લઘુગણક ગુણધર્મો નું પ્રસ્તુતિ

પેહલા બે લઘુગણક ગુણધર્મો ની પ્રસ્તુતિ

લઘુગણક ગુણધર્મો નાપ્રસ્તુતિ માં આપનું સ્વાગત છે.

હવે તે બહુજ હાથ-પ્રસ્તુતિ થવાની છે.

જો તમે એવું ના માનતા હોવ કે આ ગુણધર્મોથી એક ગુણધર્મ સાચો છે

અને તમે સાબિત કરવા માંગો છો, તો મે ૩ કે ૪ વિડીઓ બનાવ્યા છે

કે જે ખરેખર આ ગુણધર્મોને સબિત કરે છે.

અને પછી તમને બતાવીશ કે તેમનો કેવી રીતે ઉપયોગ કરવો.

અહિ જરા વધારે જ હાથનો ઉપયોગ થશે.

તો ચલો તેનો માત્ર થોડુક નિરીક્શણ કરીએ

તેથી જો હું કે "" કહે છે ... ઓહ કે અધિકાર નથી ...

ચાલો જોઇએ.

હુ બદલાવ કરવા માંગુ છુ-- જોઇએ.

ધારો કે હુ કહુ કે-- મને શરુ કરવા દો.

એ ની બી ઘાત સી થાય.

તો જો આપણે-- એ ની બી ઘાત એ સી થાય.(સી ની બરાબર થાય.)

તો આ એજ સંબંધ માટે ઘાતાંક લખવાની જગ્યાએ લખવા માટેની એક બીજી રીત છે

કે તેને લઘુગણકની જેમ લખવુ.

તો આપણે કહી શકીએ કે લઘુગણક c આધાર a

એ b બરાબર છે.

તેથી આ આવશ્યક સમાન વસ્તુ કહી રહ્યા છે, તેઓ માત્ર પરિણામો વિવિધ પ્રકારની હોય છે.

પહેલાંમા, તમે જાણો છો a અને b અને તમે એની માટે c મેળવો છો.

એ એજ છે કે જે ઘાતાંક તમારા માટે કરે છે.

અને બીજુ કે, તમે a અને તમે એ પણ જાણો છો કે

જવાબ c મેળવવા માટે તેની કેટલી ઘાત કરવી જોઇએ.

અને પછી તમે કહી શકશો b શુ થાય.

તેથી તેઓ વચ્ચે સમાન સંબંધ છે, ફક્ત

બીજી રીતે દર્શાવ્યુ છે.

હવે હુ તમને

લઘુગણક ના કેટલાક રસપ્રદ ગુણધર્મો નો પરિચય આપીશ.

અને તેઓ ખરેખર આ સંબંધ અને

નિયમીત ઘાતાંકના નિયમો ની બહાર છે.

તેથી પહેલુ છે લઘુગણક-- ચલો મને

વધારે આનંદિત રંગ કરવા દો.

ધારો કે કોઇ પણ આધારનો લઘુગણક-- તો એને માત્ર

આધાર કહીએ-- ધારો કે b આધાર છે.

લોગ a આધાર b વત્તા(પ્લસ+) લોગ c આધાર b-- અને

આવુ ત્યારે જ થશે જ્યારે આધાર સરખા હોય.

તો એ યાદ રાખવુ અગત્યનુ છે.

તે લોગ a ગુણ્યા c (લોગ a*c) આધાર b બરાબર થાય.

હવે આનો મતલબ શુ થાય અને તેનો આપણે કેવી રીતે ઉપયોગ કરી શકીએ?

અથવા ચલો તેનો પ્રયત્ન કરીએ, સારુ હુ

નથી જાણતો, ઉદ્દાહરણો.

તો એવુ કહેવાય કે-- હુ બીજા રંગ બાજુ જઇશ.

ચલો તો જાંબુડિયો રંગ-- જાંબુડિયો રંગ-- મને નથી ખબર.

હુ નથી જાણતો કે તેનો યોગ્ય ઉપયોગ કઇ રીતે કરવો.

ચલો તેને મારા ઉદ્દહરણ નો રંગ બનાવીએ.

તો ધારો કે લોગ આઠ(૮) આધાર બે(૨)

વત્તા(પ્લસ) લોગ ૩૨ આધાર બે(૨).

તેથી, સૈધાંતિક રીતે, આ બરાબર, જો આપણે આ ગુણધર્મમા માનીએ,

તો અહિ સમાન આધાર અને લોગ શુ થવુ જોઇએ?

સારુ આપણે કહીએ આઠ(૮) ગુણ્યા બત્રીસ(૩૨).

તો ૮ ગુણ્યા ૩૨ બરાબર ૨૪૦+૧૬=૨૫૬ થાય.

ચાલો જોઇએ એ સાચુ છે કે નહિ.

માત્ર આ સંખ્યાનો પ્રયત્ન કરવો અને આ ખરેખર સાબિતી નથી.

પણ મને લાગે છે તમારી આજુ-બાજુ મા શુ થઇ રહ્યુ છે તમને

એનુ જરા અંતર્જ્ઞાન થશે.

તો લોગ-- તો આ-- આપણે માત્ર આપણા ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કર્યો છે.

આ નાનો ગુણધર્મ મે તમારી સમક્શ રજુ કર્યો.

અને ચલો જોઇએ એ કામ લાગ્યો કે નહિ.

તો લોગ ૮ આધાર ૨.

૨ ની કેટલી ઘાત ૮ થાય?

સારુ, ૨ ની ૩ ઘાત બરાબર ૮ થાય, બરાબર ને?

તો આ ભાગ અહિ છે, એ ૩ બરાબર થાય, બરાબર ને?

લોગ ૮ આધાર ૨ બરાબર ૩ થાય.

૨ ની કેટલી ઘાત બરાબર ૩૨ થાય?

ચલો જોઇએ.

૨ ની ૪ ઘાત ૧૬ થાય.

૨ ની ૫ ઘાત ૩૨ થાય.

તેથી આ અહિ ૨ ની ઘાત-- ૫ થાય, બરાબર ને?

અને ૨ ની કેટલી ઘાત બરાબર ૨૫૬ થાય?

સારુ, જો તમે કોમ્પ્યુટર સાયંસમા હોવ, તો તમને

તરત જ ખબર પડી જશે.

બાઇટ મા ૨૫૬ સંખ્યા હોય.

તો તે ૨ ની ૮ ઘાત થાય.

પણ જો તમે તે ના જણતા હોવ તો, તમે તમારી જાતે ગુણાકાર કરી શકો છો.

પણ આ ૮ થાય.

અને આ હુ એટલા માટે નેથી કરી રહ્યો કે હુ જાણુ છુ કે ૩

વત્તા(પ્લસ) ૫ બરાબર ૮ થાય.

હુ તે સ્વતંત્ર રીતે કરી રહ્યો છુ.

તેથી તે ૮ થાય.

પણ અહિ ૩ વત્તા ૫ (૩+૫) બરાબર ૮ થાય છે.

આ કદાચ તમારા માટે જાદુ હોઇ શકે અથવા તે સ્પષ્ટ જોઇ શકાય એમ છે.

અને તમારામાંથી જેની માટે આ સ્પષ્ટ છે,

તમે કદાચ વિચારી રહ્યા હશો, ૨ ની ૩ ઘાત ગણ્યા ૨ ની ૫ ઘાત

બરાબર ૨ ની ૩+૫ ઘાત, બરાબર ને?

આ માત્ર એક ઘાતાંક નો નિયમ છે.

તેને શુ કહેવાય છે?

ઘાતાંકના સરવાળા નો ગુણધર્મ-- મને ખબર નથી.

હુ તેનુ નામ નથી જાણતો.

અને તે ૨ ની ૮ ઘાત બરાબર થાય.

અને તે આપણે જે કર્યુ એની તદ્દન બરાબર છે, સાચુ ને?

આ બાજુ, આપણી પાસે ૨ છે, ૩ વખત ૨

અને આ બાજુ પર તમે તેમને દરેક અન્ય ઉમેર્યા છે

અને જે લઘુગણક ને રસપ્રદ બનાવે છે અને

આ જરા મુંઝવણ પેદા કરે તેવુ છે.

અને જો તમને ખરેખર સખત પુરાવા જોઇતા હોય તો તમે જોઇ શકો છો --

મારા પુરાવા સખત નથી.

પરંતુ જો તમે વધારે સારી સ્પષ્ટતા જોઇએ કે એ

કેવી રીતે થાય છે.

પરંતુ આશા છે કે એણે તમને સમજાવ્યા હોવા જોઇએ કે કેમ

આ ગુણધર્મ છે, બરાબર ને?

કારણ કે, જ્યારે સરખા આધાર વાળી બે સંખ્યાનો ગુણાકાર કરો,

બરાબર ને?

તમે બે સરખા આધારવાળા ઘાતાંકીય પદના

ઘાતાંક નો સરવાળો કરી શકો છો.

એજ રીતે, જ્યારે તમારી પાસે બે સંખ્યાના ગુણાકારનો લોગ હોય,

તો તે દરેક સંખ્યાના સરવાળાના લોગ

બરાબર થાય.

આ સમાન ગુણધર્મ છે.

જો તમને વિશ્વાસ ના હોય તો, વિડીઓ જુઓ.

તો ચલો, મને બીજો ગુણધર્મ બતાવવા દો.

આ પહેલા ગુણધર્મથી ઘણો સમાન છે.

મે મોટેભાગે તેમને સમાન જ જોયા છે.

તેથી આ લોગ a આધાર b ઓછા લોગ c આધાર b

એ આધાર b લોગ-- હુ બહાર આવી ગ્યો.

હુ એ જગ્યાની બહાર આવી ગ્યો-- a ભાગ્યા c.

મતલબ કે a ભાગ્યા c.

અને ફરીથી, કેટલીક સંખ્યાઓ લઇને પ્રયત્ન કરો.

મે બે(૨) નો ઉપયોગ જકર્યો છે કેમ કે બે(૨) એ સરળ સંખ્યા છે કે

જેની ઘાત મળે.

પર્ંતુ ચલો બીજી સંખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ.

ધારો કે આધાર ૩ લોગ -- હુ નથી જાણતો -- આધાર ૩ લોગ --

તમે જાણો છો, ચલો તેને જરા રસપ્રદ બનાવીએ --

લોગ ૧/૯ આધાર ૩ ઓછા(માઇનસ) લોગ ૮૧ આધાર ૩.

તો આ ગુણધર્મ એવુ કેહવા માંગે છે કે-- આ પહેલા જેવુ જ છે--

હુ મોટી સંખ્યાથી અંત કરી રહ્યો છુ.

લોગ ૧/૯ ભાગ્યા ૮૧ ((૧/૯)/૮૧) આધાર ૩.

તો એ ૧/૯ ગુણ્યા ૧/૮૧ ની બરાબર જ થાય.

મે ઉદ્દાહરણમાં બે મોટી સંખ્યાનો ઉપયોગ કર્યો છે, પરંતુ

આપણે આગળ જોઇએ.

તો ચલો જોઇએ.

૯ ગુણ્યા ૮૦ એ ૭૨૦ થાય, ખરુ ને?

ગુણ્યા ૯-- બરાબર.

૯ ગુણ્યા ૮૦ એ ૭૨૦ થાય.

તો આ ૧/૭૨૯.

તો આ લોગ ૧/૭૨૯ આધાર ૩છે.

તો ૩ ની કેટલી ઘાત ૧/૯ થાય?

સારુ, ૩ નો વર્ગ ૯ થાય, બરાબર ને?

તો ૩-- આપણે જાણીએ છીએ કે જો ૩ નો વર્ગ ૯ થાય તો,

આપણે જાણીએ છીએ કે 3 ની ઋણ ૨ (-૨) ઘાત એ ૧/૯ થાય, બરાબર ને?

ઋણ તેને ઉલટુ કરે છે.

તો આ ઋણ ૨(-૨) બરાબર થાય, સાશુ ને?

અને પછી ઋણ-- ૩ ની કેટલી ઘાત ૮૧ થાય?

૩ ની ૩ ઘાત ૨૭ થાય.

તો 3 ની 4 ઘાત.

તો અહિ -2-4 બરાબર-- સારુ, આપણે

એ બે રીતે કરી શકીએ.

- 2 - 4 = - 6 થાય.

અને હવે આપણે નક્કી કરવુ પડશે કે 3 ની -6 ઘાત

1/729 થાય.

તો એ મારો પ્રશ્ન છે.

શુ 3 ની -6 ઘાત 729-- 1/729 થાય?

એ 3 ની 6 ઘાત બરાબર

729 થાય એની બરાબર છે, કારણ કે તે ઋણ ઘાતાંક

તેનો વ્યસ્ત કરે છે.

ચલો જોઇએ.

આપણે તેનો ગુણાકાર કરી શકીએ, પરંતુ તે એજ વિષય હોવો જોઇએ.

કારણ કે. સારુ, આપણે અહિ જોઇ શકીએ છીએ.

પણચલો જોઇએ.

3 ની 3 ઘાત-- આ 3 ની 3 ઘાત

ગુણ્યા 3 ની 3 ઘાત બરાબર 27 ગુણ્યા 27.

તે આપણા જવાબની ઘણુ નજીક લાગે છે.

તમે તેને કેલ્ક્યુલેટર વડે ચકાસી શકો છો, જો તમને

મારી પર વિશ્વાસ ના આવે તો.

આ તો કોઇપણ સમયે આ વિડીઓમા મરી પાસે હશે જ.

પછી ના વિડીઓ મા, હુ તમને છીલ્લા

બે ગુણધર્મો નો પરિચય કરાવીશ.

અને, જો આપણી પાસે સમય હશે તો, હુ વધેલા સમય મા

ઉદ્દાહરણો કરીશ.

હુ તમને જલ્દી જ મળીશ.