< Return to Video

Allgemeine Integration (Teile 7)

  • 0:01 - 0:04
    Ich werde jetzt eine Aufgabe zur partiellen Integration machen.
  • 0:04 - 0:08
    Ich finde, dass es ein spassiges Problem ist, dass man sich anschauen sollte, da es
  • 0:08 - 0:10
    ein Beispiel ist, welches oft benutzt wird, manchmal sogar als Fangfrage
  • 0:10 - 0:14
    in sehr schweren Klausuren, oder bei Mathematikwettbewerben,
  • 0:14 - 0:18
    an denen ich in Schule regelmässig teilnahm.
  • 0:18 - 0:21
    Nicht, dass ihr denkt -- Ich war eigentlich kein Streber im Gymnasium,
  • 0:21 - 0:26
    aber ich war zugegebenermaßen ein Mathematik-"athlet".
  • 0:26 - 0:30
    Egal, das hier ist einfach ein spassiges partielles Integrationsproblem,
  • 0:30 - 0:35
    weil man das letzte Integral garnicht auswerten muss.
  • 0:35 - 0:37
    Nehmen wir also das Integral --
  • 0:37 - 0:39
    es ist ziemlicher Klassiker.
  • 0:39 - 0:42
    Ich wäre nicht überrascht, falls euer Mathelehrer
  • 0:42 - 0:44
    euch das gleiche Problem zeigt, einfach um euch partielle Integration zu zeigen.
  • 0:44 - 0:47
    Nehmen wir also das Integral e hoch x -- ihr habt wahrscheinlich noch nie
  • 0:47 - 0:50
    von einem "klassischen" Mathematikproblem gehört,
  • 0:50 - 0:54
    aber hoffentlich werde ich die Liebe für Mathematik in euch wecken,
  • 0:54 - 0:58
    und ihr werdet das Problem dann auch als klassisch ansehen.
  • 0:58 - 1:00
    e hoch x mal den Kosinus von x.
  • 1:03 - 1:04
    Wahrscheinlich seht ihr schon in welche Richtung das geht,
  • 1:04 - 1:07
    weil das ja beides spassige Funktionen sind, denn von
  • 1:07 - 1:09
    e hoch x kann man die Ableitung bilden, man könnte auch
  • 1:09 - 1:11
    die Aufleitung nehmen und es würde immer noch e hoch x bleiben.
  • 1:11 - 1:15
    Beim ableiten von Kosinus von x bekommt man minus Sinus von x,
  • 1:15 - 1:17
    dessen Ableitung ist dann minus Kosinus von x,
  • 1:17 - 1:19
    und wenn man das dann nochmal ableitet,
  • 1:19 - 1:20
    bekommt man Sinus von x.
  • 1:20 - 1:21
    Es geht praktisch im Kreis.
  • 1:21 - 1:24
    Das gleiche passiert, wenn man die Aufleitung bildet.
  • 1:24 - 1:26
    Es ist nich ganz so cool wie e hoch x, es bleibt nicht genau gleich,
  • 1:26 - 1:29
    aber es geht doch im Grunde im Kreis.
  • 1:29 - 1:32
    Wenn man zweimal integriert, bekommt man
  • 1:32 - 1:34
    minus den Ausgangspunkt zurück.
  • 1:34 - 1:35
    Auch wenn man zweimal ableitet, bekommt man
  • 1:35 - 1:38
    minus den Ausgangspunkt zurück.
  • 1:38 - 1:40
    Es ist auch einfach eine coole Funktion und ich denke man gut sehen,
  • 1:40 - 1:46
    wie praktische partielle Integration in diesem Fall wäre.
  • 1:46 - 1:49
    Wann immer ich partiell integriere, gehe ich gerne davon aus,
  • 1:49 - 1:51
    dass das hier g Strich von x ist.
  • 1:51 - 1:54
    Dass e hoch x g Strich x ist, einfach weil sich e hoch x
  • 1:54 - 1:55
    wirklich nie ändert.
  • 1:55 - 1:59
    Eigentlich könnten wir das Problem auch anders herum lösen.
  • 1:59 - 2:01
    Vielleicht experimentiere ich mal damit, es anders herum zu lösen.
  • 2:01 - 2:03
    Aber gehen wir mal davon aus, dass das g Strich von x,
  • 2:03 - 2:06
    und das f von x ist.
  • 2:06 - 2:08
    Also ist das hier die Ableitung.
  • 2:08 - 2:11
    Bei partieller Integration nehmen wir ja die ursprünglichen Funktionen,
  • 2:11 - 2:14
    g von x und f von x.
  • 2:14 - 2:17
    Wenn das g Strich von x ist, was ist dann g von x.
  • 2:17 - 2:20
    Was ist die Aufleitung von e hoch x.
  • 2:20 - 2:21
    Es ist einfach wieder e hoch x.
  • 2:21 - 2:23
    Ich wechsele mal die Farbe, blau gefällt mir nicht.
  • 2:23 - 2:27
    Das ist also g von x.
  • 2:27 - 2:29
    Eigentlich habe ich die Aufleitung davon genommen,
  • 2:29 - 2:31
    aber es ist ja identisch.
  • 2:31 - 2:35
    Dann mal f von x.
  • 2:35 - 2:41
    Dann ziehe ich das allgemeine Integral von
  • 2:41 - 2:46
    f Strich von x davon ab.
  • 2:46 - 2:48
    Also, erstmal g von x.
  • 2:51 - 2:54
    Die hier sind beide gleich, nämlich die Aufleitung von
  • 2:54 - 2:56
    diesem hier, wobei diese natürlich alle gleich sind.
  • 2:56 - 3:02
    Also ist das hier g von x und dann bilde ich die Ableitung von f von x,
  • 3:02 - 3:04
    f Strich von x.
  • 3:04 - 3:06
    Was ist die Ableitung von Kosinus von x?
  • 3:06 - 3:08
    Minus Sinus von x.
  • 3:08 - 3:13
    Also Sinus von x d x, genaugenommen minus Sinus von x.
  • 3:13 - 3:15
    Ich könnte das minus hier schreiben, aber das wäre ein wenig unübersichtlich,
  • 3:15 - 3:17
    ich könnte es hier hinschreiben, aber das wäre auch nicht schön,
  • 3:17 - 3:19
    oder ich könnte es einfach hier hinschreiben, die zwei Minus
  • 3:19 - 3:21
    sich aufheben und ich dann ein Plus bekomme.
  • 3:21 - 3:25
    Ich habe also: Integral von e von x Kosinus von x d x ist gleich
  • 3:25 - 3:30
    e hoch x Kosinus von x plus das Integral von
  • 3:30 - 3:33
    e hoch x Sinus von x d x.
  • 3:33 - 3:34
    Hoffentlich habe ich euch nicht zu sehr verwirrt.
  • 3:34 - 3:36
    Ich sollte eigentlich ein paar Probleme der partiellen Integration
  • 3:36 - 3:37
    ohne e von x bearbeiten.
  • 3:37 - 3:40
    Es ist sehr schwer bei all dem mitzukommen.
  • 3:40 - 3:41
    Das ist die Aufleitung.
  • 3:45 - 3:47
    Das ist die Aufleitung und das hier ist auch
  • 3:47 - 3:48
    die Aufleitung.
  • 3:48 - 3:51
    Das ist g Strich von x, das ist g von x.
  • 3:56 - 3:59
    Schon wieder ist es nicht ganz klar,
  • 3:59 - 4:00
    ob wir irgendeinen Fortschritt gemacht haben.
  • 4:00 - 4:00
    Wir sind von
  • 4:00 - 4:04
    e hoch x Kosinus von x zu e hoch x Sinus von x gegangen.
  • 4:04 - 4:08
    Integrieren wir also nochmal partiell, mal schauen was passiert.
  • 4:08 - 4:11
    Ich werde einfach auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens schreiben,
  • 4:11 - 4:14
    weil das ziemlich lang werden könnte.
  • 4:14 - 4:19
    Ich schreib also den Teil ab: e hoch x Kosinus von x
  • 4:19 - 4:24
    plus -- und jetzt integrieren wir nochmal partiell.
  • 4:33 - 4:35
    Für diese Integration war das g von x, aber
  • 4:35 - 4:40
    für diese Integration gehe ich davon aus, dass es g Strich von x ist.
  • 4:40 - 4:42
    Was im Grunde ja egal ist,
  • 4:42 - 4:44
    da bei jeder Aufleitung g von x gleich bleibt.
  • 4:44 - 4:46
    Und das hier soll f von x sein.
  • 4:49 - 4:54
    Laut partieller Integration nehmen wir also f von x mal g von x,
  • 4:54 - 4:57
    also nehme ich diese Funktion und die Aufleitung von
  • 4:57 - 4:59
    dieser Funktion.
  • 4:59 - 5:02
    Die Aufleitung dieser Funktion ist wieder mal einfach e hoch x
  • 5:02 - 5:07
    und dann mal f -- diese Funktion bleibt gleich --
  • 5:07 - 5:10
    mal Sinus von x.
  • 5:10 - 5:16
    Davon ziehe ich das Integral der Aufleitung hier von,
  • 5:16 - 5:21
    oder ich nehme g von x, also e hoch x, und dann
  • 5:21 - 5:24
    die Ableitung von f von x, f Strich von x.
  • 5:24 - 5:26
    Was ist die Ableitung von Sinus von x?
  • 5:26 - 5:29
    Kosinus von x.
  • 5:29 - 5:32
    Kosinus von x d x.
  • 5:32 - 5:33
    Schauen wir mal, ob uns das voran gebracht hat.
  • 5:33 - 5:36
    Scheinbar füge ich einfach mehr und mehr Teile hinzu,
  • 5:36 - 5:37
    wodurch es immer komplexer wird.
  • 5:37 - 5:39
    Um zu sehen, ob wir Fortschritt machen, lasst mich
  • 5:39 - 5:42
    das ganze mal umschreiben und vielleicht diese Klammern
  • 5:42 - 5:43
    loswerden, das ist nämlich einfach ein Plus, also
  • 5:43 - 5:44
    können wir diese Klammern loswerden.
  • 5:48 - 5:51
    Lasst mich mal eine neue Farbe benutzen.
  • 5:51 - 5:52
    In Ordnung.
  • 5:52 - 6:00
    Das hier ist das ursprüngliche Problem, e hoch x Kosinus von x
  • 6:00 - 6:06
    d x gleich -- kurz noch die Farbe wechseln --
  • 6:06 - 6:12
    gleich e hoch x Kosinus von x und dann kann ich einfach --
  • 6:12 - 6:14
    diese Klammern sind egal, ich addiere einfach alles
  • 6:14 - 6:19
    in den Klammern -- e hoch x Kosinus von x plus
  • 6:19 - 6:36
    e hoch x Sinus von x minus e hoch x Kosinus von x d x.
  • 6:36 - 6:38
    Jetzt denkt ihr vielleicht, ich hätte die Farben hier willkürlich gewechselt,
  • 6:38 - 6:42
    als ich das schrieb, aber wenn ihr genau hinseht, fällt euch
  • 6:42 - 6:46
    vielleicht auf, warum ich hier die Farbe gewechselt habe.
  • 6:46 - 6:48
    Seht ihr irgendwas interessantes?
  • 6:48 - 6:49
    Genau.
  • 6:49 - 6:52
    Das hier ist genau das gleiche wie das, nur minus, oder?
  • 6:52 - 6:55
    Wir werden also etwas meiner Meinung nach ziemlich cooles machen.
  • 6:55 - 6:59
    Addieren wir mal diesen Teil auf beiden Seitend er Gleichung.
  • 6:59 - 7:01
    Nehmen wir das und bringen es
  • 7:01 - 7:02
    auf diese Seite der Gleichung.
  • 7:02 - 7:04
    Wenn ich das nehme und auf diese Seite der Gleichung
  • 7:04 - 7:06
    bringe, was passiert?
  • 7:06 - 7:08
    Dann habe ich zwei hier von auf der linke Seite, also wird
  • 7:08 - 7:16
    daraus -- ich könnte das hier ja ausschreiben: e hoch x Kosinus
  • 7:16 - 7:19
    von x d x plus, richtig?
  • 7:19 - 7:21
    Denn ich nehme ja das und bringe es auf diese Seite der
  • 7:21 - 7:27
    Gleichung, e hoch x Kosinus von x d x.
  • 7:27 - 7:30
    Das ist das Gleiche wie zweimal das Integral von e hoch x
  • 7:30 - 7:35
    Kosinus von x d x.
  • 7:35 - 7:38
    Dann ist das gleich dem.
  • 7:38 - 7:45
    Also gleich e hoch x Kosinus von x plus e hoch x Sinus von x.
  • 7:45 - 7:47
    Ich weiss, es jetzt unübersichtlich.
  • 7:47 - 7:50
    Alles was ich jetzt noch machen muss vom diese Integral zu lösen,
  • 7:50 - 7:53
    ist beide Seiten durch zwei zu dividieren und ich bin fertig.
  • 7:53 - 7:55
    Lasst mich das nochmal ausschreiben; jetzt wird es spannend,
  • 7:55 - 7:57
    wir sind beinahe fertig.
  • 7:57 - 8:00
    Wenn ich beide Seiten durch zwei teile -- und ich werde versuchen es
  • 8:00 - 8:06
    so zu schreiben, dass ihr alles lesen könnt -- e hoch x Kosinus
  • 8:06 - 8:17
    von x d x gleich und auf dieser Seite habe ich e hoch x Kosinus
  • 8:17 - 8:26
    von x plus e hoch Sinus von x durch zwei.
  • 8:26 - 8:28
    Ich finde das ziemlich schick.
  • 8:28 - 8:32
    Es ist schick, wie partielle Integration uns hier hin gebracht hat.
  • 8:32 - 8:34
    Wir müssen diese Integral tatsächlich nie ausrechnen.
  • 8:34 - 8:36
    Wir hatten gesagt, diese Integral ist einfach nur nochmal das ursprüngliche Problem.
  • 8:36 - 8:38
    Und ihr könnt euch denken warum das passiert, oder?
  • 8:38 - 8:40
    Weil diese Funktion sich im Kreis "dreht".
  • 8:40 - 8:42
    Wir mussten also zweimal partiell integrieren, um wieder
  • 8:42 - 8:44
    da hin zu kommen wo wir anfingen.
  • 8:44 - 8:50
    Dann haben wir damit die Gleichung gelöst,
  • 8:50 - 8:51
    ohne das Integral berechnet haben zu müssen.
  • 8:51 - 8:54
    Was ich einfach cool finde, ist, dass selbst wenn man die Gleichung
  • 8:54 - 8:57
    nur anschaut, ist sie irgendwie schick, nicht?
  • 8:57 - 9:01
    Die Aufleitung von e hoch x und -- moment, Vorsicht, vergesst nie
  • 9:01 - 9:06
    das c, das hätte mich in der Arbeit einen Punkt gekostet.
  • 9:06 - 9:08
    Es ist irgendwie cool: Das Integral von e hoch x Kosinus von x
  • 9:08 - 9:13
    ist gleich dem Ausdruck e hoch x Kosinus von x plus e hoch x
  • 9:13 - 9:15
    Sinus von x durch zwei.
  • 9:15 - 9:20
    Das ist der Durchschnit von e hoch x Kosinus von x
  • 9:20 - 9:21
    und e hoch x Sinus von x.
  • 9:21 - 9:25
    I finde diese Eigenschaft ziemlich interessant, und wollt ihr ja
  • 9:25 - 9:30
    sie plotten und damit spielen, aber es ist einfach schick.
  • 9:30 - 9:34
    Hoffentlich habe ich euch überzeugt, dass das ein klassisches Problem ist,
  • 9:34 - 9:37
    und ihr findet es genauso interessant wie ich.
  • 9:37 - 9:39
    Ich sehe euch dann bei der nächsten Präsentation.
Title:
Allgemeine Integration (Teile 7)
Description:

Nochmal ein Beispiel allgemeiner Integration.

more » « less
Video Language:
English
Duration:
09:38
linxitow added a translation

German subtitles

Revisions