-
...
-
כעת נבצע בעיות המשלבות אינטגרציה בחלקים
-
לטעמי זו בעיה שרצוי ונחמד להכיר,
-
ולו מכוון שזו דוגמה שאנשים רבים משתמשים בה, לעתים כטריק
-
הנדרש במבחן קשה במיוחד במתמטיקה. הנושא אף עשוי לסייע
-
בתחרויות חשבון אינפיניטסימלי כמו אלו בהן אני השתתפי בבית הספר התיכון.
-
שמא ישתמע לא נכון - למען האמת לא הייתי עד כדי כך "חנון" כתלמיד תיכון,
-
אך עלי להודות שאמנם הייתי "אתלט מתמטי" (אדם שמשתתף בתחרויות מתמטיקה).
-
בכל מקרה, זו בעיית אינטגרצייה בחלקים נעימה למדי,
-
בעיקר משום שאין צורך לחשב את התוצאה הסופית של האינטגרל.
-
נניח שאנו מעוניינים להתבונן באינטגרל שמעשית
-
הוא די קלאסי. הוא עשוי להיות קל לזיהוי,
-
שכן לא אהיה מופתע אם המורה שלך למתמטיקה הציג בפניך את
-
בעיה זו, לצורך היכרות עם אינטגרציה בחלקים.
-
נתבונן באינטגרל של e בחזקת x. בוודאי מעולם
-
לא שמעת על מישהו המכנה בעיעת מתמטיקה "קלאסית", אבל
-
בתקווה אצליח להשריש בך את האהבה הזו למתמטיקה
-
וגם אתה תתייחס לבעיה זו כבעיה קלאסית.
-
e בחזקת x כפול קוסינוס של x.
-
...
-
אני מניח שניתן כבר לזהות לאן אני חותר
-
שכן שתי הפונקציות האלה הן פונקציות נחמדות. למשל, e בחזקת x
-
תחת גזירה ותחת אנטי-גזירה (אינטגרציה)
-
והפונקציה עודנה נשארת e בחזקת x.
-
כאשר גוזרים את קוסינוס של x מקבלים מינוס
-
סינוס של x. גזירה נוספת מובילה למינוס
-
קוסינוס של x וגזירה שלישית
-
מחזירה אותנו לפלוס סינוס של x.
-
וכן הלאה, באופן מעגלי.
-
דבר דומה קורה כאשר מבצעים אינטגרציה על פונקציה זו.
-
זה אמנם לא מדליק כמו e בחזקת x, כוון שזה לא נשאר בדיוק
-
אותו הדבר, אך זה כן מתנהג בצורה מעגלית.
-
אם מבצעים שתי אינטגרציות חוזרים לאותה הפונקציה
-
אך בסימן שלילי.
-
ואם גוזרים פעמיים, חוזרים גם כן
-
לאותה הפונקציה עם סימן שלילי.
-
אם כן, גם הפונקציות הטריגונומטריות הן די מדליקות ואני מאמין
-
שכבר ניתן להבין כיצד אינטגרציה בחלקים תהיה מעניינת במקרה זה.
-
בכל פעם שאני מצבע אינטגרציה בחלקים אני תמיד נוטה להניח
-
שזוהי הפוקנציה הגזורה של x.
-
כלומר g'(x) = e^x כוון ש e בחזקת x
-
אינה משתנה כלל, פשוטו כמשמעו.
-
למרות שאנו עשויים לפתור בעיה זו גם בדרך השנייה.
-
אולי ננסה בהמשך ללכת בדרך השנייה לצורך הפתרון.
-
כרגע, נניח בכל זאת שזה (g'(x וכמו כן
-
נניח שזו הפונקציה הלא-גזורה, (f(x.
-
אם כך זו פונקציה גזורה.
-
באינטגרציה בחלקים, כאשר נתבונן בפונקציות המקוריות
-
g של x ו f של x.
-
אם זו (g'(x, מהי (g(x?
-
מהי האנטי-נגזרת ("הפונקציה הקדומה") של e בחזקת x .
-
כאמור, זו פשוט e בחזקת x.
-
אחליף צבעים לרגע, לא נוח לי עם הכחול.
-
אם כך זוהי הפונקציה g של x.
-
למעשה, זוהי הפונקציה הקדומה של של (g'(x
-
אך זוהי בדיוק אותה הפונקציה, e^x.
-
ואז, כפול f של x.
-
כעת, נרצה לחסר את האינטגרל הלא-מסוים
-
של הנגזרת של (f(x, המכונה (f'(x.
-
כלומר, נרשום קודם את (g(x.
-
...
-
שתי אלו זהות ושתיהן האנטי-נגזרות של זו
-
ולפיכך כמובן שכולן זהות.
-
זוהי (g(x וכעת נגזור את
-
(f(x ונקבל את (f'(x.
-
מהי הנגזרת של (cos(x?
-
הנגזרת היא (sin(x- (מינוס סינוס של x).
-
כלומר sin(x)dx, ולא נשכח את המינוס.
-
אני יכול לשים אותו כאן, באופן שעלול להראות מעט מבולגן
-
ואוכל גם לשים אותו כאן באופן שעדיין יבלגן את התרגיל
-
או שפשוט אוציא אותו החוצה ואבטל את שני המינוסים
-
ונשאר עם פלוס מחוץ לאינטגרל.
-
קיבלנו כי האינטגרל של e בחזקת x כפול קוסינוס של x שווה
-
לסכום של שני איברים, e בחזקת x כפול קוסינוס של x והאינטגרל
-
של e בחזקת x כפול סינוס של x.
-
אני מקווה שדבריי אינם מבלבלים יתר על המידה.
-
אולי רצוי שאפתור בעיות של אינטגרציה בחלקים
-
שאינן כוללות את הפונקציה e^x.
-
זה עשוי להיות קשה לעקוב אחרי מה שביצענו כאן.
-
זוהי האנטי-נגזרת.
-
...
-
זוהי האנטי-נגזרת וגם
-
זוהי האנטי נגזרת.
-
זו (g'(x בעוד שזו (g(x.
-
...
-
פעם נוספת, לא ברור האם
-
כלל התקדמנו באיזושהי צורה בפתרון הבעיה.
-
אנחנו
-
עברנו מאינטגרל על (e^xcos(x לאינטגרל על (e^xsin(x.
-
הבה נבצע אינטגרציה בחלקים פעם נוספת ונראה מה מתרחש.
-
אני עומד לכתוב מצידו הימני של סימן השוויון
-
מכוון שהשלב הבא עשוי להיות מעט ארוך.
-
אכתוב רגע את החלק הראשון, שהוא e בחזקת x כפול (cos(x.
-
ועוד - וכעת נבצע אינטגרציה בחלקים פעם נוספת (על האיבר השני בלבד).
-
...
-
במקרה הקודם של האינטגרציה בחלקים זו הפונקציה שהוותה עבורנו את (g(x.
-
במקרה זה, אניח שהיא (g'(x.
-
אין כל הבדל בבחירה זו מבחינת הפעולה על הפונקציה שכן
-
אינטגרציה או גזירה של פונקציה זו נותנים את אותה התוצאה.
-
בהתאם, נניח הפעם שזו (f(x.
-
...
-
עקרון האינטגרציה בחלקים מנחה אותנו לקחת את (f(x כפול (g(x.
-
אם כך, ניקח את הפונקציה הזו ואת האנטי-נגזרת
-
של הפונקציה הזו.
-
כאמור, האנטי-נגזרת של פונקציה זו היא פעם נוספת פשוט e^x
-
וכופלים אותה ב (f(x', כמו שהיא
-
כלומר כפול סינוס של x.
-
מאיבר זה נחסיר את האינטגרל של האנטי-נגזרת
-
של פונקציה זו, שהיא e בחזקת x ונכפול אותה
-
בנגזרת של (f(x, הלוא היא (f'(x.
-
מהי הנגזרת של (sin(x?
-
(cos(x (קוסינוס x, ללא החלפת סימן)
-
כלומר, נרשום cos(x)dx.
-
הבה נבדוק האם אנו מתקדמים לאיזשהו מקום.
-
על פניו, נדמה כאילו אני מוסיף ומוסיף איברים
-
באופן שהולך ומסבך את התרגיל.
-
על מנת להבין לאן אנו מתקדמים,
-
אכתוב מחדש את הביטוי שקיבלנו עד כה ואפטר מכל
-
הסוגריים, שכן זוהי פעולת חיבור פשוטה.
-
אי לכך, נוותר על הסוגריים.
-
...
-
נחליף צבע פעם נוספת...
-
בסדר גמור.
-
הבעיה המקורית, אם כן: אינטגרל על e בחזקת x כפול קוסינוס של x
-
שווה (ואחליף בחזרה צבע)
-
ל e בחזקת x כפול קוסינוס של x, ואז אפשר להיפטר
-
מהסוגריים כאמור כוון שזו פעולת חיבור
-
ולהשאר עם שלושה איברים: e בחזקת x כפול קוסינוס של x
-
ועוד e בחזקת x כפול סינוס של x פחות האינטגרל של e בחזקת x כפול קוסינוס של x.
-
ניתן לחשוב שהחלפתי צבעים באופן שרירותי
-
כאשר שכתבתי את התרגיל אך לא כך הדבר, שכן בהתבוננות מעמיקה
-
ניתן לשים לב מדוע בחרתי דווקא לחזור לצבע הכחול.
-
מזהים משהו מעניין?
-
בדיוק!
-
האיבר מצד שמאל של סימן השווין והאיבר בקצה הימני הם בדיוק אותו הביטוי עד כדי סימן מינוס, נכון?
-
אם כך, נבצע פעולה שלדעתי היא די מגניבה.
-
נוסיף את האיבר הזה לשני צדי המשוואה.
-
מעשית, ניקח את איבר זה
-
ונעבירו לצד השני של המשוואה.
-
אם אבצע זאת, כלומר נעביר את האיבר מהקצה הימני אל
-
צדה השמאלי של המשוואה, מה יתרחש?
-
כעת יש בידינו שניים כאלה בצד שמאל של המשוואה ולפיכך
-
נוכל לרשום:
-
האינטגרל של e בחזקת x כפול קוסינוס של x,
-
ומכוון שאני מעביר את האיבר הזה לצד שמאל
-
של המשוואה נוסיף עוד אינטגרל של e בחזקת x כפול קוסינוס של x.
-
זה בדיוק כמו פעמיים האינטגרל
-
של e בחזקת x כפול קוסינוס של x.
-
ואז זה שווה בדיוק לביטוי שנותר
-
כלומר, e בחזקת x כפול קוסינוס של x ועוד e בחזקת x כפול סינוס של x.
-
ברור לי שזה די מבולגן, לצערי.
-
כל שמוטל עלי לעשות כעת על מנת לפתור את האינטגרל הוא לחלק את שני
-
צדי המשוואה בשתיים וסיימתי!
-
ארשום את זה פעם נוספת, כוון שזה מרגש למדי
-
ומהווה את הישורת האחרונה בפתרון בעיה קלאסית זו.
-
אם נחלק את כל המשוואה בשתיים (ארשום זאת בתקווה שניתן יהיה לראות את כל התוכן)
-
אינטגרל של e בחזקת x כפול קוסינוס של x שווה
-
לחצי מ e בחזקת x קוסינוס של x
-
ועוד חצי מ e בחזקת x כפול סינוס של x.
-
אני חושב שזה מדליק למדי...
-
מרשים כיצד אינטגרציה בחלקים אפשרה לנו לבצע פעולה זו.
-
מעשית, לא נדרשנו לחשב את האינטגרל בשום צורה.
-
כלומר, לאחר כמה שלבים קיבלנו אינטגרל שמחזיר אותנו לבעיה המקורית.
-
תוכלו בוודאי לחשוב מדוע זה התרחש, נכון?
-
מכוון שהפונקציות הללו מתנהגות באופן מעגלי!
-
נאלצנו לבצע אינטגרציה בחלקים פעמיים על מנת לחזור
-
למבנה של תחילת הבעיה.
-
וכך השתמשנו בטריק זה על מנת לפתור את הבעיה מבלי שהזדקקנו
-
לחשב את האינטגרל עצמו שהיה נתון בבעיה.
-
מעבר לכך, לעניות דעתי רק מהתבוננות
-
בפתרון ניתן לשים לב שזה די מגניב, הלא כן?
-
האנטי-נגזרת של e בחזקת x,
-
וחשוב לא לשכוח את המחובר החופשי, C (הייתי מאבד על כך נקודה במבחן).
-
מה שמעניין לראות הוא שהאינטגרל של e בחזקת x כפול קוסינוס של x
-
שווה לביטוי הזה, e בחזקת x כפול קוסינוס של x
-
ועוד e בחזקת x כפול סינוס של x - שניהם חלקי שתיים.
-
כלומר, זהו הממוצע של e בחזקת x כפול קוסינוס של x
-
ושל e בחזקת x כפול סינוס של x.
-
לטעמי זו תכונה די מיוחדת ונחמדה ואולי ראוי
-
לצייר אותם על גרף ולהתבונן בערכים שונים של x, אבל זה די מדליק בכל מקרה.
-
כולי תקווה ששכנעתי אתכם כמה בעיה זו קלאסית
-
ושאינני היחיד עוד שחושב שזה מקרה מגניב...
-
נתראה במצגת הבאה!
-
...