Úvod do vlastností logaritmů

První dvě vlastnosti logaritmů.

Vítejte na prezentaci
o vlastnostech logaritmů.

Tato prezentace bude velice praktická.

Nevěříte-li, že některá vlastnost platí,
a chcete vidět její důkaz,

tak jsem udělal 3 nebo 4 videa,
která je dokazují.

V tomto videu je představím
a následně ukážu, jak je využít.

Budeme trochu praktičtější.

Zopakujme si, co je logaritmus.

Řekneme-li, že 'a'…
Ne, to je špatně.

Chci změnit…
Tak.

Řekněme, že mám
'a' na 'b' rovná se 'c'.

Jiný způsob, jak napsat to samé, je,
že místo mocniny použiji logaritmus.

Můžeme říct, že logaritmus
o základu 'a' z 'c' je roven 'b'.

Tyto zápisy říkají totéž,
jen každý směřuje k jinému výsledku.

V jednom znáte 'a' a 'b'
a dostanete 'c'.

To pro vás udělá mocnina.

V druhém znáte 'a' a víte,
že umocníte-li jej na nějaké číslo,

dostanete 'c'.

Pak zjistíte, kolik je 'b'.

Jsou to tedy stejné vztahy,
ale zapsány jinak.

Teď vám představím některé
zajímavé vlastnosti logaritmů.

Vlastně jsou důsledkem těchto vztahů
a obecných vztahů pro mocniny.

Prvním z nich je, že logaritmus…

Použiji veselejší barvu.

Logaritmus o libovolném základu,
například 'b'…

Logaritmus o základu 'b' z 'a'
plus logaritmus o základu 'b' z 'c'…

To platí pouze pro stejné základy,
to je důležité si zapamatovat.

…se rovná logaritmu
o základu 'b' z ('a' krát 'c').

Co to znamená
a jak toho lze využít?

Vyzkoušejme si to na příkladu.

Toto nám tedy říká…

Opět změním barvu,
tentokrát na fialovou.

To bude barva pro tento příklad.

Řekněme, že logaritmus o základu 2 z 8
plus logaritmus o základu 2 z 32.

Teoreticky, to by se mělo rovnat,
pokud věříme té vlastnosti,

logaritmu o základu 2 z čeho?

8 krát 32.

8 krát 32 je 240 plus 16, tedy 256.

Pojďme to ověřit,
zkoušíme jen nějaké číslo, není to důkaz.

Dá vám to trochu intuice ohledně toho,
co se vlastně děje.

Zrovna jsme použili tu naši vlastnost,
kterou jsem zrovna představil.

Vyzkoušejme, zda funguje.

Logaritmus o základu 2 z 8.

2 na kolikátou se rovná 8?

2 na třetí je rovno 8.

Tento výraz se tedy rovná 3.

Logaritmus o základu 2 z 8 se rovná 3.

2 na kolikátou se rovná 32?

Podívejme se,
'2 na čtvrtou' je 16.

'2 na pátou' je 32.

Toto zde je tedy 5, že?

2 na kolikátou se rovná 256?

Pokud jste vystudovali programování,
budete to vědět hned.

Protože 'byte' může mít 256 hodnot.

Takže to je 2 na 8.

Pokud to nevíte,
můžete si to vynásobit sami.

Je to 8.

Neříkám to proto, že 3 plus 5 je 8.

Říkám to nezávisle na tom.

Toto se tedy rovná 8.

Nicméně, 3 plus 5 se rovná 8.

Může vám to připadat jako zázrak,
nebo vám to připadá úplně jasné.

Ti z vás, kterým to přijde jasné,
si asi říkáte:

„No, (2 na třetí) krát (2 na pátou)
se rovná (2 na [3 plus 5]), že?“

Toto je pravidlo u mocnin.

Jak se tomu říká?

Sčítání mocnitelů…

Nevím jak se tomu říká.

To se rovná 2 na osmou.

To je přesně to, co jsme zde udělali.

Na této straně máme
(2 na třetí) krát (2 na pátou),

zatímco na této straně jsme je sečetli.

Co dělá logaritmy zajímavé,
a proč jsou ze začátku trošku matoucí…

Máme tu také videa s důkazy,
jestli chcete formální důkaz.

Chcete-li lepší vysvětlení,
jak to funguje.

Toto by vám mělo dát intuici,
proč ta vlastnost funguje.

Vynásobíte-li dvě čísla o stejném základu,
dvě mocniny o stejném základu,

můžete sečíst jejich mocnitele.

Podobně, máte-li logaritmus
součinu dvou čísel,

je to ekvivalentní součtu
logaritmů každého z těch čísel.

Je to ta stejná vlastnost.

Jestli mi nevěříte,
podívejte se na videa s důkazy.

Ukážu vám další vlastnost logaritmu.

Je to skoro ta stejná.

Beru je jako stejné.

Logaritmus o základu 'b' z 'a'
minus logaritmus o základu 'b' z 'c'

se rovná logaritmus o základu 'b' z…

Dochází mi místo.

…z ('a' lomeno 'c').

Můžeme to opět zkusit s nějakými čísly.

Často používám základ 2,
protože počítání mocnin je snadné.

Použijme jiné číslo.

Řekněme, že logaritmus o základu 3 z…

Ať je to zajímavé.

Logaritmus o základu 3 z (1 lomeno 9)
minus logaritmus o základu 3 z 81.

Tato vlastnost nám říká,
že to je rovno…

Ou, dostanu velké číslo.

…logaritmus o základu 3
z [(1 lomeno 9) děleno 81]

To je totéž jako
(1 lomeno 9) krát (1 lomeno 81).

Vymyslel jsem velká čísla,
ale to zvládneme.

Podívejme,
9 krát 8 je 720, že?

9 krát 1 je 9,

9 krát 8 je 720,

takže toto je 1 lomeno 729.

Tedy logaritmus o základu 3
z (1 lomeno 729).

3 na kolikátou se rovná 1 lomeno 9?

'3 na druhou' je 9.

Víme-li, že '3 na druhou' je 9,
tak '3 na -2' je (1 lomeno 9), že?

Záporná mocnina to obrátí.

Toto se tedy rovná -2.

3 na kolikátou se rovná 81?

'3 na třetí' se rovná 27,
takže '3 na čtvrtou' je 81.

Máme tedy -2 minus 4,
to se rovná…

Je více způsobů.

-2 minus 4 rovná se -6.

Teď už se jen stačí ujistit,
že '3 na -6' se rovná (1 lomeno 729).

Má otázka zní:
Je '3 na -6' rovno (1 lomeno 729)?

To je totéž jako říct,
že '3 na 6' se rovná 729,

protože záporný mocnitel to jen obrátí.

Mohli bychom to roznásobit,
ale mělo by to tak být.

'3 na třetí' krát '3 na třetí',
to je 27 krát 27.

To by mohlo být ono.

Jestli mi nevěříte,
můžete si to ověřit na kalkulačce.

Nicméně to je všechen čas pro toto video.

V dalším videu vám představím
zbylé dvě vlastnosti.

A pokud budeme mít čas,
stihneme i pár příkladů.

Brzy na viděnou.