Introduction aux propriétés des logarithmes

Introduction to the first two logarithm properties.

Bienvenue à cette présentation sur les propriétés des logarithmes.

Ce sera une présentation avec peu de théorie.

Si vous doutez de la véracité d'une de ces propriétés

et que vous voulez en avoir la preuve, j'ai fait trois ou quatre vidéos

qui démontrent ces propriétés,

et ensuite vous montre comment elles peuvent être utilisés.

Celle-ci abordera plus l'aspect pratique.

Alors on va commencer par revoir ce que c'est exactement un logarithme.

Voyons

Je veux changer de couleur... voilà

Disons que ...--laissez moi recommencer.

a puissance b est égal à c.

a puissance b est égal à c.

Une autre façon d'écrire cette relation au lieu

d'écrire un exposant, est d'écrire un logarithme.

Donc on peut dire que logarithme c en base de a

est égal à b.

Alors, ces deux formes démontrent essentiellement la même chose. Dans l'une, vous connaissez a et b et vous obtenez c.

C'est ce que permet les exposants.

Et avec la deuxième, vous connaissez a et vous savez que, lorsque

vous l'élevez à une puissance particulière vous obtenez c.

Et ensuite vous cherchez b.

Donc ils font la même chose, ils ont la même relation

mais c'est écrit d'une manière différente.

Maintenant je vais vous présenter quelques

propriétés intéressantes des logarithmes.

Et elles découlent tout naturellement de cette relation

et des règles des exposants.

Donc la première propriété est que le logarithme....

Prenons une couleur plus joyeuse.

Le logarithme, disons, en base quelconque -- Alors disons tout simplement

que la base, c'est b (comme base).

Logarithme de A en base B plus logarithme de C en base B

--et ceci fonctionne seulement si nous avons les mêmes bases.

C'est très important de se rappeler de ça.

C'est égal au logarithme de A multiplié par C en base B

Alors, qu'est-ce que ça veut dire, et comment peut-on l'utiliser?

Ou essayons déjà juste de l'essayer avec, hmm...

Disons, quelques exemples...

Je vais prendre une autre couleur.

Prenons mauve - mauve, je ne sais jamais

comment le prononcer correctement!

Ce sera la couleur pour cet exemple.

Alors disons que logarithme de 8 en base 2

plus le logarithme de ... disons 32, en base 2

Donc, en théorie, cela devrait être égal à... si nous croyons que cette propriété est juste...

cela doit être égal logarithme en base deux de quoi ?

Bien, 8 fois 32.

8 fois 32 (c'est 240 plus 16) est 256

On va vérifier si c'est vrai

en regardant ce coté gauche, ce ne sera pas vraiment une preuve

mais ça va vous donner un peu de raisonnement, je crois

pour comprendre ce qui se passe.

On va juste utiliser cette propriété,

la petite propriété que je vous ai présenté.

Et nous allons juste voir si ça fonctionne.

Alors log de 8 en base 2

quelle puissance de 2 est égale à 8 ?

Eh bien, 2 puissance 3 est égale à 8, non ?

Ce terme ici, c'est égal à 3, non ?

Log de 8 en base 2 est égal à 3.

Quelle puissance de 2 est égal à 32 ?

Voyons.

2 puissance 4 est 16.

2 puissance 5 est 32.

Donc ici, c'est 2 puissance 5, non ?

Et quelle puissance de 2 vaur 256?

Si vous étudiez l'informatique,

vous savez immédiatement

qu'un octet peut contenir deux cent cinquante-six valeurs.

Il est donc 2 puissance 8.

Mais vous pourriez multiplier par vous-même pour vérifier.

Mais ça c'est 8.

Et je ne dis pas ça juste parce que je savais que 3

plus 5 est égal à 8.

J'y suis arrivé indépendamment.

Ceci est donc égal à 8.

Mais il s'avère en effet que 3 et 5 est égal à 8.

Cela peut paraître de la magie pour vous ou cela peut paraître évident.

Et pour ceux d'entre vous pour qui cela semble un peu évident,

vous pensez probablement : 2 puissance 3 fois 2 puissance 5

est égal à 2 puissance 3 plus 5, non ?

C'est juste une règle des exposants.

comment s'appelle-t-il ?

je ne sais pas.

Je ne connais pas les noms de ces choses!

Et ça correspond à 2 puissance 8.

Et c'est exactement ce que nous avons fait ici, non ?

De ce côté, nous avons eu 2 puissance 3 fois 2 puissance 5 et de ce coté ils sont additionnés..

Ce qui rend les logarithmes intéressant est et pourquoi...

ils peuvent être un peu déroutants au début.

Et vous pouvez regarder les preuves si vous voulez vraiment .. une sorte de...

preuve rigoureuse--mes preuves ne sont pas rigoureuses.

Mais si vous voulez une meilleure explication

de comment ça marche.

Mais j'espère que ça vous aide a comprendre pourquoi

cette propriété fonctionne, non ?

Parce-que quand on multiplie deux exposants qui ont la

même base..

Deux expressions exponentielles de la même base,

on peut ajouter leurs exposants.

De même, lorsque vous avez le logarithme de deux nombres multipliés qui se multiplient

cela équivaut au logarithme de l'addition de ces nombres

Il s'agit de la même propriété.

Si vous ne me croyez pas, regardez les vidéos avec les preuves.

Alors faisons un--je vais vous montrer une autre propriété des logarithmes

C'est à peu près la même chose.

Je les vois presque comme la même chose.

Donc c'est log de A en base B, moins log de C en base B

est égale à .... il me manque de la place...

log de A en base B divisé par C

ça c'est A divisé par C

Et nous pouvons, encore une fois, essayez-le avec certains chiffres....

J'utilise 2 beaucoup parce que 2 est un chiffre facile à

élever aux puissances...

Mais nous allons utiliser un chiffre différent.

Disons, log en base 3 de.....

faisons-le un peu intéressant-- log de 1/9 en base 3

moins log de 81 en base 3

Alors, cette propriété nous dit que ça vaut....

..ce sera un nombre assez grand....

log de 1/9 en base 3 divisé par 81

C'est la même chose que 1/ 9 fois 1/ 81.

J'ai utilisé deux grands nombres pour mon exemple, mais

... continuons..

Alors voyons.

9 fois 81 est 729, non ?

9 fois--non.

9 fois 80 est 720...

C'est donc .. 1/729

C'est donc log de 1/729 en base de 3.

Alors.... quelle puissance de 3 vaut 1/9?

Bien 3 puissance 2 est égal à 9, non ?

Donc 3 --nous savons que si 3 puissance 2 est égal à 9, alors

nous savons que 3 puissance -2 (moins deux) est égal à 1 / 9, non ?

on l'inverse parce-que on a une négative

Alors ça fait -2, non ?

Et puis moins..... quelle puissance de 3 est égal à 81 ?

3 puissance 3, c'est 27.

Alors 3 puissance 4.

Donc nous avons -2 -4 est égal à .......bien il y a

plusieurs moyens de le faire.

Moins deux moins quatre est égal à moins six.

Et maintenant, nous avons simplement à confirmer que 3 puissance -6 (moins 6)

est égal à 1 / 729.

C'est ma question.

3 puissance -6, est-ce-que c'est égal à 1 / 729?

Bien, c'est la même chose que de dire que 3 puissance 6

c'est 729 parce-qu'on a un exposant négatif

qui a l'effet de tout inverser

Allons voir.

Nous pourrions multiplier pour voir, mais qui devrait être juste

parce que, Eh bien, nous pourrions regarder ici.

Mais voyons.

3 puissance 3.....

multiplié par 3 puissance 3. Ça vaut 27 fois 27

Ça a l'air juste...

Vous pouvez le vérifier avec une calculatrice si vous

ne me croyez pas.

De toute façon, c'est tout le temps que j'ai dans cette vidéo.

Dans la vidéo suivante, je vais vous présenter les dernières

deux propriétés des logarithmes.

Et, si nous avons le temps, je ferai peut-être quelques exemples avec

le temps qui reste.

A bientôt.