Wat is er zo sexy aan wiskunde?

Verborgen waarheden doordringen onze wereld. Ze zijn ontoegankelijk voor onze zintuigen, maar de wiskunde stelt ons in staat verder te gaan dan onze intuïtie om hun geheimen te onthullen. In dit overzicht van wiskundige doorbraken spreekt Fieldsmedaillewinnaar Cédric Villani over de sensatie van het ontdekken en vertelt hij over het soms verbijsterende leven van een wiskundige. "Mooie wiskundige verklaringen zijn er niet alleen voor ons plezier," zegt hij, "ze veranderen onze kijk op de wereld."

Waarin zijn de Fransen
beter dan alle anderen?

Bij een rondvraag

zouden de meesten
misschien antwoorden:

liefde, wijn en klagen.

(Gelach)

Misschien.

Ik stel een vierde voor:

wiskunde.

Wist je dat er in Parijs
meer wiskundigen wonen dan

in enige andere stad ter wereld?

En er zijn ook meer straten
genoemd naar wiskundigen.

Als je de statistieken
van de Fieldsmedaille bekijkt,

-- soms de Nobelprijs
voor wiskunde genoemd

en altijd toegekend aan
wiskundigen jonger dan 40 --

zal je zien dat Frankrijk meer
Fieldswinnaars per inwoner telt

dan enig ander land.

Wat vinden we nu zo sexy aan wiskunde?

Het lijkt zo saai en abstract,

altijd maar cijfers,
berekeningen, regeltjes...

Wiskunde is misschien abstract,

maar het is niet saai

en het gaat niet om rekenen.

Het gaat om redeneren

en je kernactiviteit bewijzen.

Het gaat om verbeelding,

ons meest geprezen talent.

Het gaat om het vinden van de waarheid.

Niets is te vergelijken met het gevoel

als je na maanden hard nadenken

eindelijk de juiste redenering vindt
om je probleem op te lossen.

De grote wiskundige André Weil
vergeleek dit --

ik lach niet --

met seksueel plezier,

maar merkte op dat dit gevoel
uren, zelfs dagen, kan aanhouden.

De beloning kan groot zijn.

Verborgen wiskundige waarheden
doordrenken onze hele fysische wereld.

Ze zijn ontoegankelijk
voor onze zintuigen,

maar waarneembaar
door wiskundige lenzen.

Sluit even je ogen

en denk aan wat er rondom je gebeurt.

Onzichtbare deeltjes in de lucht
rondom je bombarderen je,

miljarden en miljarden
per seconde,

in een volledige chaos.

En toch kan hun statistiek

nauwkeurig worden voorspeld
door de wiskundige fysica.

Open nu jullie ogen

voor de statistiek van de snelheden
van deze deeltjes.

De beroemde klokvormige Gausscurve

of Foutenwet --

van afwijkingen ten opzichte van
het gemiddeld gedrag.

Deze curve vertelt je iets

over de statistische
verdeling van deeltjessnelheden

net zoals een demografische curve

de statische verdeling van de ouderdom
van individuen aantoont.

Het is een van de
belangrijkste curves ooit.

Ze duikt overal weer op

in vele theorieën en experimenten

als een schitterend voorbeeld
voor de universaliteit

waar wij wiskundigen zo van houden.

Over deze curve

zei de beroemde wiskundige Francis Galton:

"De Grieken zouden ze vergoddelijkt
hebben, mochten ze ervan geweten hebben.

Het is de opperste wet van willekeur."

En er bestaat geen betere manier
dan Galtons Bord

om deze opperste godin te materialiseren.

In de bord zitten nauwe doorgangen

waardoor kleine balletjes
willekeurig omlaag vallen,

naar rechts of links, of naar links, enz.

Allemaal volledig willekeurig
en chaotisch.

Kijk wat er gebeurt
met deze willekeurige bewegingen.

(Schudt het bord)

Een beetje sport.

We moeten wat files bijsturen.

Aha.

We denken dat toeval
mij hier voor schut zet.

Ziezo.

Onze opperste godin van de onrede:

de Gausscurve,

gevangen in deze doorzichtige doos
net als Dream in 'The Sandman'-strip.

Aan jullie heb ik het laten zien,

maar aan mijn studenten leg ik uit waarom
het geen andere curve kan zijn.

En dit is het mysterie
van die godin:

een mooi toeval wordt vervangen
door een mooie uitleg.

Alle wetenschap zit zo in elkaar.

Mooie wiskundige verklaringen
zijn er niet alleen voor ons plezier.

Ze veranderen ook onze kijk op de wereld.

Bijvoorbeeld,

Einstein,

Perrin

en Smoluchowski

gebruikten de wiskundige analyse
van willekeurige banen

en de Gausscurve

om uit te leggen en aan te tonen
dat onze wereld opgebouwd is uit atomen.

Het was niet de eerste keer

dat de wiskunde ons wereldbeeld
op zijn kop zette.

Meer dan 2000 jaar geleden,

in de tijd van de Oude Grieken,

gebeurde het ook al eens.

Toentertijd

was slechts een klein deel
van onze wereld bekend

en de aarde kon wel
oneindig groot hebben geleken.

Maar slimme Eratosthenes

kon door middel van wiskunde

de aarde meten met een verbazende
nauwkeurigheid van twee percent.

Nog een voorbeeld.

In 1673 merkte Jean Richer op

dat een slinger in Cayenne een beetje
trager slingerde dan in Parijs.

Alleen uit deze waarneming
en door slimme wiskunde

leidde Newton terecht af

dat de aarde aan de polen
een ietsje afgeplat is,

zowat 0,3% --

zo weinig dat je het niet eens kan zien

als je de aarde
van op een afstand bekijkt.

Deze verhalen laten zien dat de wiskunde

ons tegen onze intuïtie in
de aarde kan laten meten

ook al lijkt ze oneindig,

ons onzichtbare atomen kan laten zien

of een onwaarneembare vormafwijking
kan laten waarnemen.

Als er iets is dat je
van deze talk moet onthouden,

dan is het dit:

door wiskunde kunnen we
onze intuïtie overstijgen

en ontoegankelijke gebieden onderzoeken.

Hier een modern voorbeeld
waar je wat aan hebt:

zoeken op het internet.

Het wereldwijde web,

met meer dan één miljard webpagina's --

wil je ze allemaal overlopen?

Computervermogen helpt,

maar zou nutteloos zijn
zonder wiskundige modellen

om de informatie te vinden
die in de data verborgen is.

Laten we aan een klein vraagstuk werken.

Stel dat je een detective bent
die een misdaad moet oplossen

en er vele mensen zijn
met hun eigen versie van de feiten.

Wie ga je het eerst ondervragen?

Redelijk antwoord:

de primaire getuigen.

Maar,

veronderstel dat persoon nummer zeven

je een verhaal vertelt,

maar als je hem vraagt
van wie hij het had,

wijst hij nummer drie als bron aan.

En op zijn beurt wijst nummer drie

nummer één aan als primaire bron.

Dus is nummer één een primaire getuige

en ga ik hem het eerst ondervragen.

Maar uit de grafiek blijkt

dat ook nummer vier
een primaire getuige is.

Misschien wil ik hem wel
het eerst ondervragen

omdat meer mensen naar hem verwijzen.

Oké, dat was gemakkelijk.

Maar wat als een heleboel mensen
getuigenis moeten afleggen?

Deze grafiek kan je zien

als alle mensen die in een ingewikkelde
zaak moeten getuigen,

maar het kunnen evengoed webpaginas zijn
die naar elkaar verwijzen,

naar elkaar refereren voor inhoud.

Welke hebben het meeste gezag?

Niet zo duidelijk.

Nu komt PageRank op de proppen,

een van de vroege hoekstenen van Google.

Dit algoritme gebruikt de wetten
van wiskundig toeval

om automatisch uit te maken
welke webpaginas het meest relevant zijn

op dezelfde manier als dat we toeval
gebruikten bij het Galtonbord.

We sturen door deze grafiek

een hoop kleine, digitale knikkers

en laten ze willekeurig
door de grafiek banjeren.

Telkens ze ergens aankomen,

gaan ze door een willekeurige verbinding
naar een volgende,

en opnieuw, opnieuw en opnieuw.

Met kleine aangroeiende stapeltjes

houden we bij hoe vaak
een bepaalde plek werd bezocht

door deze digitale knikkers.

Daar gaan we.

Willekeur, willekeur.

Af en toe

maken we deze sprongen helemaal
willekeurig voor de lol.

En kijk:

uit de chaos komt
de oplossing tevoorschijn.

De hoogste stapels komen
overeen met de plekken

die op de een of andere manier
beter verbonden zijn dan de andere,

die waarnaar vaker wordt verwezen.

En zo zien we duidelijk

welke webpagina's
onze voorkeur krijgen.

Opnieuw

komt de oplossing
tevoorschijn uit willekeur.

Natuurlijk gebruikt Google

nu meer gesofistikeerde algoritmen,

maar deze deed het ook al goed.

En toch is dat

maar één voorbeeld uit een miljoen.

Met de komst van het digitale tijdperk

lenen steeds meer problemen
zich voor een wiskundige analyse

waardoor het beroep van wiskundige
steeds maar nuttiger wordt,

zelfs in die mate
dat het een paar jaar geleden

op de eerste plaats stond
tussen honderden beroepen

in een studie over de beste
en de slechtste beroepen

die in 2009 werd gepubliceerd
in de Wall Street Journal.

Wiskundige --

beste beroep ter wereld.

Door de toepassingen ervan:

communicatietheorie,

informatietheorie,

speltheorie,

compressed sensing,

machinaal leren,

grafiekanalyse,

harmonische analyse.

En waarom geen stochastische processen,

lineair programmeren

of vloeistofsimulatie?

Elk van deze velden kent
enorme industriële toepassingen.

Daardoor is er

veel geld te verdienen met wiskunde.

Ik geef toe dat

wanneer het erop aankomt om
geld te verdienen met wiskunde

de Amerikanen veruit
wereldkampioen zijn

met slimme, emblematische miljardairs
en verbazende, reusachtige bedrijven

die uiteindelijk allemaal
berusten op goede algoritmen.

Door al deze schoonheid,
nuttigheid en weelde

ziet de wiskunde er meer sexy uit.

Maar denk maar niet

dat het leven van een wiskundig
onderzoeker gemakkelijk is.

Het is doordrenkt met verbijstering,

frustratie,

een wanhopig gevecht om te begrijpen.

Laat me voor jullie

een van de frappantste dagen
van mijn bestaan als wiskundige oproepen.

Of beter,

een van de frappantste nachten.

Ik verbleef toen

aan het Institute
for Advanced Studies in Princeton --

vele jaren lang
de thuis van Albert Einstein

en bovenal het heiligdom
van het wiskundig onderzoek.

Die nacht werkte ik constant
aan een ongrijpbaar bewijs

dat onvolledig was.

Het ging over het begrijpen

van de paradoxale stabiliteit
van plasma's,

die bestaan uit een menigte elektronen.

In een perfecte plasmawereld

zijn er geen botsingen

en geen wrijving die zorgen voor
de stabiliteit waaraan we gewend zijn.

Maar toch,

als je een plasma-evenwicht wat verstoort,

zal je merken dat het resulterende
elektrische veld

spontaan verdwijnt

of uitdempt,

als door een mysterieuze wrijvingskracht.

Dit paradoxale effect

heet Landaudemping

en is een van de belangrijkste effecten
in de plasmafysica.

Het werd ontdekt door wiskundig redeneren.

Maar toch

ontbrak nog een volledig wiskundig
begrip van dit fenomeen.

Samen met mijn vroegere student
en hoofdmedewerker Clément Mouhot

had ik indertijd in Parijs
maanden en maanden gewerkt aan dit bewijs.

In feite

had ik al voorbarig aangekondigd
dat we het konden oplossen.

Maar het bleek

dat het bewijs niet deugdelijk was.

Ondanks meer dan 100 pagina's
ingewikkelde, wiskundige argumenten

en een hoop ontdekkingen

en enorm veel rekenwerk

deugde het bewijs niet.

Die nacht in Princeton

bleef een leemte in de keten
van argumenten mij parten spelen.

Ik stak er al mijn energie,
ervaring en truken in

en toch werkte het niet.

1 uur 's ochtends, 2 uur, 3 uur,

niets.

Rond 4 uur ging ik ontmoedigd naar bed.

Een paar uur later

stond ik op:

"Ah, tijd om de kinderen
naar school te brengen --"

Wat?

Ik zweer dat een stem in mijn hoofd zei:

"Breng de tweede term over
naar de andere kant,

doe een Fourier transformatie
en inverteer in L2."

(Gelach)

En verdorie,

daarmee begon de oplossing!

Je ziet

dat ik dacht dat ik wat rust had genomen,

maar mijn brein was blijven doorwerken.

Op zo'n momenten

denk je niet aan je carrière
of aan je collega's.

Het gaat dan om het gevecht
tussen het vraagstuk en jezelf.

Dat gezegd zijnde

is het natuurlijk altijd meegenomen dat
je een promotie krijgt voor je harde werk.

Nadat we onze enorme analyse
van de Landaudemping hadden voltooid,

had ik het geluk

de zo begeerde Fieldsmedaille
te ontvangen

uit handen van de Indiase president

in Hyderabad op 19 augustus 2010 --

een eer waar wiskundigen
niet over durven te dromen,

een dag die ik nooit zal vergeten.

Waaraan denk je

op zo'n ogenblik?

Trots, ja?

En dankbaarheid voor mijn medewerkers
die dit mogelijk maakten.

En omdat het een gezamenlijk avontuur was,

moet je het delen,
en niet alleen met je medewerkers.

Ik geloof dat iedereen de opwinding van
wiskundig onderzoek kan appreciëren

en deelhebben aan de gepassioneerde
verhalen van mensen en ideeën erachter.

Ik werk met mijn staf
aan het Henri Poincaré-instituut

samen met partners en kunstenaars
in wiskundecommunicatie van overal

om ons zeer speciale
wiskundige museum te stichten.

Kom over enkele jaren,

als je Parijs bezoekt,

na van een geweldige, krokante
baguette en macaron te hebben genoten,

ook eens binnen
in het Institut Henri Poincaré

en deel onze wiskundige droom.

Bedankt.

(Applaus)