Geometric series sum to figure out mortgage payments

Figuring out the formula for fixed mortgage payments using the sum of a geometric series

這一節講抵押貸款背後的數學知識

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這不是金融影片

它更傾向於數學

它講的是大家日常生活中需要碰到的基礎問題

它講的是大家日常生活中需要碰到的基礎問題

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買房子需要貸款

假設有20萬美元的抵押貸款

由住房作保

償還期是30年 或者說360月

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還貸一般是按月進行的

按月計算複利利息

假設償付利率是6%

這是年利率

月利率需要除以12

所以每月利率是0.5%

通常 這樣貸款時

經紀人會提供一張電腦計算好的表格

經紀人會提供一張電腦計算好的表格

告訴你 每月需要償還1200美元

360個月每月支付1200美元

到360個月末 本金20萬還完

利息也還完

這個數字其實並不好算

我舉個例子講抵押貸款吧

一開始 貸款額是20萬美元

此時不用還款

一個月後償還第一筆錢

此時 這筆錢産生了0.5%的利息

用小數計也就是0.005

一個月後 欠款額增長到20萬乘(1+0.005)

然後你需要償還1200美元

所以還要減1200美元 也就是1.2K

所以還要減1200美元 也就是1.2K

然後下一個月末 以這個爲基數

再次計算利息 欠款額是這個乘1.005

這時 又要償還1200美元 減去1200

這時 又要償還1200美元 減去1200

相同運算要做360次

相同運算要做360次

想一下 如果要把這個式子寫完整

想一下 如果要把這個式子寫完整

光括號就有360對 式子將非常的長

而且最終結果將等於0

因爲最後一次償還後 房款就還清了

這裡的月還款額是怎麽求出來的呢

設爲P吧

有沒有數學方法能求出它呢

先簡單抽象一下吧

設L爲貸款額

i爲月利率

而n是需要償還的月數

而P是每月償還的數額

一部分是本金 一部分是利息 每月等額

這讓剩余貸款額持續減少

P是每月還款額

把上面這個式子

寫成抽象形式 開始貸款額是L

1個月後 加利息 乘1+i 其中i=0.005

1個月後 加利息 乘1+i 其中i=0.005

然後每月等額償還P 所以-P

這是1個月後的欠款額

這是1個月後的欠款額

這筆款下一個月産生利息

然後又要償還P

這個過程要持續n次

用抽象的說法 這裡有n對括號

n次後 這整個式子等於0

問題是 如何求解P

問題是 如何求解P

已知貸款額 已知月利率 已知還款期限 如何求P

已知貸款額 已知月利率 已知還款期限 如何求P

貌似解起來沒有那麽簡單

看看有什麽頭緒沒

這個需要整理一下

從n=1開始看起

n=1時 則情況是這樣的

貸款額L 加上一個月的利息 乘1+i

然後償還月應還額

這是1個月還清的貸款

一次還完 這邊就是0了

一次還完 這邊就是0了

解出P 得到P=L(1+i)

解出P 得到P=L(1+i)

兩側同時除以1+i 有P/(1+i)=L

解出P了 幹嘛要這樣呢

因爲我想展示一種規律

再看n=2時的情況

開始時貸款額還是L

加上一個月後的利息

償還模方

剩下部分貸款額

再加一個月利息

然後再償還一次

這個貸款只需要償還兩次 這就還完了

不欠錢了

本金和利息都還完了

下面求解P

把這個P標成粉色

兩側同時加P 換邊

綠P等於這整個 即L(1+i)-粉P…

綠P等於這整個 即L(1+i)-粉P…

兩個P一樣 我只是想讓代數運算更清楚一些

減去粉P 乘以1+i

兩側同時除以1+i 得到

P/(1+i)=L(1+i)-粉P

兩側同時加上粉P

有粉P+綠P/(1+i)=L(1+i)

兩側同時除以1+i

有粉P/(1+i)+綠P/(1+i)2…

綠P已經除以了1+i

再除以一個1+i 所以是除以(1+i)2

等於貸款額

有趣的現象出現了

大家可以參閱一下現值的影片

這種情況 月還款額P以月利率折現得到貸款額L

這種情況 月還款額P以月利率折現得到貸款額L

這裡 每月還款額進行折現

即分別除以1+月利率的月數次方

貸款額L仍然相當於還款P的現值

貸款額L仍然相當於還款P的現值

大家可以自己驗證一下

大家可以自己驗證一下

時間有限 n=3

我就直接寫結果了

n=3時 貸款額L=P/(1+i)+P/(1+i)2+P/(1+i)3

n=3時 貸款額L=P/(1+i)+P/(1+i)2+P/(1+i)3

有空的話 大家可以用之前的步驟自己證明一下

有空的話 大家可以用之前的步驟自己證明一下

算起來會有些麻煩 但應該不難

算起來會有些麻煩 但應該不難

但願 大家已經明白

貸款額L可以寫成所有還款P的現值形式

也就是說 推廣一下 貸款額L

當還款期限是n個月的時候

P可以提出來

L=P[1/(1+i)+1/(1+i)2+…+1/(1+i)?] 總共n項

L=P[1/(1+i)+1/(1+i)2+…+1/(1+i)?] 總共n項

L=P[1/(1+i)+1/(1+i)2+…+1/(1+i)?] 總共n項

這個你應該認識

這是幾何級數

幾何級數求和的方法很多

標題就說了

這一節是幾何級數的應用

幾何級數之和是所有1/(1+i)j之和

j從1開始

也就是1次方

一直到j=n

這就是數列和

看看有沒有簡單方法能求出這個和的

肯定不能硬算360次

求出和之後 除L 就能解出P

求出和之後 除L 就能解出P

求和顯然應該有簡單方法

求和顯然應該有簡單方法

爲了計算簡單 先下一個定義

設r=1/(1+i)

整個和記作S

r是1/(1+i) 則S=r1+r2+…+r?

這是r的一次方

然後是r2

因爲分子1的平方還是1

後面是+r2+r3+…+r? 一直加到r?

下面需要技巧

我不喜歡記公式

這是幾何級數求和的好方法

其實 求無窮級數時也可以這樣做

有限情況 顯然也是適用的

用S乘以r

rS等於什麽

每一項乘以r r?r=r2

每一項乘以r r?r=r2

r2?r=r3

一直乘下去

這裡有個r??1

乘r得到r?

r??r=r??1 加到後面

每一項乘以r 這裡對齊了一下

每一項乘以r 這裡對齊了一下

然後可以用紫式減去綠式

即用S減去rS

兩式相減

r1-0還是r1

然後r2沒了

r3也沒了

這些都沒了 一直到r?

只剩下最後一項

方法很巧

剩下-r??1 提出S

有S(1-r)=r1-r??1

有S(1-r)=r1-r??1

兩側同時除以1-r 得到

數列和S=(r-r??1)/(1-r)

這就是數列和 而r=1/(1+i)

那麽這個複雜的式子就能化簡了

貸款額L=月還款P乘以這個和

用綠色表示

乘以(r-r??1)/(1-r)

要求P 兩側同時乘以這個和的倒數

P=L乘以這個和的倒數

用粉色寫出它的倒數吧

(1-r)/(r-r??1)

而r是這個 這就搞定了

用這就能算出貸款還款額P了

用它算算

貸款額是20萬美元

利率一年是6%

每月是0.5% 也就是0.005

這是月利率

這是30年期貸款 所以n是360月

求一下

首先求r值

r=1/(1+i)

即1/(1+0.005)

0.005是月利率 1%的一半

算出r大概是0.995

寫一下 0.995

這個計算器無法存儲變量 我寫一下

r=0.995

這個r

損失了一些準確 不過沒關係

這裡只需要大家理解思路

償還額P等於

L(1-r)/(r-r??1)=200000(1-0.995)/(0.995-0.9953?1)

L(1-r)/(r-r??1)=200000(1-0.995)/(0.995-0.9953?1)

L(1-r)/(r-r??1)=200000(1-0.995)/(0.995-0.9953?1)

L(1-r)/(r-r??1)=200000(1-0.995)/(0.995-0.9953?1)

L(1-r)/(r-r??1)=200000(1-0.995)/(0.995-0.9953?1)

最終答案大概是1200美元

如果精確計算的話 應該更接近1200

如果精確計算的話 應該更接近1200

這就能求出抵押貸款月還款額P了

P=1200美元

這就是這一日常事務背後的數學了

這就是這一日常事務背後的數學了

不需要查表或用電子表格

就能算出這個數字