Algebra: Směrnice přímky

Základy výpočtu směrnice přímky ze dvou zadaných bodů.

Ve videu se pro směrnicový tvar přímky používá rovnice:
y = m*x + b
u nás se spíše používá tvar
y = k*x + q
kde "k" je námi hledaná směrnice a "q" určuje průsečík s osou y.

Vítáme Vás v prezentaci na téma:
zjišťování směrnice přímky.

Začněme!

Máme dva body.

Z minulých prezentací již víme,

že pro definování přímky jsou
třeba alespoň dva body.

Když se nad tím zamyslíte, smysl to dává.

Máme tedy dva body.

Teď si je zapíšeme.

Jeden bod bude...proč mi to nepíše?

Občas se tahle věc chová trochu nepředvídatelně.

Aha, já jsem se snažil psát černou barvou.

Jeden bod bude -1 ; 3.

Takže...

Kam to zakreslíme v grafu?

Tohle je počátek 0 ; 0.

Posuneme se o 1 do záporných čísel,
tohle je -1.

A teď se posuneme o 3 nahoru.

1, 2, 3.

Protože tohle je 3.

Tedy -1 ; 3 bude právě tady.

OK, to je náš první bod.

Druhý bod...nakresllíme ho jinou barvou.

Druhý bod je 2 ; 1.

Kam bychom ho zakreslili.

Budeme počítat 1, 2.

Tohle je 2 ; 1.

Protože tohle je 1.

Tedy náš bod bude právě tady

Nakreslili jsme naše dva body.

A teď přímka, která je spojuje, bude vypadat

zhruba takhle.

Doufám, že ji zakreslím dobře.

...Ne, to se mi moc nepovedlo.
Začneme v zeleném bodě a půjdeme přes žlutý bod.

Asi takhle.

Uděláme to takhle.

Pokusíme se pokračovat v přímce z tohoto bodu.

Tak se na to dá jít.

Zhruba takto.

Podívejme se na naší přímku.

Co chceme v této prezentaci udělat,
je nalézt směrnici naší přímky

Pomůžu vám.

Na směrnici přímky se dá nahlíźet
ruznými způsoby.

Intuitivně, napadne vás, že směrnice je

sklon této přímky.

A hned můžeme vidět, že se jedná

o klesající přímku.

Protože začíná vlevo nahoře
a končí vpravo dole.

Naše směrnice bude záporné číslo.

To zjistíme hned.

Budeme se snažit přijit na způsob

jak vypočítat směrnici.

Směrnice se často značí

písmenem "m". Není k tomu zřejmý důvod.

"m" se směrnici moc nepodobá.

To se rovná... je několik způsobů

jak to zapsat.

Změna v "y" lomeno změna v "x"

Ten malý trojúhelník se čte "delta",
je to písmeno řecké abecedy

a znamená "změna".

Změna v "y" lomeno změna v "x".

To se také rovná "stoupání" lomeno
"uražená vzdálenost"

Vysvětlíme si, co to všechno znamená.

Začneme v jednom z našich bodů.

Začneme třeba v zeleném bodě -1 ; 3.

Kolik musíme "vystoupat" a jakou musíme "urazit vzdálenost"

abychom se dostali do bodu 2 ; 1?

Začneme se "stoupáním".

Musíme "vystoupat" -2.

"stoupání" se rovná -2.

Protože musíme jít o 2 dolů,
abychom se dostali na stejné y

jako u žlutého bodu.

A pak musíme jít až sem.

Musíme "urazit vzdálenost" +3.

Tedy se nám to rovná -2 lomeno 3.

Jak bychom to udělali,
kdybychom neměli náš graf,

ve kterém to přímo odečteme?

Jedna věc, co můžeme udělat...řekněme, že

toto bude náš počátečńi bod.

Změna v "y" lomeno změna v "x" se rovná

vezmeme y prvního bodu, které je 3.

A odečteme od něj y druhého bodu,

které je 1.

Prostě jsme od 3 odečetli 1.

To je změna v "y", lomeno...vezmeme "x" prvního bodu -1

a odečteme "x" druhého bodu, které je 2.

Tedy 3 minus 1 se rovná 2.

A -1 minus 2 se rovná -3.

Je to to samé.

Získali jsme -2 lomeno 3.

Mohli jsme si náš
počáteční bod zvolit jinak.

...a mně tu dochází místo ke kreslení...

Mohli jsme si zvolit tento bod jako počátečńi.

Kdybychom to tak udělali,
potom změna v "y"

by byla...pokusím se to tam nějak vmáčknout.

Trochu vás zmást.

Změna v "y" by byla toto "y"

1 minus 3 lomeno změna v "x", která bude 2 minus -1.

1 minus 3 se rovná -2

a 2 minus -1 se rovná 3.

Tedy opět jsme dostali -2 lomeno 3.
Nezáleží tedy na tom

jaký bod si zvolíme jako počáteční,
pokud si zvolíme toto "y" jako první souřadnici

tak si musíme zvolit i toto "x"

jako první souřadnici.

Podívejme se na nějaké další problémy.

Uděláme si jich pár pouze výpočtem

bez načrtnutí grafu.

Řekněme, že chceme vypočítat směrnici

mezi body 5 ; 2 a 3 ; 5.

Zvolme si tento jako náš počáteční bod.

Změna v "y" lomeno změna v "x", nebo "stoupání" a "uražení vzdálenosti",

změna v "y" bude tahle 5.

5 minus tahle 2.

lomeno tahle 3 minus tahle 5.

A to nám dá 3 lomeno -2.

a to jsou -3/2

Udělejme další.

Tentokrát to zkusím rozlišit barvami,

aby to bylo názornější.

Mějme bod 1 ; 2.

To je náš počáteční bod.

Náś druhý bod bude 4 ; 3.

Tedy znovu, říkáme, že směrnice
je rovna změne v "y"

lomeno změna v "x".

Pro změnu v "y"

Vezmeme "y" počátečního bodu.

Začneme tady.

Budeme mu říkat "y1".

Dostaneme 3 minus "y" druhého bodu, které je 2.

To všechno lomeno, "x" počátečního bodu,

které je 4, minus "x" druhého bodu, které je 1.

A 3 minus 2 se rovná 1.

A 4 minus 1 se rovná 3.

Směrnice v tomto příkladě je 1/3.

Samozřejmě jsme si mohli zvolit
za počáteční bod ten druhý.

V tom případě bychom dostali

2 minus 3 lomeno 1 minus 4.

tedy bychom dostali

-1 lomeno -3.

A to se rovná opět 1/3.

Protože dva mínusy nám dají plus.

Je na rozmyšlení,
jaktože z tohohle a z tohoto

dostaneme tu samou směrnici.

Nejdůležitější věc k zapamatování je,
že když použijeme 3

jako první pro "y", tak musíme použít

4 jako první pro "x".

Neudělat to tak, je častá chyba.

Také je třeba dávat pozor na znaménka

u řešení těchto problémů.

Snad vám to dávalo aspoň trochu smysl,

abyste mohli začít řešit problémy se směrnicemi.

Příště vám ukáži jak vypočítat

průsečík s osou y

Protože rovnice libovolné přímky je

"y" se rovná "(m-krát x) plus b".

Půjdeme do větší hloubky.

Kde "m" je směrnice.

Tedy když známe směrnici přímky.

A známe průsečík s osou y,
víme vše, co potřebujeme

vědět o přímce.
Můžeme zapsat její rovnici

a vypočítat ostatní body,

které na ní leží

Na to se tedy podíváme příště.

Doufám, že jsem vás moc nezmátl.

A zkuste si vypočítat nějaké příklady se směrnicemi.

Měli byste je být schopni vyřešit.

Doufám, že jste se bavili.

..