Geometric series sum to figure out mortgage payments

Figuring out the formula for fixed mortgage payments using the sum of a geometric series

这一节讲抵押贷款背后的数学知识

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这不是金融视频

它更倾向于数学

它讲的是大家日常生活中需要碰到的基础问题

它讲的是大家日常生活中需要碰到的基础问题

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买房子需要贷款

假设有20万美元的抵押贷款

由住房作保

偿还期是30年 或者说360月

oCourse字幕组翻译：只做公开课的字幕组 http://ocourse.org

还贷一般是按月进行的

按月计算复利利息

假设偿付利率是6%

这是年利率

月利率需要除以12

所以每月利率是0.5%

通常 这样贷款时

经纪人会提供一张电脑计算好的表格

经纪人会提供一张电脑计算好的表格

告诉你 每月需要偿还1200美元

360个月每月支付1200美元

到360个月末 本金20万还完

利息也还完

这个数字其实并不好算

我举个例子讲抵押贷款吧

一开始 贷款额是20万美元

此时不用还款

一个月后偿还第一笔钱

此时 这笔钱产生了0.5%的利息

用小数计也就是0.005

一个月后 欠款额增长到20万乘(1+0.005)

然后你需要偿还1200美元

所以还要减1200美元 也就是1.2K

所以还要减1200美元 也就是1.2K

然后下一个月末 以这个为基数

再次计算利息 欠款额是这个乘1.005

这时 又要偿还1200美元 减去1200

这时 又要偿还1200美元 减去1200

相同运算要做360次

相同运算要做360次

想一下 如果要把这个式子写完整

想一下 如果要把这个式子写完整

光括号就有360对 式子将非常的长

而且最终结果将等于0

因为最后一次偿还后 房款就还清了

这里的月还款额是怎么求出来的呢

设为P吧

有没有数学方法能求出它呢

先简单抽象一下吧

设L为贷款额

i为月利率

而n是需要偿还的月数

而P是每月偿还的数额

一部分是本金 一部分是利息 每月等额

这让剩余贷款额持续减少

P是每月还款额

把上面这个式子

写成抽象形式 开始贷款额是L

1个月后 加利息 乘1+i 其中i=0.005

1个月后 加利息 乘1+i 其中i=0.005

然后每月等额偿还P 所以-P

这是1个月后的欠款额

这是1个月后的欠款额

这笔款下一个月产生利息

然后又要偿还P

这个过程要持续n次

用抽象的说法 这里有n对括号

n次后 这整个式子等于0

问题是 如何求解P

问题是 如何求解P

已知贷款额 已知月利率 已知还款期限 如何求P

已知贷款额 已知月利率 已知还款期限 如何求P

貌似解起来没有那么简单

看看有什么头绪没

这个需要整理一下

从n=1开始看起

n=1时 则情况是这样的

贷款额L 加上一个月的利息 乘1+i

然后偿还月应还额

这是1个月还清的贷款

一次还完 这边就是0了

一次还完 这边就是0了

解出P 得到P=L(1+i)

解出P 得到P=L(1+i)

两侧同时除以1+i 有P/(1+i)=L

解出P了 干嘛要这样呢

因为我想展示一种规律

再看n=2时的情况

开始时贷款额还是L

加上一个月后的利息

偿还定额

剩下部分贷款额

再加一个月利息

然后再偿还一次

这个贷款只需要偿还两次 这就还完了

不欠钱了

本金和利息都还完了

下面求解P

把这个P标成粉色

两侧同时加P 换边

绿P等于这整个 即L(1+i)-粉P…

绿P等于这整个 即L(1+i)-粉P…

两个P一样 我只是想让代数运算更清楚一些

减去粉P 乘以1+i

两侧同时除以1+i 得到

P/(1+i)=L(1+i)-粉P

两侧同时加上粉P

有粉P+绿P/(1+i)=L(1+i)

两侧同时除以1+i

有粉P/(1+i)+绿P/(1+i)2…

绿P已经除以了1+i

再除以一个1+i 所以是除以(1+i)2

等于贷款额

有趣的现象出现了

大家可以参阅一下现值的视频

这种情况 月还款额P以月利率折现得到贷款额L

这种情况 月还款额P以月利率折现得到贷款额L

这里 每月还款额进行折现

即分别除以1+月利率的月数次方

贷款额L仍然相当于还款P的现值

贷款额L仍然相当于还款P的现值

大家可以自己验证一下

大家可以自己验证一下

时间有限 n=3

我就直接写结果了

n=3时 贷款额L=P/(1+i)+P/(1+i)2+P/(1+i)3

n=3时 贷款额L=P/(1+i)+P/(1+i)2+P/(1+i)3

有空的话 大家可以用之前的步骤自己证明一下

有空的话 大家可以用之前的步骤自己证明一下

算起来会有些麻烦 但应该不难

算起来会有些麻烦 但应该不难

但愿 大家已经明白

贷款额L可以写成所有还款P的现值形式

也就是说 推广一下 贷款额L

当还款期限是n个月的时候

P可以提出来

L=P[1/(1+i)+1/(1+i)2+…+1/(1+i)?] 总共n项

L=P[1/(1+i)+1/(1+i)2+…+1/(1+i)?] 总共n项

L=P[1/(1+i)+1/(1+i)2+…+1/(1+i)?] 总共n项

这个你应该认识

这是等比数列

等比数列求和的方法很多

标题就说了

这一节是等比数列的应用

等比数列之和是所有1/(1+i)j之和

j从1开始

也就是1次方

一直到j=n

这就是数列和

看看有没有简单方法能求出这个和的

肯定不能硬算360次

求出和之后 除L 就能解出P

求出和之后 除L 就能解出P

求和显然应该有简单方法

求和显然应该有简单方法

为了计算简单 先下一个定义

设r=1/(1+i)

整个和记作S

r是1/(1+i) 则S=r1+r2+…+r?

这是r的一次方

然后是r2

因为分子1的平方还是1

后面是+r2+r3+…+r? 一直加到r?

下面需要技巧

我不喜欢记公式

这是等比数列求和的好方法

其实 求无穷级数时也可以这样做

有限情况 显然也是适用的

用S乘以r

rS等于什么

每一项乘以r r?r=r2

每一项乘以r r?r=r2

r2?r=r3

一直乘下去

这里有个r??1

乘r得到r?

r??r=r??1 加到后面

每一项乘以r 这里对齐了一下

每一项乘以r 这里对齐了一下

然后可以用紫式减去绿式

即用S减去rS

两式相减

r1-0还是r1

然后r2没了

r3也没了

这些都没了 一直到r?

只剩下最后一项

方法很巧

剩下-r??1 提出S

有S(1-r)=r1-r??1

有S(1-r)=r1-r??1

两侧同时除以1-r 得到

数列和S=(r-r??1)/(1-r)

这就是数列和 而r=1/(1+i)

那么这个复杂的式子就能化简了

贷款额L=月还款P乘以这个和

用绿色表示

乘以(r-r??1)/(1-r)

要求P 两侧同时乘以这个和的倒数

P=L乘以这个和的倒数

用粉色写出它的倒数吧

(1-r)/(r-r??1)

而r是这个 这就搞定了

用这就能算出贷款还款额P了

用它算算

贷款额是20万美元

利率一年是6%

每月是0.5% 也就是0.005

这是月利率

这是30年期贷款 所以n是360月

求一下

首先求r值

r=1/(1+i)

即1/(1+0.005)

0.005是月利率 1%的一半

算出r大概是0.995

写一下 0.995

这个计算器无法存储变量 我写一下

r=0.995

这个r

损失了一些精度 不过没关系

这里只需要大家理解思路

偿还额P等于

L(1-r)/(r-r??1)=200000(1-0.995)/(0.995-0.9953?1)

L(1-r)/(r-r??1)=200000(1-0.995)/(0.995-0.9953?1)

L(1-r)/(r-r??1)=200000(1-0.995)/(0.995-0.9953?1)

L(1-r)/(r-r??1)=200000(1-0.995)/(0.995-0.9953?1)

L(1-r)/(r-r??1)=200000(1-0.995)/(0.995-0.9953?1)

最终答案大概是1200美元

如果精确计算的话 应该更接近1200

如果精确计算的话 应该更接近1200

这就能求出抵押贷款月还款额P了

P=1200美元

这就是这一日常事务背后的数学了

这就是这一日常事务背后的数学了

不需要查表或用电子表格

就能算出这个数字