Määratud integraal asendusega.

Solving a definite integral with substitution (or the reverse chain rule)

Mulle on saadetud see määratud integraali ülesanne ja see tundub

sama hea kui iga teine ja ma arvan, et selle võtmeks on

paljude näidete nägemine.

Teeme selle ära.

See määratud integraal on pi/2-st kuni pi-ni miinus koosinus

ruudus x-st korda sinx dx.

Ennem kui me matemaatikaga edasi liigume ja teeme

ära antiderivaadi ja kasutame algebra põhiteoreemi,

et vaadata määratud integraal üle, mõtleme sellele

mida me teeme.

Ma olen siin selle funktsiooni graafiliselt välja kujutanud, -cos

ruudus x-st korda sinx.

Ja see mis meid huvitab, me defineerime määratud

integraali vahemikus pi/2, mis on umbes siin.

Las ma proovin seda veidi suuremaks teha.

Seega vahemikus pi/2, mis on siin, ja pi.

Määratud integraal sellest funktsioonist vahemikus siit

siiani on sisuliselt see ala sellest kõverast kuni

x-teljeni.

Ja kuna kõverik on siin x-teljest all pool, siis see ala

saab olema negatiivne number.

See annab meile koheselt intuitsiooni.

Me peaksime saama negatiivse arvu, kui me selle väärtust leidma hakkame

ja lihtsalt, et seda tõestada ma trükkisin selle siin üleval sisse.

Nüüd proovime selle määratud integraali väärtusi leida.

Nüüd ma sean mõned tingimused siin ümber, lihtsalt, et

oleks veidike lihtsam seda lugeda.

Aga see kuidas ma sellest mõtlen, noh mul on

koosinus ja siinus.

koosinus on ruudus, seega igasugused hullud asjad

juhtuvad sellega, tundub nagu ma võiksin kasutada asendamist

või vastandahela reegleid siin.

Ja mis see reegel oli?

Vastandahela reegel ütles, et kui ma võtan tuletise f(g(x)),

siis see on võrdne f'(g(x))g'(x).

See võib sind täielikku segadusse ajada aga ma kirjustasin selle just siia,

sest me võime öelda, mis siis kui g(x) on koosinus x-st.

f'(g(x)) on koosinus x ruudus ja siis

tuletis g(x)-st või tuletis

cos(x) on sin(x).

Tegelikult on see -sinx ja meil on -sin

ka siin, seega see tuli see kah ilusti välja.

Kui see sind segadusse ajab, siis ära pane tähele.

Põhimõtteliselt me teeme lihtsalt sama asja

aga me teeme seda asendusega.

Las ma teen selle nüüd asendusega.

Ma kustutan selle ära kui see inimesi segadusse ajab.

Ma tahan seda teha teile kõige selgemal viisil.

OK, las ma kustutan selle ära.

Tegelikult ma teen selle asendusega, lihtsalt selle pärast

kuna mu eelmine viis oli lühem versioon sellest

ajast kui ma olin matemaatika sportlane.

Aga on hea kui sa oskad seda teha asendusega, see aitab

sul hoiduda tegemast hoolimatuid vigu.

Las ma kirjutan selle ennem ümber.

See on see sama mis integraal pi/2 kuni

pi-ni koosinus ruut x-st.

Tegelikult ma kirjutan selle ümber kui cos x ruudust.

Sama asi, õige.

Korda -sinx dx.

Nüüd peaks see sulle selgem olema.

Mis on cosx tuletis?

See on -sinx.

Mul on seega funktsioon ja see on pandud ruutu, ja mul on selle

tuletis, seega ma saan väljanuputada selle antiderivaadi kasutades

asendust või pöördahela reeglit.

Teeme seega asenduse.

u on võrdne cosx-ga.

Kuidas ma tean, et asendada u = cosx-ga?

Noh sellepärast, et ma ütlen, et noh selle funktsiooni

tuletis on siin.

Kui ma leian du, terve see asi saab lõpuks

olema du ja las ma näitan sulle seda.

Mis on du/dx?

du/dx on võrdne -sinx.

Seda loodetavasti me oleme juba õppinud.

Mis siis du on?

Kui me korrutame mõlemad pooled diferentsiaal d x-st saame,et du

on võrdne -sinx dx.

Seega kui me vaatame algset võrrandid, see siin

me just näitasime on võrdne du-ga, ja see siin on mis?

cosx on u.

See oli meie algne asendus.

Seega meil tuleb u ruudus.

Nüüd võtame integraali.

Ja ma vahetan suvaliselt värvi.

Ja see on väga tähtis asi.

Kui sa teed asenduse, kui me ütleme, et

u on võrdne cosx, peame me tegelikult

tegema selle asenduse piiride vahel.

Või me võime teha asenduse ja pöörata asendust

ja siis väärtustada piirid, aga teeme seda.

Seega kui see läheb x on võrdne pi/2 kuni pi-ni,

millest u läheb?

Noh kui x on võrdne pi/w, siis u on võrdne

cos pi/2.

Sest u on cosx.

Ja siis kui x on pi, siis i saab olema cos pi.

Ja nüüd lõbus osa.

cos x ruudust.

Noh see on see sama asi, mis u ruudus.

Ja miinus sin x dx, see on sama asi mis

du -- tegime seda siin.

See on üpris sirgjooneline ja ma lihtsalt

kirjutan selle ümber.

Mis on koosinus pi-st.

Koosinus pi-st on -1.

Koosinus pi/2-st, noh see on 0.

Ja me saime, et integraal u-st on võrdne 0-ga, u on võrdne

miinus 1-ga u ruut du.

Ja nüüd tundub see nagu lihtne ülesanne.

See on võrdne antiderivaat u

ruudust, mis on üpris sirgjooneline.

u kuubis jagatud 3.

Sa võiksid lihtsalt sellest tuletise võtta,

saad aru küll.

Ainuke asi mis ma tegin, ma suurendasin seda eksponenti,et saada kolmas aste ja

ma jagasin selle eksponendi võrra.

Nüüd peame selle väärtustama astmes -1 ja

lahutama selle, mis see võrdus astmes 0.

Seega see on võrdne -1 astmes 3 miinus

0 astmes 3 ja see on võrnde -1/3.

Ja me olemegi lõpetanud.

Ja kui me vaatame seda ala meie originaalses joonises,

mille me just lahendasime, nagu me ütlesime, ala kõvera vahel

siit ja siit on -1/3.

Või kui me tahaksime absoluutset ala, sest tegelikult

ei saa pindala olla negatiivne, tuleb see 1/3 aga me teame, et see on negatiivne,

sest see kõver on x-teljest all pool.

Ja see tundub umber õige, tundub nagu 1/3.

Kui see ruut siin on 1, siis

see tundub nagu 1/3.

Vähemalt tuli kõik välja.

Loodetavasti oli see vähegi kasulik.

Tegelikult, las ma vaatan - kuna meil on veel pisut aega.

Loodetavasti said sa sellest aru ja kui ei saanud, ära muretse

selle üle, mida ma nüüd tegema hakkan, aga ma tahan teile näidata kuidas mina

kipun seda tegema, kui ma vaatan seda kui

pöördahela reeglit.

See on mõnikord veidike kiirem.

Aga tegelikult on see see sama asi mida me

just asendusega tegime.

Seega, kui me kõik selle ära kustutame.

Ja seega meil on see integraal siin, mida ma teen on, ma ütlen

noh mul on cosx ruudus.

mul on koosinus x ruudus ja siis mul on sin x.

See on selle tuletis.

Kuna tuletis on siin, võin me seda kogu asja kohelda

kui x-i tingimust.

Seega see on see sama asi.

Seega antiderivaat on cosx astmes 3 jagatud 3-ga ja ma

väärtustan selle pi-st pi/2-ni.

Ja mäletan kuidas ma seda tegin?

Mis laksis mul kohelda seda cosx just kui x või

u kui ma tegin asendust?

Noh mul oli ta tuletis siin samasel,

miinus sinx.

See andis mulle loa lihtsalt võtta

antiderivaat, teeselda nagu see cosx on lihtsalt x,

on lihtsalt u võib isegi öelda, ja lihtsalt võtta

selle eksponent, lisada sellele 1 ja jagada see 3-ga ja siis

hinnata seda pi-st pi/2-ni.

Seega see on võrdne cos pi kuubis jagadus 3, miinus cos

pi astmes 2 kuubis jagatud 3.

See on -1 astmes 3, seega on see võrdne

- 1/3 - see on 0.

Seega saame sama vastuse.

Ma lihtsalt tahtsin seda teile näidata.

Täpselt sama moodi on asendusega.

Ma lihtsalt ametlikult ei teinud siin asendust, aga see

on täpselt sama asi.

Igatahes, loodan, et see oli kasulik.