinde, faiz, bu yetiştirilen olacak

200.000 kez 1 artı 0.005.

Sonra 1200 $ ödemek için gidiyoruz.

Sadece 1.200 eksi olacak ya da belki ben 1.2K yazmalısınız.

Ama ben sadece gerçekten sadece fikir gösteren ediyorum.

Ve sonra bir sonraki ay için ne olursa olsun, arta kalan

% 0.5, 0.005 tarafından tekrar bileşik gidiyor.

Ve gelecek ay sonra geri gelmek için gidiyoruz ve konum

yine bu 1200 $ ödemek için gidiyorum.

Eksi 1200 $.

Ve bu 360 kez ne olacak.

Yani bunu yapmaya devam edeceğiz.

Aslında çözmeye çalışıyorsanız ve bunları hayal edebileceğiniz

bu sayı - bunun sonunda bu büyük gidiyoruz

olacak ifadesi üzerine 360 parantez biliyorum

- ve sonunda hepsi 0'a eşit olması oluyor.

Eğer son ödeme ödendikten sonra, bitirdiniz Çünkü

evin amorti.

Ama genel olarak bu ödeme anlamaya yaptı?

Diyelim ki s. diyoruz

Anlamaya herhangi bir matematiksel bir yolu var mı?

Ve bunu yapmak için biraz daha soyut başlayalım.

Diyelim l kredi miktarına eşit olduğunu söylüyorlar.

I aylık faiz eşit olduğunu varsayalım.

Diyelim n ay sayısına eşit olduğunu söylüyorlar

biz uğraşıyoruz.

Ve sonra biz p ayarlamak için gidiyoruz aylık eşit

ödeme, aylık ipotek ödemesini.

Bunlardan bazıları, bazıları bir ilkedir ilgi, ama

aynı miktarda aşağı ödemek için her ay ödemek için gidiyoruz

Bu kredi artı faiz.

Yani bu aylık ödeme.

Ben yazdı bu aynı ifade Yani sadece orada yazdı

soyut açısından, bir kredi miktarı l. ile başlamak

1 ay sonra bu bileşikler olarak 1 artı i.

Yani, kez 1 artı i. çarpma Bu

durum 0.005 oldu.

Sonra bunu eksi s., p aylık ödemeyi

Yani bu bir ayın sonunda.

Şimdi hala kredinin kalan bir miktar var.

Bu artık bir sonraki ay içinde bileşik olacaktır.

Sonra başka bir ödeme s. ödemek için gidiyoruz

Ve sonra bu süreç, 300 ya da n kez tekrar edeceğim.

Ben soyut kalıyorum.

N parantez gidiyoruz.

Ve bu n kere yaptıktan sonra, tüm

0'a eşit olacak.

Benim soru, ben aslında kurma olduğumu

Bu video, nasıl p çözmek??

Kredi miktarını biliyorsanız aylık biliyorsanız,

faiz oranı, ay numarasını biliyorsanız, nasıl

p çözmek mi?

Bu gerçekten kolay bir cebirsel gibi görünmüyor

denklemi çözmek için.

Biz çok az ilerleme yapabilirsiniz görelim.

Bu bizim genel bir şekilde yeniden düzenleyebilirsiniz görelim.

Yani n 1'e eşit olan bir örnek ile başlayalım.

N, 1'e eşit ise, o zaman durum şuna benzer:

Eğer kredi, 1, bir ay boyunca bu bileşiğin

artı i ve daha sonra aylık ödeme ödemek.

Şimdi bu 1 ay içinde ödenmesi alan bir ipotek olduğunu, bu yüzden

Şimdi bu 1 ödenmesinden sonra, kendi kredi ile yapılır

arta kalan hiçbir şey yok.

P çözmek Şimdi artık taraf takas edebilirsiniz.

P l kere 1 artı i. eşit olsun

1 ile her iki taraf bölmek artı Veya, p olsun

1 artı i l. eşit

Hey sen zaten p çözülmesi diyebilirsiniz

Bunu neden yapıyorsun?

Sana göstermek istiyorum çünkü Ve ben bunu yapıyorum

ortaya edeceğiz desen.

N 2 eşit olduğunda ne olur görelim.

Peki o zaman kredi miktarı ile başlar.

Bir ay boyunca bileşikler.

Ödemenizi yapın.

Daha sonra arta kalan bir miktar var.

Bu bir ay boyunca bileşik.

Sonra ikinci bir ödeme yapmak.

Şimdi bu ipotek, sadece iki ödeme ihtiyacı

şimdi yapılır.

Arta kalan herhangi bir kredi var.

Tüm anapara ve faiz ödedim.

Şimdi s. için çözmek

Bu yüzden p renk gidiyorum.

Ben bu p pembe yapmak için gidiyorum.

Yani her iki taraf ve takas taraf p ekleyelim.

Yani bu yeşil p bu herkes için eşit olacak

Burada iş.

L kez 1 eşit artı i eksi o pembe s.

Bunlar aynı p, ben sadece ne göstermek istediğiniz

cebirsel oluyor.

Eksi pembe bu p kere 1 artı i.

1 ile her iki taraf bölmek artı Şimdi, eğer p üzerinden almak

1 artı i l kez 1 eşit artı i eksi bu pembe s.

Şimdi bu denklemin her iki taraf için o pembe p ekleyelim.

1 üzerinde pembe p artı bu p artı p artı i

l kere 1 artı i. eşit

Şimdi her iki tarafta 1 artı i. bölün

1 üzerinde pembe p olsun artı artı yeşil p, aynı p

defa - 1 ile zaten bölünmüş olan artı ben, sen

1 ile tekrar bölmek için artı i, bu yüzden olacak

1 bölü artı i karesi kredi eşit.

Ilginç bir şey ortaya çıkıyor.

Bugünkü değeri videoları izlemek isteyebilirsiniz.

Bu durumda, ödeme almak, bunu indirim

Aylık faiz oranı, kredi miktarı olsun.

Burada her ödemeleri almak, size indirim

ile 1 bölün artı aylık faiz oranı

ay sayısını güç.

Yani aslında sizin, bugünkü değeri alıyorsun

ödemeleri ve bir kez daha, size kredi miktarı olsun.

İsterseniz kendiniz için bu doğrulamak için isteyebileceğiniz bir

cebir uygulama biraz.

N Bunu yaparsanız 3 eşit.

Ben sadece zaman uğruna bunu yapmak için gitmiyorum.

3 'e eşit olan n yoksa, almak için gidiyoruz

kredi üzerinden 1 p eşit artı 1'in üzerinde artı p artı i karesi

üçüncü artı p 1 artı ben.

Biraz zaman varsa, bunu kanıtlamak için teşvik ediyoruz

kendinizi sadece burada aynı süreç.

Biraz harry almak için gidiyoruz görmeye gidiyoruz.

Orada bir sürü bir manipüle şeyler olacak, ama

çok uzun sürecektir.

Ancak genel olarak, umarım, ben yazabilirsiniz gösterdik

tüm ödemelerin bugünkü değeri olarak kredi miktarı.

Bu yüzden, genel olarak kredi miktarı söyleyebiliriz, eğer biz şimdi

n yerine n bunu genelleştirmek sayısına eşittir,

eşit olduğunu söylemek aslında dışarı p götüreyim

denklemi, bu yüzden p kere 1 artı 1 artı 1'in üzerinde i eşit

artı 1 1 üzerinde artı i artı karesi ve sadece tutmak

n bu kez, artı 1 artı 1'in üzerinde i n. yapıyor

Şimdi bu tanıyabilir.

Bu hak, burada bir geometrik dizi.

Ve geometrik toplamları anlamaya yol vardır

keyfi amaçlar için dizi.

Ben videonun başında söz verdiğimiz gibi bu olurdu

geometrik bir dizi bir uygulama.

1 üzerinden 1 toplamına eşit artı i iyi kullanacağız için

j j için buraya başka bir mektup, 1'e eşit.

Bu görünümde bir güç ilk

j güç n. eşit

Bu tam olarak ne olduğunu bu toplamı.

Bu toplamı çözmek için herhangi bir basit bir yolu varsa görelim.

Bu 360 kez yapmak istemiyorum.

Sen, bir sayı elde edersiniz, ve sonra bölmek olabilir

bu sayı l ve s. çözülmüş olurdu

Ama bunu yapmak için basit bir yol var, bu yüzden görelim

Bu kolaylaştırabilirsiniz.

Sadece matematik kolaylaştırmak için, bana bir tanım yapalım.

R, 1 artı i. üzerinde 1 'e eşit olduğunu söylüyorlar

Ve tüm bu toplamı diyelim s

Bu miktar tam burada s eşittir

R bu terimlerin her birine eşit olduğunu söylüyorlar Then s

Bu eşit olacak r gidiyor

ilk güç.

Çünkü, bu r kare olacak ilk r yazacağım

pay kare eğer sadece tekrar 1 almak.

Yani bu artı üçüncü r kare artı r, artı tüm

n. r yolu

Ve ben size küçük bir hile göstereceğim.

Ben her zaman formül unutmak, bu iyi bir yoldur

geometrik bir dizi toplamı anlamaya.

Aslında bu sonsuz bir miktar bulmak için kullanılan olabilir

geometrik dizi isterseniz, ama biz uğraşıyoruz

sonlu bir biri ile.

S kez r ile çarpın bakalım

Yani r kez ne eşit olacak?

R tarafından bu terimlerin her çarpın, r çarpın

ilk kez r kare r olsun.

Sen üçüncü r olsun r r kare kez çarpın.

Ve sonra tüm yol, r çarpın yapmaya devam

n eksi bir r burada görmek size çarpmak

kez r n. r olsun

Ve sonra n kere r r çarpın,

n artı 1 artı r.

Bütün bunlar, burada bütün bu terimlerin çarpılır

r tarafından, ben sadece onları aynı üs altında koydu.

Şimdi ne yapabilirim, bu yeşil çıkarma

Bu mor çizgi çizgi.

Yani, biz s eksi rs söylemek olsaydı ne alırım?

Ben sadece bu hat bu hat çıkarılarak ediyorum.

Peki, r1 eksi 0 olsun, bu yüzden ilk r olsun

orada güç eksi şey.

Ama o zaman kare r kare eksi r r iptal

iptal üçüncü üçüncü eksi r.

Hepsi n eksi r r, tüm yol kadar iptal

n iptal, ancak daha sonra bu kalacaksın

Burada son bir terim.

Ve bu neden düzgün bir hüner.

Yani, n artı 1 eksi r kalacaksın.

Şimdi bir s dışarı faktörü

S kere 1 eksi r olsun - ben yaptım s dışarı çarpanlarına

r ilk güç eksi r n artı 1 eşittir.

Ve şimdi her iki tarafın eksi 1 bölün eğer

r, toplamı olsun.

Toplam 1 eksi r üzerinde eşit> r eksi r> n artı 1

Belirlediğimiz Yani, bizim toplamına eşittir.

Bu şekilde bizim r.

Yani şimdi bütün bu deli formül yazabilirsiniz.

Biz bizim kredi miktarı aylık eşit olduğunu söyleyebiliriz

ödeme kez bu şey.

Ben yeşil yazacağım.

Times r eksi r n artı 1.

1 eksi r üzerinde bu

P çözmek için çalışıyoruz Şimdi eğer her iki taraf çarpın

p bu ters ve kredi eşit

Bu miktarı kez ters.

Ters, çünkü pembe yapıyorum.

1 eksi r eksi r üzerinden n artı 1 r.

R orada bir şeydir.

Ve biz yapılır.

Bu gerçek aslında nasıl çözebilir

ipotek ödeme.

Aslında uygulayalım.

Bu yüzden kredi $ 200,000 eşit olduğunu söyleyelim.

Faiz oranı yıllık% 6 eşit olduğunu varsayalım.

0.005 olarak aynı şeydir% 0.5 aylık.

Bu aylık faiz oranıdır.

Ve diyelim bir 30 yıl vadeli kredi söylüyorlar, bu yüzden n gidiyor

360 aya kadar eşit olmalıdır.

Ne elde edeceğimizi anlamaya edelim.

Yani, bizim yapmak istediğimiz ilk şey anlamaya istiyoruz

dışında ne bizim r değerdir.

Yani r 1 1 üzerinde artı i.

Yani 1 bölü 1 atalım artı i artı 0.005.

Bu yarım, aylık faiz yüzde budur.

Yani 0.995, r eşit olduğunu.

Beni aşağı 0.995 yazmak.

Şimdi bu hesap makinesi mağaza değişkenler değildir, bu yüzden gelecek

sadece burada yazmak.

Yani r 0.995 eşit.

Biz sadece, orada kullanılır.

Ben biraz hassasiyet kaybetme, ama I

Tamam olacağını düşünüyorum.

Ana şey, ben burada size fikir vermek istiyorum.

Yani bizim ödeme miktarı nedir?

Eksi $ 200.000 kez 1 bulunuyor kredi miktarı çarpın bakalım

0.995 eksi 0.995 için r tarafından bölünmüş r, bu nedenle 1 eksi 0.995

, şimdi n 360 ay, bu yüzden olacak

361 güç 360 artı 1, kesinlikle bir şey

başımı, ve sonra parantez yakın ve benim

son cevap yaklaşık 1200 $.

Aslında tam hassasiyetle bunu biraz olsun

biraz daha düşük, ancak bu yaklaşık 1200 $ olacak.

Yani bunun gibi, biz anlamaya başardık bizim

gerçek ipotek ödeme.

Yani p 1200 $ eşit.

Yani anlamaya bazı makul fantezi matematik

çoğu insanın günlük anlaşma, ama şimdi biliyorum ki bir şey

arkasındaki gerçek matematik.

Bazı tablo veya elektronik tablo ile oynamak zorunda değilsiniz

tür deneysel numarası almak.