< Return to Video

อินทิกรัลจำกัดเขตด้วยการแทนที่

  • 0:00 - 0:01
    -
  • 0:01 - 0:03
    ผมได้รับโจทย์อินทิกรัลจำกัดเขตนี่มา แล้วมันดู
  • 0:03 - 0:06
    ดีเหมือนอันอื่น, และผมว่าสิ่งสำคัญคือแค่
  • 0:06 - 0:07
    เห็นตัวอย่างเยอะ ๆ
  • 0:07 - 0:09
    งั้นลองทำดูกันดีกว่า
  • 0:09 - 0:19
    อินทิกรัลจำกัดเขตนี่ จาก ไพ ส่วน 2 ถึง ไพ ของ ลบโคไซน์
  • 0:19 - 0:28
    กำลังสองของ x คูณไซน์ของ x dx
  • 0:28 - 0:30
    งั้นก่อนที่เราจะทำเลข หา
  • 0:30 - 0:34
    แอนติเดริเวทีฟ แล้วใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส
  • 0:34 - 0:36
    เพื่อหาอินทิกรัลจำกัดเขต, ลองคิดถึง
  • 0:36 - 0:37
    ว่าเรากำลังทำอะไรอยู่
  • 0:37 - 0:40
    ผมก็วาดกราฟของฟังก์ชันนี่ตรงนี้, ลบโคไซน์
  • 0:40 - 0:44
    กำลังสองของ x คูณ ไซน์ของ x
  • 0:44 - 0:46
    และสิ่งที่เราสนใจ, เรากำลังหาอินทิกรัลจำกัดเขต
  • 0:46 - 0:50
    ระหว่างไพส่วน 2, ซึ่งอยู่ประมาณตรงนี้
  • 0:50 - 0:53
    ขอผมดูหน่อยว่าผมจะทำให้ใหญ่กว่านี้หน่อยได้ไหม
  • 0:53 - 0:58
    งั้นระหว่างไพส่วน 2 ซึ่งอยู่ตรงนี้, กับไพ
  • 0:58 - 1:00
    งั้นอินทิกรัลจำกัดเขตของฟังก์ชันนี้ ระหว่างนี่
  • 1:00 - 1:04
    กับนี่ ก็คือพื้นที่ของเส้นโค้งระหว่างเส้นโค้ง
  • 1:04 - 1:05
    กับแกน x
  • 1:05 - 1:08
    และเนื่องจากเส้นโค้งอยู่ใต้แกน x นี่, พื้นที่นี้
  • 1:08 - 1:10
    จะเป็นค่าลบ
  • 1:10 - 1:11
    นั่นบอกเราถึงสัญชาตญาณได้
  • 1:11 - 1:14
    เราควรได้เลขเป็นลบ ตอนเราหาค่านี่
  • 1:14 - 1:17
    และเพื่อพิสูจน์นี่ ผมจะพิมพ์มันลงบนนี้
  • 1:17 - 1:21
    งั้นตอนนี้ลองหาอินทิกรัลจำกัดเขตนี้กัน
  • 1:21 - 1:23
    -
  • 1:23 - 1:26
    ตอนนี้ผมจะเรียงเทอมใหม่ตรงนี้ ให้มัน
  • 1:26 - 1:28
    อ่านได้ง่ายขึ้น
  • 1:28 - 1:30
    แต่วิธีที่ผมคิดถึงนี่คือว่า, ตรงนี้ ผมมี
  • 1:30 - 1:32
    โคไซน์กับไซน์
  • 1:32 - 1:34
    โคไซน์มีกำลังสอง, และอะไรเพี้ยน ๆ เกิดขึ้นกับ
  • 1:34 - 1:40
    มัน, ดังนั้นมันดูเหมือนว่าผมควรใช้การแทนที่
  • 1:40 - 1:42
    หรือกฎลูกโซ่ย้อนกลับตรงนี้
  • 1:42 - 1:44
    แล้วกฎลูกโซ่คืออะไร?
  • 1:44 - 1:52
    กฎลูกโซ่บอกว่า หากผมหาอนุพันธ์ของ f ของ g ของ x
  • 1:52 - 2:02
    นี่จะเท่ากับ f ไพรม์ของ g ของ x คูณ g ไพรม์ของ x
  • 2:02 - 2:05
    นั่นอาจทำให้คุณงง, แต่ผมแค่เขียนมันตรงนี้
  • 2:05 - 2:09
    เพราะเราอาจบอกได้ว่า, ถ้าเกิด g ของ x คือโคไซน์ของ x
  • 2:09 - 2:13
    f ไพรม์ของ g ของ x คือโคไซน์ของ x กำลงสอง, แล้ว
  • 2:13 - 2:15
    อนุพันธ์ของ g ของ x หรืออนุพันธ์ของโคไซน์
  • 2:15 - 2:16
    ของ x ก็คือไซน์ของ x
  • 2:16 - 2:18
    ทีนี้, ที่จริงมันคือ ลบไซน์ของ x, แล้วเรามีลบ
  • 2:18 - 2:20
    ตรงนี้, มันเลยใช้ได้เหมือนกัน
  • 2:20 - 2:22
    หากนี่ทำให้คุณงง, ก็ช่างมัน
  • 2:22 - 2:23
    ที่สุดแล้วเราก็ทำสิ่งเดียวกัน
  • 2:23 - 2:24
    แต่เราจะทำมันด้วยการแทนที่
  • 2:24 - 2:27
    ขอผมทำด้วยการแทนที่นะ
  • 2:27 - 2:30
    ขอผมลบนี่นะ เพราะมันทำให้คนงง
  • 2:30 - 2:33
    -
  • 2:33 - 2:39
    ผมอยากทำอะไรก็ตามที่ทำให้คุณงงน้อยที่สุด
  • 2:39 - 2:40
    โอเค ขอผมลบนั่นนะ
  • 2:40 - 2:43
    ที่จริง ขอผมทำด้วยการแทนที่นะ, เพราะ
  • 2:43 - 2:47
    วิธีที่ผมกำลังทำ เป็นทางลัดตอน
  • 2:47 - 2:49
    ที่ผมยังเป็นนักแข่งเลขอยู่
  • 2:49 - 2:52
    แต่มันดีที่จะทำด้วยการแทนที่, ช่วยให้คุณ
  • 2:52 - 2:53
    ไม่ทำอะไรพลาดง่าย ๆ
  • 2:53 - 2:54
    งั้นขอผมเขียนนี่ใหม่ก่อน
  • 2:54 - 2:59
    นี่ก็เหมือนกับอินทิกรัลจากไพส่วน 2 ถึง
  • 2:59 - 3:05
    ไพ ของโคไซน์กำลังสองของ x
  • 3:05 - 3:09
    ที่จริง ขอผมเขียนนั่นเป็นโคไซน์ของ x กำลังสอง
  • 3:09 - 3:12
    เหมือนกัน, ใช่
  • 3:12 - 3:19
    คูณ ลบไซน์ของ x dx
  • 3:19 - 3:20
    และทีนี้, มันควรชัดขึ้นแล้วนะ
  • 3:20 - 3:22
    อนุพันธ์ของโคไซน์ของ x คืออะไร?
  • 3:22 - 3:24
    มันคือ ลบไซน์ของ x
  • 3:24 - 3:26
    งั้นผมมีฟังก์ชันและมันยกกำลังสอง, แล้วผมมี
  • 3:26 - 3:30
    อนุพันธ์ของมัน, ผมเลยสามารถหาแอนติเดริเวทีฟได้
  • 3:30 - 3:32
    โดยการแทนที่หรือการย้อนกฎลูกโซ่
  • 3:32 - 3:34
    งั้นลองทำการแทนที่กัน
  • 3:34 - 3:38
    u เท่ากับโคไซน์ของ x
  • 3:38 - 3:40
    ผมรู้ได้ยังไงว่าต้องแทน u เท่ากับโคไซน์ของ x?
  • 3:40 - 3:43
    นั่นเพราะผมบอกว่า, อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
  • 3:43 - 3:44
    นี่อยู่ตรงนี้
  • 3:44 - 3:47
    แล้วเมื่อผมเห็น du, ทั้งหมดนี่จะกลายเป็น
  • 3:47 - 3:48
    du, และขอผมทำให้คุณเห็นนะ
  • 3:48 - 3:51
    du/dx คืออะไร?
  • 3:51 - 3:58
    du/dx เท่ากับลบไซน์ของ x
  • 3:58 - 4:00
    หวังว่าเราจะรู้ไปแล้ว
  • 4:00 - 4:01
    แล้ว du คืออะไร?
  • 4:01 - 4:05
    ถ้าเราคูณทั้งสองข้างด้วยดิฟเฟอเรนชียล d ของ x จะได้ du
  • 4:05 - 4:10
    เท่ากับ ลบไซน์ของ x dx
  • 4:10 - 4:15
    ดังนั้นหากเราดูที่สมการเดิม, นี่ตรงนี้ เรา
  • 4:15 - 4:21
    เพิ่งแสดงว่าเท่ากับ du, และนี่ตรงนี้คืออะไร?
  • 4:21 - 4:23
    โคไซน์ของ x คือ u
  • 4:23 - 4:24
    นั่นคือการแทนที่เดิมของเรา
  • 4:24 - 4:26
    เราเลยได้ u กำลังสอง
  • 4:26 - 4:30
    -
  • 4:30 - 4:32
    งั้นตอนนี้ลองหาอินทิกรัลกัน
  • 4:32 - 4:34
    และผมจะเปลี่ยนสีตามใจผมนะ
  • 4:34 - 4:38
    -
  • 4:38 - 4:40
    ตอนนี้นี่คือสิ่งที่สำคัญมาก
  • 4:40 - 4:43
    หากคุณทำการแทนที่, หากเรา
  • 4:43 - 4:45
    บอกว่า u เท่ากับโคไซน์ของ x, เราจะต้องทำการ
  • 4:45 - 4:46
    แทนที่ตรงขอบเขตด้วย
  • 4:46 - 4:49
    หรือเราสามารถทำการแทนที่ แล้วย้อนการแทนที่
  • 4:49 - 4:51
    แล้วค่อยแทนค่าขอบเขต, แต่ลองทำดูกัน
  • 4:51 - 4:55
    หากนี่จะไปจาก x เท่ากับไพส่วน 2 ถึงไพ,
  • 4:55 - 4:57
    แล้ว u จะไปจากไหน?
  • 4:57 - 5:00
    ทีนี้ตอน x เท่ากับ ไพ ส่วน 2, u เท่ากับ
  • 5:00 - 5:02
    โคไซน์ของ ไพ ส่วน 2
  • 5:02 - 5:05
    -
  • 5:05 - 5:06
    เพราะ u ก็เแค่โคไซน์ของ x
  • 5:06 - 5:10
    แล้วตอน x เท่ากับไพ, u จะเท่ากับโคไซน์ของ ไพ
  • 5:10 - 5:13
    -
  • 5:13 - 5:15
    แล้วมาถึงตอนสนุกแล้ว
  • 5:15 - 5:16
    โคไซน์ของ x กำลังสอง
  • 5:16 - 5:19
    นั่นก็เหมือนกับ u กำลังสอง
  • 5:19 - 5:23
    และลบไซน์ของ x dx, นั่นก็เหมือนกับ
  • 5:23 - 5:25
    du -- ทำไปแล้วตรงนี้
  • 5:25 - 5:28
    -
  • 5:28 - 5:30
    นี่ค่อนข้างตรงไปตรงมา ผมจะ
  • 5:30 - 5:30
    เขียนมันใหม่นะ
  • 5:30 - 5:31
    โคไซน์ของ ไพ คืออะไร?
  • 5:31 - 5:34
    โคไซน์ของ ไพ คือ ลบ 1
  • 5:34 - 5:37
    โคไซน์ของ ไพ ส่วน 2, นั่นจะเป็น 0
  • 5:37 - 5:40
    แล้วเราได้อินทิกรัลจาก u เท่ากับ 0 ถึง u เท่ากับ
  • 5:40 - 5:44
    ลบ 1 ของ u กำลังสอง du
  • 5:44 - 5:50
    และนี่ก็กลายเป็นโจทย์ง่าย ๆ
  • 5:50 - 5:54
    งั้นนี่เท่ากับแอนติเดริเวทีฟของ u
  • 5:54 - 5:56
    กำลังสอง, ซึ่งตรงไปตรงมาเลย
  • 5:56 - 5:59
    u กำลังสามส่วน 3
  • 5:59 - 6:01
    คุณสามารถหาอนุพันธ์ของนี่
  • 6:01 - 6:02
    คุณจะได้นี่
  • 6:02 - 6:05
    ทั้งหมดที่ผมทำ คือ ผมเพิ่มเลขชี้กำลังขึ้นได้สาม, แล้ว
  • 6:05 - 6:07
    ผมหารมันด้วยเลขชี้กำลังนั่น
  • 6:07 - 6:11
    ตอนนี้เราจะต้องแทนค่ามันที่ ลบ 1 แล้ว
  • 6:11 - 6:14
    ลบมันจากนั่น, แทนค่าที่ 0
  • 6:14 - 6:19
    ดังนั้นนี่จะเท่ากับ ลบ 1 กำลังสามส่วน 3 ลบ
  • 6:19 - 6:25
    0 ส่วน 3, แล้วนี่จะเท่ากับ ลบ 1/3
  • 6:25 - 6:27
    แล้วก็เสร็จ
  • 6:27 - 6:31
    หากเราดูที่พื้นที่นี้จากกราฟเดิมของเรา,
  • 6:31 - 6:33
    สิ่งที่เราหาไป, อย่างที่เราบอกพื้นที่ของเส้นโค้ง ระหว่าง
  • 6:33 - 6:36
    นี่กับนี่ เท่ากับ ลบ 1/3
  • 6:36 - 6:39
    หรือหากเราอยากได้พื้นที่จริง ๆ เพราะคุณไม่สามารถ
  • 6:39 - 6:42
    มีพื้นที่เป็นลบได้, มันก็คือ 1/3 แต่เรารู้ว่ามันมีลบ
  • 6:42 - 6:45
    เพราะเส้นโค้งนี้อยู่ใต้แกน x ตรงนี้
  • 6:45 - 6:48
    และนั่นดูใช้ได้แล้ว, มันดูประมาณ 1/3
  • 6:48 - 6:51
    ผมหมายถึง หากนี่ยกกำลังสามตรงนี้เป็น 1, แล้วนั่น
  • 6:51 - 6:53
    ดูประมาณ 1/3
  • 6:53 - 6:55
    สัญชาตญาณใช้ได้นะ อย่างน้อย
  • 6:55 - 6:59
    หวังว่าคุณคงพบว่ามีประโยชน์มาก
  • 6:59 - 7:02
    ที่จริงขอผม -- เนื่องจากเรามีเวลานิดหน่อย
  • 7:02 - 7:04
    หวังว่าคุณคงเข้าใจนี่นะ, และหากคุณไม่, ไม่ต้อง
  • 7:04 - 7:06
    ไม่กังวลในสิ่งที่ผมกำลังจะทำตอนนี้, แต่ผมอยากแสดงให้คุณเห็นว่า
  • 7:06 - 7:07
    ผมจะทำมันยังไง ตอนผมคิดถึงมันว่า
  • 7:07 - 7:09
    เป็นกฎลูกโซ่ย้อนกลับ
  • 7:09 - 7:13
    มันมักจะเร็วกว่าหน่อยบางครั้ง
  • 7:13 - 7:15
    แต่ที่จริงมันก็เหมือนกับสิ่งที่เราทำ
  • 7:15 - 7:16
    ตอนใช้การแทนที่
  • 7:16 - 7:18
    งั้นหากเราลบพวกนี้ออกหมด
  • 7:18 - 7:21
    -
  • 7:21 - 7:27
    แล้วหากเรามีอินทิกรัลนี่ตรงนี้, สิ่งที่ผมทำคือผมบอกว่า,
  • 7:27 - 7:29
    ตรงนี้ ผมมีโคไซน์ของ x กำลังสอง
  • 7:29 - 7:32
    -
  • 7:32 - 7:35
    ผมมีโคไซน์ของ x กำลังสอง, แล้วผมมีลบไซน์ของ x
  • 7:35 - 7:38
    นี่คืออนุพันธ์ของนี่
  • 7:38 - 7:41
    เนื่องจากอนุพันธ์คือตรงนี้, ผมสามารถให้ก้อนทั้งหมดนี่
  • 7:41 - 7:43
    เป็นเหมือนกับ x ตัวนึง
  • 7:43 - 7:46
    งั้นนี่ก็เหมือนกัน
  • 7:46 - 7:55
    ดังนั้นแอนติเดริเวทีฟ คือ โคไซน์ของ x กำลังสาม ส่วน 3, แล้วผม
  • 7:55 - 7:58
    ก็แทนค่ามันที่ ไพ กับ ไพ ส่วน 2
  • 7:58 - 8:00
    และจำไว้, ผมทำได้ยังไง?
  • 8:00 - 8:03
    สิ่งที่ยอมให้ผมทำเหมือนโคไซน์ของ x เป็นเหมือน x หรือ
  • 8:03 - 8:05
    u ตอนเราทำการแทนที่คืออะไร?
  • 8:05 - 8:07
    เป็นเพราะผมมีอนุพันธ์ของมันนั่งอยู่ตรงนี้ด้วย
  • 8:07 - 8:08
    ลบไซน์ของ x
  • 8:08 - 8:11
    ดังนั้นนั่นคือสิ่งที่ยอมให้ผม
  • 8:11 - 8:15
    หาแอนติเดริเวทีฟ, โดยทำเหมือนว่าโคไซน์ของ x นี่เป็นแค่ x,
  • 8:15 - 8:19
    เป็นแค่ u, คุณบอกอย่างนั้นก็ได้, แล้วเอาเลขชี้กำลังมา
  • 8:19 - 8:21
    เพิ่มขึ้น 1, แล้วหารมันด้วย 3 แล้ว
  • 8:21 - 8:24
    แทนค่ามันจาก ไพ ถึงไพ ส่น 2
  • 8:24 - 8:32
    ดังนั้นนี่เท่ากับโคไซน์ของ ไพ กำลังสามส่วน 3 ลบโคไซน์
  • 8:32 - 8:36
    ของ ไพส่วน 2 กำลังสาม ส่วน 3
  • 8:36 - 8:40
    นี่คือ ลบ 1 กำลังสาม, ดังนนั้นนี่เท่ากับ ลบ
  • 8:40 - 8:42
    1/3 ลบ นี่คือ 0
  • 8:42 - 8:43
    แล้วเราก็ได้คำตอบเหมือนกัน
  • 8:43 - 8:45
    ผมอยากแสดงให้คุณเห็น
  • 8:45 - 8:46
    มันเหมือนกับการแทนที่เลย
  • 8:46 - 8:49
    ผมก็แค่ ผมไม่ได้ทำเป็นทางการเหมือนการแทนที่ แต่มัน
  • 8:49 - 8:50
    ก็คืออย่างเดียวกัน
  • 8:50 - 8:52
    เอาล่ะ, หวังว่าคุณคงเห็นประโยชน์บ้างนะ
  • 8:52 - 8:53
    -
Title:
อินทิกรัลจำกัดเขตด้วยการแทนที่
Description:

การหาอินทิกรัลจำกัดเขตด้วยการแทนที่ (หรือกฎลูกโซ่ย้อนกลับ)
more » « less
Video Language:
English
Duration:
08:54
Umnouy Ponsukcharoen added a translation

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.