Least common multiple exercise: 3 numbers | Factors and multiples | Pre-Algebra | Khan Academy

This least common multiple example gives us 3 numbers from which to find the lcm. This is a challenge, but fun. Do it with us!

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Welches ist das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz KGV, von 15, 6 und 10?

Das kleinste gemeinsame Vielfache ist genau, wie das Wort schon sagt: das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen.

ich weiß, dass das vielleicht noch keine große Hilfe war. Aber wir arbeiten uns durch dieses Problem.

Lass uns dafür verschiedene Vielfache von 15, 6 und 10 betrachten

und dann das kleinste Vielfache finden, das sie gemeinsam haben.

Lass uns die Vielfachen von 15 finden. Da sind: 1 mal 15 ist 15, 2 mal 15 ist 30,

dann, wenn du wieder 15 dazu zählst, erhältst du 45, mit weiteren 15 sind das 60 und mit weiteren 15 bekommst du 75

weitere 15 später bekommst du 90 und mit weiteren 15 erhältst du 105

und wenn du dann immer noch kein gemeinsames Vielfaches mit den anderen beiden Zahlen hast

musst du eventuell noch weiterrechnen, aber ich werde hier erstmal aufhören.

Das sind die Vielfachen von 15 bis zu 105. Offensichtlich machen wir mit den anderen weiter. Lass uns die Vielfachen von 6 notieren.

Die Vielfachen sind: 1 mal 6 ist 6, 2 mal 6 ist 12, 3 mal 6 ist 18, 4 mal 6 ist 24,

5 mal 6 ist 30, 6 mal 6 ist 36, 7 mal 6 ist 42, 8 mal 6 ist 48,

9 mal 6 ist 54, 10 mal 6 ist 60. 60 ist für uns schon interessant, da es ein gemeinsames Vielfaches von 15 und 6 ist. Außerdem haben wir zwei gemeinsame Vielfache.

Wir haben 30 und 30 und wir haben 60 und 60. Das kgV...

... wenn wir uns nur um das kleinste gemeinsame Vielfache von 15 und 6 kümmern würden, würden wir sagen...

... ist 30. Wir notieren das als Zwischenergebnis: das kgV von 15 und 6. Also sehen wir das kleinste gemeinsame Vielfache,

das kleinste Vielfache, dass sie beide besitzen, hier drüben. 15 mal 2 ist 30 und 6 mal 5 ist 30.

Das ist also definitiv ein gemeinsames Vielfaches und es ist das kleinste von allen ihren kgVs.

60 ist auch ein gemeinsames Vielfaches, aber es ist größer. Dieses ist das kleinste gemeinsame Vielfache. Es ist also 30.

Bisher haben wir noch nicht an die 10 gedacht. Also lass uns die 10 einsetzen. ich denke du siehst, wohin das führt.

Lass uns die Vielfachen von 10 aufstellen. Sie sind 10, 20, 30, 40,... Wir haben schon genug, denn wir sind schon bis zur 30 gekommen

und 30 ist ein gemeinsames Vielfaches von 15 und 6 und es ist das kleinste gemeinsame Vielfache von allen dreien.

Es ist also eine Tatsache, dass das kgV von 15, 6 und 10 gleich 30 ist

Das ist ein Weg das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden. Einfach die Vielfachen der Zahlen aufschreiben und vergleichen...

... und dann das kleinste Vielfache, das alle gemeinsam haben, ablesen.

Ein anderer Weg ist, sich die Primfaktorzerlegung jeder dieser Zahlen anzusehen

und das kgV ist die Zahl, die alle Elemente der Primfaktorzerlegung enthält, aber keine weiteren.

Ich zeige dir, was ich damit meine. Du kannst das auf diesen Weg machen oder du kannst sagen, dass 15

dass 15 das gleiche ist wie 3 mal 5. Und das war 's. Das ist die Primfaktorzerlegung. 15 ist 3 mal 5, da sowohl 3 als auch 5 Primzahlen sind.

Man kann sagen, dass 6 das gleiche ist wie 2 mal 3. Das ist die Primfaktorzerlegung, da sowohl 2 als auch 3 Primzahlen sind.

Und dann können wir auch sagen, dass 10 das gleiche ist wie 2 mal 5. Beide, 2 und 5, sind Primzahlen, also sind wir fertig mit dem Zerlegen.

Das kgV von 15, 6 und 10 braucht also nur alle diese Primfaktoren

Was ich meine ist... um durch 15 teilbar zu sein,

muss die Primfaktorzerlegung der Zahl mindestens eine 3 und eine 5 enthalten. Es braucht also eine 3 und mindestens eine 5.

Dadurch, dass die Primfaktorzerlegung 3 mal 5 enthält, gehen wir sicher, dass die Zahl durch 15 teilbar ist.

Um durch 6 teilbar zu sein, muss die Primfaktorzerlegung mindestens eine 2 und eine 3 enthalten. Es braucht also mindestens eine 2 und wir haben hier schon eine 3, also haben wir, was wir brauchen.

Wir brauchen nur eine 3. Also eine 2 und eine 3. Hier ist 2 mal 3, also ist es durch 6 teilbar und hier ist die 15.

Und dann gehen wir sicher, dass wir unsere Zahl durch 10 teilen können, wir brauchen mindestens eine 2 und eine 5. Diese beiden hier, versichern uns, dass wir durch 10 teilen können.

Und somit haben wir alle. 2 x 3 x 5 hat alle Primfaktoren, von jeweils 10, 6 oder 15. Also ist es das kgV.

Wenn wir das ausmultiplizieren bekommen wir 2 x 3 ist 6, 6 x 5 ist 30.

Beide Wege gehen. Hoffentlich sind sie für dich nachvollziehbar und du siehst, warum sie Sinn ergeben.

Der zweite Weg ist etwas besser, wenn du versuchst, das für kompliziertere Zahlen zu machen....

Zahlen, bei denen du vielleicht wirklich lange multiplizieren müsstest.

Aber letztendlich sind beides mögliche Wege, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden.