< Return to Video

אינטגרציה בלתי-מסויימת (חלק 7)

  • 0:00 - 0:01
    ...
  • 0:01 - 0:04
    כעת נבצע בעיות המשלבות אינטגרציה בחלקים
  • 0:04 - 0:08
    לטעמי זו בעיה שרצוי ונחמד להכיר,
  • 0:08 - 0:10
    ולו מכוון שזו דוגמה שאנשים רבים משתמשים בה, לעתים כטריק
  • 0:10 - 0:14
    הנדרש במבחן קשה במיוחד במתמטיקה. הנושא אף עשוי לסייע
  • 0:14 - 0:18
    בתחרויות חשבון אינפיניטסימלי כמו אלו בהן אני השתתפי בבית הספר התיכון.
  • 0:18 - 0:21
    שמא ישתמע לא נכון - למען האמת לא הייתי עד כדי כך "חנון" כתלמיד תיכון,
  • 0:21 - 0:26
    אך עלי להודות שאמנם הייתי "אתלט מתמטי" (אדם שמשתתף בתחרויות מתמטיקה).
  • 0:26 - 0:30
    בכל מקרה, זו בעיית אינטגרצייה בחלקים נעימה למדי,
  • 0:30 - 0:35
    בעיקר משום שאין צורך לחשב את התוצאה הסופית של האינטגרל.
  • 0:35 - 0:37
    נניח שאנו מעוניינים להתבונן באינטגרל שמעשית
  • 0:37 - 0:39
    הוא די קלאסי. הוא עשוי להיות קל לזיהוי,
  • 0:39 - 0:42
    שכן לא אהיה מופתע אם המורה שלך למתמטיקה הציג בפניך את
  • 0:42 - 0:44
    בעיה זו, לצורך היכרות עם אינטגרציה בחלקים.
  • 0:44 - 0:47
    נתבונן באינטגרל של e בחזקת x. בוודאי מעולם
  • 0:47 - 0:50
    לא שמעת על מישהו המכנה בעיעת מתמטיקה "קלאסית", אבל
  • 0:50 - 0:54
    בתקווה אצליח להשריש בך את האהבה הזו למתמטיקה
  • 0:54 - 0:58
    וגם אתה תתייחס לבעיה זו כבעיה קלאסית.
  • 0:58 - 1:00
    e בחזקת x כפול קוסינוס של x.
  • 1:00 - 1:03
    ...
  • 1:03 - 1:04
    אני מניח שניתן כבר לזהות לאן אני חותר
  • 1:04 - 1:07
    שכן שתי הפונקציות האלה הן פונקציות נחמדות. למשל, e בחזקת x
  • 1:07 - 1:09
    תחת גזירה ותחת אנטי-גזירה (אינטגרציה)
  • 1:09 - 1:11
    והפונקציה עודנה נשארת e בחזקת x.
  • 1:11 - 1:15
    כאשר גוזרים את קוסינוס של x מקבלים מינוס
  • 1:15 - 1:17
    סינוס של x. גזירה נוספת מובילה למינוס
  • 1:17 - 1:19
    קוסינוס של x וגזירה שלישית
  • 1:19 - 1:20
    מחזירה אותנו לפלוס סינוס של x.
  • 1:20 - 1:21
    וכן הלאה, באופן מעגלי.
  • 1:21 - 1:24
    דבר דומה קורה כאשר מבצעים אינטגרציה על פונקציה זו.
  • 1:24 - 1:26
    זה אמנם לא מדליק כמו e בחזקת x, כוון שזה לא נשאר בדיוק
  • 1:26 - 1:29
    אותו הדבר, אך זה כן מתנהג בצורה מעגלית.
  • 1:29 - 1:32
    אם מבצעים שתי אינטגרציות חוזרים לאותה הפונקציה
  • 1:32 - 1:34
    אך בסימן שלילי.
  • 1:34 - 1:35
    ואם גוזרים פעמיים, חוזרים גם כן
  • 1:35 - 1:38
    לאותה הפונקציה עם סימן שלילי.
  • 1:38 - 1:40
    אם כן, גם הפונקציות הטריגונומטריות הן די מדליקות ואני מאמין
  • 1:40 - 1:46
    שכבר ניתן להבין כיצד אינטגרציה בחלקים תהיה מעניינת במקרה זה.
  • 1:46 - 1:49
    בכל פעם שאני מצבע אינטגרציה בחלקים אני תמיד נוטה להניח
  • 1:49 - 1:51
    שזוהי הפוקנציה הגזורה של x.
  • 1:51 - 1:54
    כלומר g'(x) = e^x כוון ש e בחזקת x
  • 1:54 - 1:55
    אינה משתנה כלל, פשוטו כמשמעו.
  • 1:55 - 1:59
    למרות שאנו עשויים לפתור בעיה זו גם בדרך השנייה.
  • 1:59 - 2:01
    אולי ננסה בהמשך ללכת בדרך השנייה לצורך הפתרון.
  • 2:01 - 2:03
    כרגע, נניח בכל זאת שזה (g'(x וכמו כן
  • 2:03 - 2:06
    נניח שזו הפונקציה הלא-גזורה, (f(x.
  • 2:06 - 2:08
    אם כך זו פונקציה גזורה.
  • 2:08 - 2:11
    באינטגרציה בחלקים, כאשר נתבונן בפונקציות המקוריות
  • 2:11 - 2:14
    g של x ו f של x.
  • 2:14 - 2:17
    אם זו (g'(x, מהי (g(x?
  • 2:17 - 2:20
    מהי האנטי-נגזרת ("הפונקציה הקדומה") של e בחזקת x .
  • 2:20 - 2:21
    כאמור, זו פשוט e בחזקת x.
  • 2:21 - 2:23
    אחליף צבעים לרגע, לא נוח לי עם הכחול.
  • 2:23 - 2:27
    אם כך זוהי הפונקציה g של x.
  • 2:27 - 2:29
    למעשה, זוהי הפונקציה הקדומה של של (g'(x
  • 2:29 - 2:31
    אך זוהי בדיוק אותה הפונקציה, e^x.
  • 2:31 - 2:35
    ואז, כפול f של x.
  • 2:35 - 2:41
    כעת, נרצה לחסר את האינטגרל הלא-מסוים
  • 2:41 - 2:46
    של הנגזרת של (f(x, המכונה (f'(x.
  • 2:46 - 2:48
    כלומר, נרשום קודם את (g(x.
  • 2:48 - 2:51
    ...
  • 2:51 - 2:54
    שתי אלו זהות ושתיהן האנטי-נגזרות של זו
  • 2:54 - 2:56
    ולפיכך כמובן שכולן זהות.
  • 2:56 - 3:02
    זוהי (g(x וכעת נגזור את
  • 3:02 - 3:04
    (f(x ונקבל את (f'(x.
  • 3:04 - 3:06
    מהי הנגזרת של (cos(x?
  • 3:06 - 3:08
    הנגזרת היא (sin(x- (מינוס סינוס של x).
  • 3:08 - 3:13
    כלומר sin(x)dx, ולא נשכח את המינוס.
  • 3:13 - 3:15
    אני יכול לשים אותו כאן, באופן שעלול להראות מעט מבולגן
  • 3:15 - 3:17
    ואוכל גם לשים אותו כאן באופן שעדיין יבלגן את התרגיל
  • 3:17 - 3:19
    או שפשוט אוציא אותו החוצה ואבטל את שני המינוסים
  • 3:19 - 3:21
    ונשאר עם פלוס מחוץ לאינטגרל.
  • 3:21 - 3:25
    קיבלנו כי האינטגרל של e בחזקת x כפול קוסינוס של x שווה
  • 3:25 - 3:30
    לסכום של שני איברים, e בחזקת x כפול קוסינוס של x והאינטגרל
  • 3:30 - 3:33
    של e בחזקת x כפול סינוס של x.
  • 3:33 - 3:34
    אני מקווה שדבריי אינם מבלבלים יתר על המידה.
  • 3:34 - 3:36
    אולי רצוי שאפתור בעיות של אינטגרציה בחלקים
  • 3:36 - 3:37
    שאינן כוללות את הפונקציה e^x.
  • 3:37 - 3:40
    זה עשוי להיות קשה לעקוב אחרי מה שביצענו כאן.
  • 3:40 - 3:41
    זוהי האנטי-נגזרת.
  • 3:41 - 3:45
    ...
  • 3:45 - 3:47
    זוהי האנטי-נגזרת וגם
  • 3:47 - 3:48
    זוהי האנטי נגזרת.
  • 3:48 - 3:51
    זו (g'(x בעוד שזו (g(x.
  • 3:51 - 3:56
    ...
  • 3:56 - 3:59
    פעם נוספת, לא ברור האם
  • 3:59 - 4:00
    כלל התקדמנו באיזושהי צורה בפתרון הבעיה.
  • 4:00 - 4:00
    אנחנו
  • 4:00 - 4:04
    עברנו מאינטגרל על (e^xcos(x לאינטגרל על (e^xsin(x.
  • 4:04 - 4:08
    הבה נבצע אינטגרציה בחלקים פעם נוספת ונראה מה מתרחש.
  • 4:08 - 4:11
    אני עומד לכתוב מצידו הימני של סימן השוויון
  • 4:11 - 4:14
    מכוון שהשלב הבא עשוי להיות מעט ארוך.
  • 4:14 - 4:19
    אכתוב רגע את החלק הראשון, שהוא e בחזקת x כפול (cos(x.
  • 4:19 - 4:24
    ועוד - וכעת נבצע אינטגרציה בחלקים פעם נוספת (על האיבר השני בלבד).
  • 4:24 - 4:33
    ...
  • 4:33 - 4:35
    במקרה הקודם של האינטגרציה בחלקים זו הפונקציה שהוותה עבורנו את (g(x.
  • 4:35 - 4:40
    במקרה זה, אניח שהיא (g'(x.
  • 4:40 - 4:42
    אין כל הבדל בבחירה זו מבחינת הפעולה על הפונקציה שכן
  • 4:42 - 4:44
    אינטגרציה או גזירה של פונקציה זו נותנים את אותה התוצאה.
  • 4:44 - 4:46
    בהתאם, נניח הפעם שזו (f(x.
  • 4:46 - 4:49
    ...
  • 4:49 - 4:54
    עקרון האינטגרציה בחלקים מנחה אותנו לקחת את (f(x כפול (g(x.
  • 4:54 - 4:57
    אם כך, ניקח את הפונקציה הזו ואת האנטי-נגזרת
  • 4:57 - 4:59
    של הפונקציה הזו.
  • 4:59 - 5:02
    כאמור, האנטי-נגזרת של פונקציה זו היא פעם נוספת פשוט e^x
  • 5:02 - 5:07
    וכופלים אותה ב (f(x', כמו שהיא
  • 5:07 - 5:10
    כלומר כפול סינוס של x.
  • 5:10 - 5:16
    מאיבר זה נחסיר את האינטגרל של האנטי-נגזרת
  • 5:16 - 5:21
    של פונקציה זו, שהיא e בחזקת x ונכפול אותה
  • 5:21 - 5:24
    בנגזרת של (f(x, הלוא היא (f'(x.
  • 5:24 - 5:26
    מהי הנגזרת של (sin(x?
  • 5:26 - 5:29
    (cos(x (קוסינוס x, ללא החלפת סימן)
  • 5:29 - 5:32
    כלומר, נרשום cos(x)dx.
  • 5:32 - 5:33
    הבה נבדוק האם אנו מתקדמים לאיזשהו מקום.
  • 5:33 - 5:36
    על פניו, נדמה כאילו אני מוסיף ומוסיף איברים
  • 5:36 - 5:37
    באופן שהולך ומסבך את התרגיל.
  • 5:37 - 5:39
    על מנת להבין לאן אנו מתקדמים,
  • 5:39 - 5:42
    אכתוב מחדש את הביטוי שקיבלנו עד כה ואפטר מכל
  • 5:42 - 5:43
    הסוגריים, שכן זוהי פעולת חיבור פשוטה.
  • 5:43 - 5:44
    אי לכך, נוותר על הסוגריים.
  • 5:44 - 5:48
    ...
  • 5:48 - 5:51
    נחליף צבע פעם נוספת...
  • 5:51 - 5:52
    בסדר גמור.
  • 5:52 - 6:00
    הבעיה המקורית, אם כן: אינטגרל על e בחזקת x כפול קוסינוס של x
  • 6:00 - 6:06
    שווה (ואחליף בחזרה צבע)
  • 6:06 - 6:12
    ל e בחזקת x כפול קוסינוס של x, ואז אפשר להיפטר
  • 6:12 - 6:14
    מהסוגריים כאמור כוון שזו פעולת חיבור
  • 6:14 - 6:19
    ולהשאר עם שלושה איברים: e בחזקת x כפול קוסינוס של x
  • 6:19 - 6:36
    ועוד e בחזקת x כפול סינוס של x פחות האינטגרל של e בחזקת x כפול קוסינוס של x.
  • 6:36 - 6:38
    ניתן לחשוב שהחלפתי צבעים באופן שרירותי
  • 6:38 - 6:42
    כאשר שכתבתי את התרגיל אך לא כך הדבר, שכן בהתבוננות מעמיקה
  • 6:42 - 6:46
    ניתן לשים לב מדוע בחרתי דווקא לחזור לצבע הכחול.
  • 6:46 - 6:48
    מזהים משהו מעניין?
  • 6:48 - 6:49
    בדיוק!
  • 6:49 - 6:52
    האיבר מצד שמאל של סימן השווין והאיבר בקצה הימני הם בדיוק אותו הביטוי עד כדי סימן מינוס, נכון?
  • 6:52 - 6:55
    אם כך, נבצע פעולה שלדעתי היא די מגניבה.
  • 6:55 - 6:59
    נוסיף את האיבר הזה לשני צדי המשוואה.
  • 6:59 - 7:01
    מעשית, ניקח את איבר זה
  • 7:01 - 7:02
    ונעבירו לצד השני של המשוואה.
  • 7:02 - 7:04
    אם אבצע זאת, כלומר נעביר את האיבר מהקצה הימני אל
  • 7:04 - 7:06
    צדה השמאלי של המשוואה, מה יתרחש?
  • 7:06 - 7:08
    כעת יש בידינו שניים כאלה בצד שמאל של המשוואה ולפיכך
  • 7:08 - 7:16
    נוכל לרשום:
  • 7:16 - 7:19
    האינטגרל של e בחזקת x כפול קוסינוס של x,
  • 7:19 - 7:21
    ומכוון שאני מעביר את האיבר הזה לצד שמאל
  • 7:21 - 7:27
    של המשוואה נוסיף עוד אינטגרל של e בחזקת x כפול קוסינוס של x.
  • 7:27 - 7:30
    זה בדיוק כמו פעמיים האינטגרל
  • 7:30 - 7:35
    של e בחזקת x כפול קוסינוס של x.
  • 7:35 - 7:38
    ואז זה שווה בדיוק לביטוי שנותר
  • 7:38 - 7:45
    כלומר, e בחזקת x כפול קוסינוס של x ועוד e בחזקת x כפול סינוס של x.
  • 7:45 - 7:47
    ברור לי שזה די מבולגן, לצערי.
  • 7:47 - 7:50
    כל שמוטל עלי לעשות כעת על מנת לפתור את האינטגרל הוא לחלק את שני
  • 7:50 - 7:53
    צדי המשוואה בשתיים וסיימתי!
  • 7:53 - 7:55
    ארשום את זה פעם נוספת, כוון שזה מרגש למדי
  • 7:55 - 7:57
    ומהווה את הישורת האחרונה בפתרון בעיה קלאסית זו.
  • 7:57 - 8:00
    אם נחלק את כל המשוואה בשתיים (ארשום זאת בתקווה שניתן יהיה לראות את כל התוכן)
  • 8:00 - 8:06
    אינטגרל של e בחזקת x כפול קוסינוס של x שווה
  • 8:06 - 8:17
    לחצי מ e בחזקת x קוסינוס של x
  • 8:17 - 8:26
    ועוד חצי מ e בחזקת x כפול סינוס של x.
  • 8:26 - 8:28
    אני חושב שזה מדליק למדי...
  • 8:28 - 8:32
    מרשים כיצד אינטגרציה בחלקים אפשרה לנו לבצע פעולה זו.
  • 8:32 - 8:34
    מעשית, לא נדרשנו לחשב את האינטגרל בשום צורה.
  • 8:34 - 8:36
    כלומר, לאחר כמה שלבים קיבלנו אינטגרל שמחזיר אותנו לבעיה המקורית.
  • 8:36 - 8:38
    תוכלו בוודאי לחשוב מדוע זה התרחש, נכון?
  • 8:38 - 8:40
    מכוון שהפונקציות הללו מתנהגות באופן מעגלי!
  • 8:40 - 8:42
    נאלצנו לבצע אינטגרציה בחלקים פעמיים על מנת לחזור
  • 8:42 - 8:44
    למבנה של תחילת הבעיה.
  • 8:44 - 8:50
    וכך השתמשנו בטריק זה על מנת לפתור את הבעיה מבלי שהזדקקנו
  • 8:50 - 8:51
    לחשב את האינטגרל עצמו שהיה נתון בבעיה.
  • 8:51 - 8:54
    מעבר לכך, לעניות דעתי רק מהתבוננות
  • 8:54 - 8:57
    בפתרון ניתן לשים לב שזה די מגניב, הלא כן?
  • 8:57 - 9:01
    האנטי-נגזרת של e בחזקת x,
  • 9:01 - 9:06
    וחשוב לא לשכוח את המחובר החופשי, C (הייתי מאבד על כך נקודה במבחן).
  • 9:06 - 9:08
    מה שמעניין לראות הוא שהאינטגרל של e בחזקת x כפול קוסינוס של x
  • 9:08 - 9:13
    שווה לביטוי הזה, e בחזקת x כפול קוסינוס של x
  • 9:13 - 9:15
    ועוד e בחזקת x כפול סינוס של x - שניהם חלקי שתיים.
  • 9:15 - 9:20
    כלומר, זהו הממוצע של e בחזקת x כפול קוסינוס של x
  • 9:20 - 9:21
    ושל e בחזקת x כפול סינוס של x.
  • 9:21 - 9:25
    לטעמי זו תכונה די מיוחדת ונחמדה ואולי ראוי
  • 9:25 - 9:30
    לצייר אותם על גרף ולהתבונן בערכים שונים של x, אבל זה די מדליק בכל מקרה.
  • 9:30 - 9:34
    כולי תקווה ששכנעתי אתכם כמה בעיה זו קלאסית
  • 9:34 - 9:37
    ושאינני היחיד עוד שחושב שזה מקרה מגניב...
  • 9:37 - 9:39
    נתראה במצגת הבאה!
  • 9:39 - 9:39
    ...
Title:
אינטגרציה בלתי-מסויימת (חלק 7)
Description:

דוגמה נוספת לשימוש באינטגרציה בחלקים.
more » « less
Video Language:
English
Duration:
09:38
roy263 added a translation

Hebrew subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.