代数学: 傾き

「傾き」の解説プレゼンテーションにようこそ。

それでは始めましょう。

さて、ここに2つの点があるとしよう。

以前のプレゼンテーションで学んだのは、

直線は2つの点によって
定義される必要があるということです。

考えてみれば、そのとおりですね。

ここに2つの点があるとしよう。

そしてその2つの点を記録していきましょう。

1つの点は、あれ、なんで書けないんだろう。

時々言うことを聞かなくなるんだよね。

ああ、(黒地に)黒で書こうとしてたのか。

一つの点 (-1, 3) があるとしましょう。

どれどれ、

グラフのどこに描けばいいだろう？

これが (0, 0) です。

負の方向へ 1 進もう、ここが -1 です。

それから上に 3 進んでいこう。

1、2、3。

つまりここが 3 になる。

つまり、(-1, 3) はこの位置になる。

よし、これは1番目の点です。

2番目の点は別の色で描いていこう。

2番目の点は、(2, 1) です。

どこに描けばいいだろう。

数えていこう、1、2。

ここが 2 だ。次は 1 。

だからここが 1 になる。

したがって(2番目の)点はここに位置する。

2つの点をグラフに描くことができました。

ではその2点を結ぶ線を引いてみよう、

こんな感じに。

うまく描けるといいのだが。

点を通過させて。

どうでしょう。

ちゃんとやって見せますよ。

じゃあここから線を続けてみよう。

この方法ならうまくいくかも。

こんな感じに。

さて、直線に注目してみよう。

このプレゼンテーションで行いたいのは、
「傾き」の理解です。

役立ってくれればと思います。

傾きのとらえ方には二つの方法があります。

直感的にわかるのは、傾きとは

この直線の傾斜であるということです。

またすでにお分かりのように、

右下がりに傾斜した直線です。

なぜなら、直線が左上から
右下に引かれているからです。

つまり、(直線の)傾きは負の数になります。

このことはすぐに分かるでしょう。

そして、どのように私達が
傾きを理解しているのかを

理解していきましょう。

傾き(slope)、書いておきましょう、
slope、と、そしてたびたび

傾きを表す変数として m を使います。
なぜなのかはわかりません。

そもそも、m は傾き(slope)の
略語にはなっていません。

この傾きが、ある一組のものと等しくなります。

聞いたことがあるかも。

y 方向の変化量を、
x 方向の変化量で割ったもの。

ギリシャ語でデルタと発音するこの三角形は

変化量を表します。

y 方向の変化量を、
x 方向の変化量で割ったもの。

またこれは、垂直移動分を水平移動分で割ったもの
(rise over run)と同じになります。

これが意味することを説明しましょう。

これらの点の一方から始めましょう。

この緑の点、(-1, 3) から始めましょう。

どれだけ垂直に(rise)
また水平に(run)移動するのか。

2番目の点、(2, 1) に向かうのに。

垂直移動分からはじめましょう。

-2移動しないといけない、
これが垂直移動分になります。

だから、垂直移動分は -2 になります。

なぜなら、同じy座標の位置に行くには
2 下降しないといけない

この黄色い点に対して。

それから水平移動分についてやってみましょう。

+3 だけ水平移動しないといけません。

したがって、垂直移動分を水平移動分で
割ると -2/3 になります。

では、このような立派なグラフを
持っていないときはどうすればよいか。

ここで実際にグラフを描いてみる？

さて、ここでやりたいことは、
この点を使ってみよう、

出発点として。

y方向の変化量を、
x方向の変化量で割ったものを計算しよう、

一番目の点の y 座標の値、ここでは 3 になる。

それから二番目の点のy座標の値を引こう。

(値は) 1 です。見えるかな。

3 から 1 を引いた。

これが y の変化量、
そして一番目の点の x 座標の値は、

-1。そして二番目の点の x 座標の値を引こう、-2。

3 引く 1 は 2。

-1 引く -2 は -3 に等しい。

したがって、同じになった。

-2/3 を得られた。

このように別の方法で計算することができた。

書くところがなくなってしまった。

しかし、今度はこちらを
一番目の点にしてやってみよう。

もしこれを一番目の点にすると、
y 方向の変化量は

……すごく混みいってきた

混乱してきたね。

y 方向の変化量は、

1 引く 3 、
そして x 方向の変化量は 2 引く -1。

1 引く 3 は -2。

そして 2 引く -1 は 3 になる。

これで再び -2/3 を得られた、
このようにどちらの点から

始めてもかまわない、
以下の方法に従うかぎりは。

一番目の点の座標の y を最初に使い、

一番目の点の座標の x を最初に使う。

さらに問題を解いてみよう。

実際には、二問解いてみよう、

ただしグラフを使わずに代数をやってみるよ。

次の二点の間の傾きを
求めてみましょう。

(5, 2) と (3, 5)。

さて、出発点としてこの点を使おう。

したがって、「y方向の変化量/x方向の変化量」、
「垂直移動分/水平移動分」は

y 方向の変化量の計算は、
この 5 から始める。

5 引く 2。

割ることの、3 引く 5。

(分子は) 3 になり、
これは 5 ですね、割ることの、-2。

-3/2 に等しい。

もう一つやってみよう。

今度は色を変えてやってみよう、

もっとわかりやすいように。

これが (1, 2)。

一番目の点です。

そして二番目の点は (4, 3)。

もう一度繰り返すと、傾きとは

y 方向の変化量を、
x 方向の変化量で割ったもの。

さて、y は。

この y 座標から始めよう。

ここから始めるよ。

そして、これを y1 と呼ぶ。

3 引く、 ニ番目の y は、2。

そして割ることの、繰り返すよ、
一番目の x から。

4 引く、二番目の x は、1。

3 引く 2 は 1。

4 引く 1 は 3。

つまりこの例での傾きは 1/3 になる。

では実際に順番を入れ替えてみよう。

入れ替えても同じ結果になるかやってみよう。

2 引く 3 、割ることの、 1 引く 4。

この場合、-1、

割ることの、-3。

よし、また 1/3 に等しくなった。

なぜなら負が打ち消しあうからね。

ぜひ考えてみてください、なぜこれとこれが

同じになるのか。

しかし、重要なことは、
もしこちらの点の 3 を最初に使ったら、

もしこちらの点の 3 を y として
最初に使ったら、

最初の x にはこちらの
4 を使わないといけない。

ここは間違いやすいところです。

さらに、これには充分に注意して下さい。

負の記号を扱う種類の問題については。

しかし少なくとも
ある程度は提供できたとと思います。

傾きの問題に取り組める判断力を。

次回は、次の事について解説しようと思います。

y 切片について。

なぜなら、あらゆる直線は方程式を持っています。

y = m x + b。

よく詳しく説明すると、

ここでは m は傾きを表します。

直線の傾きがわかっているとき、

また、直線の y 切片がわかっているとき、

直線の理解について必要なこと
すべてを知ることになります。

そして直線の方程式を表現し、

直線上の点について知ることができます。

今後の解説でそれらをやっていきましょう。

わかりにくい所はなかったでしょうか。

傾きについて色々と挑戦してみてください。

あなたならできると思います。

楽しんでいただければ幸いです。