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Ich werde jetzt eine Aufgabe zur partiellen Integration machen.
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Ich finde, dass es ein spassiges Problem ist, dass man sich anschauen sollte, da es
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ein Beispiel ist, welches oft benutzt wird, manchmal sogar als Fangfrage
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in sehr schweren Klausuren, oder bei Mathematikwettbewerben,
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an denen ich in Schule regelmässig teilnahm.
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Nicht, dass ihr denkt -- Ich war eigentlich kein Streber im Gymnasium,
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aber ich war zugegebenermaßen ein Mathematik-"athlet".
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Egal, das hier ist einfach ein spassiges partielles Integrationsproblem,
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weil man das letzte Integral garnicht auswerten muss.
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Nehmen wir also das Integral --
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es ist ziemlicher Klassiker.
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Ich wäre nicht überrascht, falls euer Mathelehrer
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euch das gleiche Problem zeigt, einfach um euch partielle Integration zu zeigen.
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Nehmen wir also das Integral e hoch x -- ihr habt wahrscheinlich noch nie
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von einem "klassischen" Mathematikproblem gehört,
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aber hoffentlich werde ich die Liebe für Mathematik in euch wecken,
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und ihr werdet das Problem dann auch als klassisch ansehen.
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e hoch x mal den Kosinus von x.
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Wahrscheinlich seht ihr schon in welche Richtung das geht,
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weil das ja beides spassige Funktionen sind, denn von
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e hoch x kann man die Ableitung bilden, man könnte auch
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die Aufleitung nehmen und es würde immer noch e hoch x bleiben.
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Beim ableiten von Kosinus von x bekommt man minus Sinus von x,
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dessen Ableitung ist dann minus Kosinus von x,
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und wenn man das dann nochmal ableitet,
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bekommt man Sinus von x.
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Es geht praktisch im Kreis.
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Das gleiche passiert, wenn man die Aufleitung bildet.
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Es ist nich ganz so cool wie e hoch x, es bleibt nicht genau gleich,
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aber es geht doch im Grunde im Kreis.
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Wenn man zweimal integriert, bekommt man
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minus den Ausgangspunkt zurück.
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Auch wenn man zweimal ableitet, bekommt man
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minus den Ausgangspunkt zurück.
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Es ist auch einfach eine coole Funktion und ich denke man gut sehen,
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wie praktische partielle Integration in diesem Fall wäre.
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Wann immer ich partiell integriere, gehe ich gerne davon aus,
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dass das hier g Strich von x ist.
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Dass e hoch x g Strich x ist, einfach weil sich e hoch x
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wirklich nie ändert.
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Eigentlich könnten wir das Problem auch anders herum lösen.
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Vielleicht experimentiere ich mal damit, es anders herum zu lösen.
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Aber gehen wir mal davon aus, dass das g Strich von x,
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und das f von x ist.
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Also ist das hier die Ableitung.
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Bei partieller Integration nehmen wir ja die ursprünglichen Funktionen,
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g von x und f von x.
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Wenn das g Strich von x ist, was ist dann g von x.
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Was ist die Aufleitung von e hoch x.
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Es ist einfach wieder e hoch x.
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Ich wechsele mal die Farbe, blau gefällt mir nicht.
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Das ist also g von x.
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Eigentlich habe ich die Aufleitung davon genommen,
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aber es ist ja identisch.
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Dann mal f von x.
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Dann ziehe ich das allgemeine Integral von
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f Strich von x davon ab.
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Also, erstmal g von x.
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Die hier sind beide gleich, nämlich die Aufleitung von
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diesem hier, wobei diese natürlich alle gleich sind.
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Also ist das hier g von x und dann bilde ich die Ableitung von f von x,
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f Strich von x.
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Was ist die Ableitung von Kosinus von x?
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Minus Sinus von x.
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Also Sinus von x d x, genaugenommen minus Sinus von x.
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Ich könnte das minus hier schreiben, aber das wäre ein wenig unübersichtlich,
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ich könnte es hier hinschreiben, aber das wäre auch nicht schön,
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oder ich könnte es einfach hier hinschreiben, die zwei Minus
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sich aufheben und ich dann ein Plus bekomme.
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Ich habe also: Integral von e von x Kosinus von x d x ist gleich
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e hoch x Kosinus von x plus das Integral von
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e hoch x Sinus von x d x.
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Hoffentlich habe ich euch nicht zu sehr verwirrt.
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Ich sollte eigentlich ein paar Probleme der partiellen Integration
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ohne e von x bearbeiten.
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Es ist sehr schwer bei all dem mitzukommen.
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Das ist die Aufleitung.
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Das ist die Aufleitung und das hier ist auch
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die Aufleitung.
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Das ist g Strich von x, das ist g von x.
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Schon wieder ist es nicht ganz klar,
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ob wir irgendeinen Fortschritt gemacht haben.
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Wir sind von
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e hoch x Kosinus von x zu e hoch x Sinus von x gegangen.
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Integrieren wir also nochmal partiell, mal schauen was passiert.
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Ich werde einfach auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens schreiben,
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weil das ziemlich lang werden könnte.
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Ich schreib also den Teil ab: e hoch x Kosinus von x
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plus -- und jetzt integrieren wir nochmal partiell.
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Für diese Integration war das g von x, aber
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für diese Integration gehe ich davon aus, dass es g Strich von x ist.
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Was im Grunde ja egal ist,
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da bei jeder Aufleitung g von x gleich bleibt.
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Und das hier soll f von x sein.
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Laut partieller Integration nehmen wir also f von x mal g von x,
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also nehme ich diese Funktion und die Aufleitung von
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dieser Funktion.
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Die Aufleitung dieser Funktion ist wieder mal einfach e hoch x
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und dann mal f -- diese Funktion bleibt gleich --
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mal Sinus von x.
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Davon ziehe ich das Integral der Aufleitung hier von,
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oder ich nehme g von x, also e hoch x, und dann
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die Ableitung von f von x, f Strich von x.
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Was ist die Ableitung von Sinus von x?
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Kosinus von x.
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Kosinus von x d x.
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Schauen wir mal, ob uns das voran gebracht hat.
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Scheinbar füge ich einfach mehr und mehr Teile hinzu,
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wodurch es immer komplexer wird.
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Um zu sehen, ob wir Fortschritt machen, lasst mich
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das ganze mal umschreiben und vielleicht diese Klammern
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loswerden, das ist nämlich einfach ein Plus, also
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können wir diese Klammern loswerden.
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Lasst mich mal eine neue Farbe benutzen.
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In Ordnung.
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Das hier ist das ursprüngliche Problem, e hoch x Kosinus von x
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d x gleich -- kurz noch die Farbe wechseln --
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gleich e hoch x Kosinus von x und dann kann ich einfach --
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diese Klammern sind egal, ich addiere einfach alles
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in den Klammern -- e hoch x Kosinus von x plus
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e hoch x Sinus von x minus e hoch x Kosinus von x d x.
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Jetzt denkt ihr vielleicht, ich hätte die Farben hier willkürlich gewechselt,
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als ich das schrieb, aber wenn ihr genau hinseht, fällt euch
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vielleicht auf, warum ich hier die Farbe gewechselt habe.
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Seht ihr irgendwas interessantes?
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Genau.
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Das hier ist genau das gleiche wie das, nur minus, oder?
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Wir werden also etwas meiner Meinung nach ziemlich cooles machen.
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Addieren wir mal diesen Teil auf beiden Seitend er Gleichung.
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Nehmen wir das und bringen es
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auf diese Seite der Gleichung.
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Wenn ich das nehme und auf diese Seite der Gleichung
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bringe, was passiert?
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Dann habe ich zwei hier von auf der linke Seite, also wird
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daraus -- ich könnte das hier ja ausschreiben: e hoch x Kosinus
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von x d x plus, richtig?
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Denn ich nehme ja das und bringe es auf diese Seite der
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Gleichung, e hoch x Kosinus von x d x.
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Das ist das Gleiche wie zweimal das Integral von e hoch x
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Kosinus von x d x.
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Dann ist das gleich dem.
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Also gleich e hoch x Kosinus von x plus e hoch x Sinus von x.
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Ich weiss, es jetzt unübersichtlich.
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Alles was ich jetzt noch machen muss vom diese Integral zu lösen,
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ist beide Seiten durch zwei zu dividieren und ich bin fertig.
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Lasst mich das nochmal ausschreiben; jetzt wird es spannend,
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wir sind beinahe fertig.
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Wenn ich beide Seiten durch zwei teile -- und ich werde versuchen es
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so zu schreiben, dass ihr alles lesen könnt -- e hoch x Kosinus
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von x d x gleich und auf dieser Seite habe ich e hoch x Kosinus
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von x plus e hoch Sinus von x durch zwei.
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Ich finde das ziemlich schick.
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Es ist schick, wie partielle Integration uns hier hin gebracht hat.
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Wir müssen diese Integral tatsächlich nie ausrechnen.
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Wir hatten gesagt, diese Integral ist einfach nur nochmal das ursprüngliche Problem.
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Und ihr könnt euch denken warum das passiert, oder?
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Weil diese Funktion sich im Kreis "dreht".
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Wir mussten also zweimal partiell integrieren, um wieder
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da hin zu kommen wo wir anfingen.
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Dann haben wir damit die Gleichung gelöst,
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ohne das Integral berechnet haben zu müssen.
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Was ich einfach cool finde, ist, dass selbst wenn man die Gleichung
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nur anschaut, ist sie irgendwie schick, nicht?
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Die Aufleitung von e hoch x und -- moment, Vorsicht, vergesst nie
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das c, das hätte mich in der Arbeit einen Punkt gekostet.
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Es ist irgendwie cool: Das Integral von e hoch x Kosinus von x
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ist gleich dem Ausdruck e hoch x Kosinus von x plus e hoch x
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Sinus von x durch zwei.
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Das ist der Durchschnit von e hoch x Kosinus von x
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und e hoch x Sinus von x.
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I finde diese Eigenschaft ziemlich interessant, und wollt ihr ja
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sie plotten und damit spielen, aber es ist einfach schick.
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Hoffentlich habe ich euch überzeugt, dass das ein klassisches Problem ist,
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und ihr findet es genauso interessant wie ich.
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Ich sehe euch dann bei der nächsten Präsentation.
