Algebra: Nachylenie prostej

Witam na prezentacji dotyczącej nachylenia prostej

Gotowi? To zaczynamy.

Powiedzmy, że mam dwa punkty

I jak mówiłem w poprzedniej prezentacji,

to wystarczy, żeby narysować linie prostą.

To chyba jest oczywiste.

Powiedzmy, że mamy dwa punkty

Zapiszę jakie to są dwa punkty

Pierwszy punkt... dlaczego to nie chce pisać?

Czasami to urządzenie jest zawodne.

Aha, to dlatego, że miałem wybrany czarny kolor.

Ok. Powiedzmy, że pierwszy punkt ma współrzędne minus 1,3
(-1,3)..

Zobaczmy.

Gdzie narysujemy ten punkt?

Tu jest punkt (0,0)

Tu będzie minus 1.

A my chcemy przesunąć się o 3 do góry.

1,2,3.

Ponieważ 3 będzie właśnie tutaj.

A więc punkt minus 1, plus 3 będzie w tym miejscu.

To jest nasz pierwszy punkt.

Drugi punkt, narysuję go innym kolorem.

Drugi punkt ma współrzędne 2,1.

Zobaczmy, gdzie to trzeba umieścić.

Liczymy 1,2.

To jest 2,1 (2.1).

Ponieważ tu jest 1.

A więc ten punkt będzie w tym miejscu.

Narysowaliśmy dwa punkty.

A teraz narysujemy linię, która je łączy, to będzie wyglądać

mniej więcej w ten sposób.

Mam nadzieję, że potrafię ją narysować.

Przez ten punkt.

Właśnie tak.

A teraz...

A teraz stąd ją przedłużę.

To jest prawdopodobnie najlepsza metoda.

Mniej więcej w ten sposób.

Przyjrzyjmy się tej linii prostej.

W tym wideo chce pokazać Wam jak obliczyć nachylenie tej prostej.

Zapiszę to tutaj, mam nadzieję że pomogę Wam zrozumieć o co chodzi.

Nachylenie prostej można rozumieć na kilka sposobów.

Myślę, że intuicyjnie czujecie, że nachylenie to po prostu

pochyłość tej linii.

Widać, że ta linia

opada w dół.

Ponieważ narysowaliśmy ją od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu.

A więc jej nachylenie będzie liczbą ujemną.

To można natychmiast wywnioskować z rysunku.

Naszym zadaniem jest obliczenie - i właśnie to teraz zrobimy -

obliczenie tego nachylenia.

A więc nachylenie, zapiszę to, nachylenie - często

używa się litery m dla oznaczenia nachylenia, nie wiem dlaczego właśnie tak.

Przecież m nie przypomina nachylenia, które zaczyna się od n.

A więc m równa się - i tu jest kilka definicji,

które mogły Ci się już obić o uszy.

Zmiana w y podzielić przez zmianę w x.

Ten trójkąt, który nazywa się delta, jest to grecka litera,

oznacza zmianę.

Zmiana w y podzielić przez zmianę w x.

Ale to równa się także "przyrost" podzielić przez "przesunięcie".

Zaraz wytłumaczę, co to wszystko oznacza.

Przenieśmy się do jednego z tych punktów.

Przenieśmy się do tego zielonego punktu, minus 1 i 3 (-1,3)

O ile musimy "przyrosnąć" i na ile musimy się "zmienić", aby

przenieść się do drugiego punktu (2,1).

Najpierw zajmijmy się przyrostem.

Mamy dotrzeć do minus 2, a więc to jest przyrost.

Przyrost wynosi minus 2.

Musimy obniżyć się o 2, żeby dotrzeć do współrzędnej y

tego żółtego punktu.

A przesunąć musimy się tutaj.

Musimy się przesunąć o 3.

A więc przyrost podzielony przez przesunięcie równa się minus 2 podzielić przez 3.

A jak można to obliczyć, nie patrząc na ten ładny rysunek

i nie wyciągając z niego wniosków?

To, co możemy zrobić, to powiedzieć, ok, startujemy

z tego punktu.

Zmiana w y, zmiana w y, podzielić przez zmianę w x jest równe

weźmy współrzędną y pierwszego punktu, czyli 3.

I odejmijmy współrzędną y drugiego punktu, czyli

1, widzicie?

Po prostu 3 minus 1.

I to jest zmiana współrzędnej y, a teraz weźmy współrzędną x pierwszego punktu.

Minus 1, minus współrzędna x drugiego punktu, minus

2, czyli 3 minus 1 jest 2.

A minus 1 minus 2 równa się minus 3.

Widzicie, wyszło to samo.

Otrzymaliśmy minus 2 podzielić przez 3.

Można to obliczyć jeszcze inaczej.

Nie mam już miejsca tutaj.

Ale możemy także wziąć to jako pierwszy punkt.

Jeśli weźmiemy ten punkt jako pierwszy, to zmiana w y

będzie równa - zrobię jeszcze więcej bałaganu,

żeby Was kompletnie zmylić.

Zmiana w y to będzie ten y.

1 minus 3 podzielić przez zmianę w x, czyli 2 minus minus 1.

1 minus 3 wynosi minus 2.

A 2 minus minus 1 równa się 3.

Znowu dostaliśmy to samo nachylenie, równe 2/3, a więc nie ma znaczenia

który punkt wybierzemy jako pierwszy, o ile tylko jeśli jako pierwszą współrzędną y wybierzemy współrzędną tego punktu, to

jako pierwsze x musimy także wybrać współrzędną x tego

samego punktu.

Zróbmy teraz kilka przykładów.

Chcę zrobić kilka przykładów, żebyście zobaczyli

jak działa algebra nawet jeśli nie rysujemy prostej.

Powiedzmy że chcę obliczyć nachylenie prostej przechodzącej

przez punkty (5,2) i (3,5).

Weźmy ten punkt jako początkowy.

A więc zmiana w y podzielić przez zmianę w x, albo przyrost podzielony przez przesunięcie,będzie

zmiana w y to będzie to 5.

To 5 minus to 2.

Podzielić przez to 3 minus to 5.

Tu wyjdzie 3, to jest pięć, więc tu wyjdzie minus 2.

Równa się minus 3/2.

Jeszcze jeden przykład.

Tym razem użyję kolorów, żeby łatwiej było

zrozumieć jak to działa.

Powiedzmy, mamy (1,2).

To jest nasz pierwszy punkt.

A drugi punkt będzie (4.3).

Tak jak poprzednio, nachylenie równa się zmiana w y

podzielona przez zmianę w x.

W y.

Bierzemy pierwszy y.

Zacznijmy tutaj.

Nazwijmy to y1.

To będzie 3 minus drugi y, który jest równy 2.

I to podzielić, tak jak poprzednio, przez pierwszy x.

Który równa się 4, minus drugi x, który równa się 1.

3 minus 2 równa się 1.

4 minus 1 równa się 3.

W więc nachylenie prostej w tym przykładzie wynosi 1/3.

Mogliśmy to też zrobić od drugiej strony.

Obliczyć to samo w innym kierunku.

Mogliśmy obliczyć 2 minus 3 podzielić na 1 minus 4.

W tym wypadku będą liczby ujemne.

Minus 1 podzielić przez minus 3.

Ale to także równa się 1/3.

Ponieważ minusy się upraszczają.

Zastanówcie się teraz sami, dlaczego i jedną i drugą

metodą otrzymujemy ten sam wynik.

Ale najważniejsze to żeby zrozumieć, że jeśli bierzemy 3 jako pierwszą liczbę,

jeśli 3 to jest pierwsza współrzędna y, to musimy wziąć

także 4 jako pierwszą współrzędną x.

W tym miejscu łatwo jest popełnić błąd.

Poza tym, musicie bardzo uważać na znaki minus

w tego typu zadaniach.

Mam nadzieję, że to co powiedziałem pozwoliło wam zrozumieć

obliczanie nachylenia na tyle, że możecie teraz sami rozwiązywać ćwiczenia.

A ja pokaże wam w następnych filmach jak

obliczyć punkt przecięcia prostej.

Ponieważ, jak pamiętacie, równanie każdej prostej ma

formę y równa się m razy x plus b.

Wytłumaczę Wam to dokładnie.

m jest nachyleniem prostej.

Więc jeśli znacie nachylenie prostej.

I znacie punkt przecięcia z osią y, wiecie wszystko co

potrzeba aby określić prostą i możecie

napisać jej równanie a także obliczyć wszystkie punkty,

które leżą na tej prostej.

O tym opowiem Wam w następnych filmach.

Mam nadzieję, że nie wprowadziłem za dużo zamieszania.

A teraz poćwiczcie sami.

Powinniście umieć zrobić zadania z nachylenia prostej.

I mam nadzieję, że sprawi Wam to przyjemność.

Do zobaczenia w następnym filmie.