Algebra: Slope

Καλωσορίσατε στην παρουσίαση για την εύρεση της κλίσης μιας ευθείας.

Ας ξεκινήσουμε.

Έτσι, ας πούμε πως έχω δύο σημεία.

Και, όπως μάθαμε στις προηγούμενες παρουσιάσεις, το μόνο

που χρειάζεστε για να ορίσετε μια ευθεία είναι δύο σημεία.

Και πιστευώ πως εάν το σκεφτείτε λιγάκι, βγάζει νόημα.

Ας πούμε πως έχουμε δύο σημεία.

Και αφήστε με να καταγράψω τα δύο σημεία τα οποία πρόκειται να έχουμε.

Ας πούμε πως το ένα σημείο είναι... Μα γιατί δε γράφει αυτό;

Κάποιες φορές αυτό συμπεριφέρεται κάπως σχολαστικά.

Α, αυτό συμβαίνει βασικά επειδή προσπαθούσα να το γράψω με μαύρο χρώμα.

Ας πούμε πως το ένα σημείο είναι το (-1, 3).

Οπότε, για να δούμε.

Που το σχεδιάζουμε αυτό;

Έτσι, αυτό είναι το (0,0).

Πηγαίνουμε στο μείων ένα, αυτό είναι το -1 εδώ.

Και μετά πηγαίνουμε 3 μονάδες προς τα πάνω.

1, 2, 3.

Επειδή αυτό είναι το 3 ακριβώς εδώ.

Έτσι, το (-1, 3) θα βρίσκετε ακριβώς εδώ.

Εντάξει, οπότε αυτό είναι το πρώτο σημείο.

Το δεύτερο σημείο, θα το ζωγραφίσω με διαφορετικό χρώμα.

Το δεύτερο σημείο είναι το (2, 1).

Για να δούμε που μπορούμε να το βάλουμε αυτό.

Θα μετρούσαμε 1, 2.

Αυτό εδώ είναι το (2, 1).

Επειδή αυτό είναι 1.

Οπότε το σημείο θα βρίσκετε εδώ πέρα.

Έτσι σχεδιάσαμε τα δύο μας σημεία.

Και τώρα η γραμμή που τα συνδέει, θα δείχνει

κάπως έτσι.

Και ελπίζω πως μπορώ να την σχεδιάσω καλά.

35 00:01:36,3 --> 00:01:39,078 Μέσα από αυτό το σημείο.

Μου αρέσει αυτό.

Τώρα, θα το κάνω.

Και μετά θα προσπαθήσω απλά να συνεχίσω την ευθεία από εδώ.

Αυτή πρέπει να είναι και η καλύτερη τεχνική.

Κάπως έτσι.

42 00:01:57,68 --> 00:01:58,57 Λοιπόν, για να κοιτάξουμε στη γραμμή.

Αυτό που θέλουμε να κάνουμε σε αυτή την παρουσίαση, είναι να βρούμε

Νομίζω πως θα σας βοηθήσω.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να δείτε την κλίση.

Πιστευώ, πως διαισθητικά, γνωρίζετε ήδη πως η κλίση είναι η

το πόσο 'γέρνει' αυτή η γραμμή.

Και μπορούμε ήδη να δούμε πως αυτή είναι μια

ευθεία που κλίνει προς τα κάτω.

Διότι έρχεται από πάνω αριστερά και πηγαίνει προς τα κάτω δεξιά.

Έτσι, η κλίση, θα είναι αρνητικός αριθμός.

Οπότε το ξέρετε αυτό κατευθείαν.

Και θα έχουμε -- αυτό που θα κάνουμε είναι να βρουμε τον τρόπο

εύρεσης της κλίσης.

Έτσι, η κλίση (επιτρέψτε μου να γράψω αυτό), -- λέμε κλίση ή

πολλές φορές θα την δείτε γραμμένη ως "μεταβλητή m", που σημαίνει κλίση ευθείας, αλλά δεν έχω καμία ιδέα γιατί το λέμε αυτό.

Διότι το m, εμφανώς, δε μπορεί να πηγάζει από τη λέξη κλίση.

Αυτό είναι ίσο με (υπάρχουν διάφορα πράγματα

που μπορεί να ακούσετε πάνω σε αυτό):

Η αλλαγή στη τιμή του y, προς την αλλαγή στη τιμή του x.

Αυτό το τριγωνάκι, το οποίο ονομάζετε και Δέλτα, και είναι

Ελληνικό γράμμα, σημαίνει "Αλλαγή σε".

Η αλλαγή στις τιμές του y προς την αλλαγή στις τιμές του x.

Και αυτό ισούται με την "κάθετη μετακίνηση προς την οριζόντια μετακίνηση."

Και θα σας εξηγήσω ακριβώς τι σημαίνουν όλα αυτά αμέσως.

Οπότε ας ξεκινήσουμε σε ένα από αυτά τα σημεία.

Ας αρχίσουμε από αυτό το πράσινο σημείο, το (-1, 3).

Πόσο χρειάζεται λοιπόν να μετακινηθούμε κάθετα και πόσο χρειάζεται οριζόντια

έτσι ώστε να φτάσουμε στο δεύτερο σημείο, το (2,1);

Ας κάνουμε την κάθετη μετακίνη πρώτα.

Λοιπόν, πρέπει να μετακινηθούμε -2, οπότε αυτή είναι η κάθετη μετακίνηση.

Οπότε η κάθετη μετακίνηση ισούται με -2.

Διότι πρέπει να κατέβουμε 2 για να φτάσουμε στην ίδια τιμή του y

σε αυτό το κίτρινο σημείο.

Και μετά πρέπει να μετακινηθούμε οριζόντια εδώ.

Πρέπει να τρέξουμε δηλαδή +3 μονάδες.

Οπότε, η κάθετη μετακίνηση, διαιρεμένη με την οριζόντια μετακίνηση μας κάνει -2/3.

Λοιπόν, πως θα το κάναμε αυτό αν δεν είχαμε αυτό το ωραίο γράφημα

για να σχεδιάσουμε πάνω του;

Αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι, να πάρουμε ας πούμε

αυτό το σημείο ως το αρχικό μας σημείο.

Η αλλαγή στο y, η αλλαγή στη τιμή του y, προς την αλλαγή στη τιμή του x, ισούται με...

πέρνουμε το πρώτο σημείο y, που είναι το 3.

Και αφαιρούμε το δεύτερο σημείο y, το οποίο

είναι 1. Το βλέπετε αυτό;

Μόλις αφαίρεσαμε από το 3 το 1.

Οπότε αυτή είναι η αλλαγή στις τιμές του y στον αριθμητή, και πέρνουμε το πρώτο σημείο x.

Μείων 1, μείων το δεύτερο σημείο x, μείων 2,

έτσι 3 μείων 1 μας κάνει 2.

Και μείων 1 μείων 2 ισούται με μείων 3.

Οπότε, είναι το ίδιο πράγμα.

Βγάλαμε 2 προς 3.

Τώρα θα μπορούσαμε να το είχαμε κάνει με τον άλλο τρόπο.

Και έχω μείνει χωρίς χώρο εδώ πέρα.

Αλλά θα μπορύσαμε να είχαμε κάνει αυτό το πρώτο σημείο.

Αν βάζαμε αυτό εδώ ως πρώτο σημείο, τότε η αλλαγή στο y

θα ήταν -- ήθελα να το κάνω αρκετά ακατάστατο, έτσι ώστε

να σας μπερδέψω.

Η αλλαγή στο y θα ήταν αυτό το y.

1 μείων 3 προς την αλλαγή στον x, θα ήταν 2, μείων το μείων 1.

Λοιπόν, 1 μείων 3 μας κάνει μείων 2.

Και 2 μείων -1 μας κάνει 3.

Έτσι, ακόμα μια φορά, βρήκαμε 2/3. Οπότε δεν έχει σημασία

με ποιο σημείο ξεκινάμε, αρκεί να χρησιμοποιήσουμε το y αυτής

της συντεταγμένης πρώτα, με το x

αυτής της συντεταγμένης.

Ας δούμε μερικά ακόμη προβλήματα.

Βασικά, θα κάνω μερικά έτσι για να δείτε την

αλγεβρική δουλειά πρώτα, χωρίς καν τη χρήση γραφημάτων.

113 00:05:22,45 --> 00:05:24,56 Έτσι, ας πούμε πως ήθελα να βρω τη κλίση μεταξύ

των σημείων (5, 2) και (3, 5).

Λοιπόν, ας πάρουμε αυτό σαν αρχικό σημείο.

Έτσι έχουμε, την αλλαγή στο y προς την αλλαγή στο x, ή αλλιώς, κάθετη προς οριζόντια αλλαγή, λοιπόν,

η αλλαγή στο y θα ήταν αυτό το 5.

5 μείων αυτό το 2.

Προς αυτό το 3 μείων αυτό το 5.

Και αυτό μας δίνει 3, αυτό είναι ένα 5, προς μείων 2.

Ισούται δηλαδή με -3/2.

Ας δοκιμάσουμε άλλο ένα.

Αυτή τη φορά θα δοκιμάσω να το χρωματίσω έτσι ώστε

να είναι πιο αυτονόητο.

Ας πούμε, το (1, 2).

Αυτό είναι το πρώτο μας σημείο.

Και μετά το δεύτερο σημείο είναι το (4, 3).

Έτσι, για άλλη μια φορά, λέμε πως η κλίση ισούται με την αλλαγή

του y προς την αλλαγή του x.

Έτσι, στo y.

Πέρνουμε το πρώτο y.

Ας αρχίσουμε από εδώ.

Και θα το ονομάσουμε y1.

Οπότε αυτό είναι 3 μείων το δεύτερο y, το οποίο είναι αυτό το 2.

Και μετά όλο αυτό προς, άλλη μια φορά, το πρώτο x.

To οποίο είναι 4, μείων το δεύτερο x, το οποίο είναι αυτό το 1.

Και αυτό ισούται με 3 μείων 2, που μας κάνει 1.

Και 4 μείων 1, που μας κάνει 3.

Οπότε η κλίση σε αυτό το παράδειγμα είναι 1/3.

Και θα μπορούσαμε να το είχαμε αναποδογυρίσει.

Θα μπορούσαμε να το είχαμε κάνει με άλλον τρόπο.

Θα μπορούσαμε να είχαμε πει, 2 μείων 3 προς 1 μείων 4.

Σε αυτή την περίπτωση θα είχαμε πάρει μείων

1 προς μείων 3.

Και, αυτό μας κάνει 1/3 πάλι.

Διότι τα αρνητικά αυτο-εξουδετερώνονται.

Οπότε θα σας αφήσω να σκεφτείτε γιατί αυτό και αυτό βγαίνουν

να είναι το ίδιο πράγμα.

Αλλά το σημαντικό είναι να κατανοήσετε πως, εάν χρησιμοποιήσουμε το

3 πρώτα, εάν χρησιμοποιήσουμε το 3 πρώτα για το y, πρέπει να

χρησιμοποιήσουμε το 4 πρώτα για το x.

Αυτό είναι ένα συχνό λάθος.

Και επίσης, πρέπει πάντα να είστε πολύ προσεκτικοί με τα αρνητικά

πρόσημα όταν κάνετε τέτοιου είδους προβλήματα.

Αλλά πιστευώ πως αυτό θα σας δώσει όση διαίσθηση χρειάζεστε για

να αρχίσετε να κάνετε τα προβλήματα με τη κλίση.

Στην επόμενη ενότητα, θα σας δείξω πως να βρίσκετε

το σημείο τομής του άξονα των y.

Διότι, όπως είπαμε πριν, η εξίσωση οποιασδήποτε ευθείας είναι

y ισούται με m επί x συν b (y = m*x + b).

Και θα σας το αναλύσω περισσότερο.

Όπου m είναι η κλίση της ευθείας,

Οπότε εάν ξέρετε ήδη τη κλίση μιας ευθείας.

Και εάν ξέρετε το σημείο τομής της ευθείας στον άξονα y, τότε γνωρίζετε

τα πάντα για μια ευθεία, και μπορείτε να γράψετε

την εξίσωση μιας ευθείας, και να βρείτε και άλλα σημεία

τα οποία βρίσκονται πάνω της.

Οπότε θα σας το δείξω αυτό σε μελλοντικές ενότητες.

Ελπίζω να μη σας μπέρδεψα πολύ.

Και δοκιμάστε μερικά από αυτά τα προβλήματα με κλίσεις.

Πρέπει να βρίσκεστε σε θέση να τα κάνετε.

Και ελπίζω να το διασκεδάσετε!