Introduzione alle proprietà dei logaritmi

Introduzione alle prime due proprietà dei logaritmi

Benvenuto alla presentazione sulle proprietà dei logaritmi.

Questa sarà una presentazione molto pratica.

Se non credi che una di queste proprietà sia vera

e vuoi le prove, ho fatto tre o quattro video

che dimostrano queste proprietà.

Vi mostrerò le proprietà e come possono essere utilizzate.

Qui andro' un po' di piu' sul pratico.

Quindi facciamo giusto un po' una revisione. sui logaritmi

Se di co che 'a' ... no, non è quello giusto

Vediamo.

Voglio cambiare --- ecco fatto.

Diciamo che una --- fammi ricominciare.

a alla b è uguale a c.

Quindi, se noi --- a alla potenza di b è uguale a c.

Quindi un altro modo di scrivere questa relazione invece

di scrivere l'esponente, è quello di scriverla come un logaritmo.

Quindi possiamo dire che il logaritmo in base a di

c è uguale a b.

Sono due modi diversi d'esprimere la stessa relazione

In uno, conosci a e b e ottieni c.

Questo è l'elevamento a potenza.

Nel secondo, conosci a e sai che

elevato a una qualche potenza dà 'c'

E poi trovi quant'è b.

Quindi hanno la stessa identica relazione, solo detta

in modo diverso.

Ora io ti presento alcune interessanti

proprietà dei logaritmi.

E in realtà derivano da questa relazione

e dalle normali regole degli esponenti.

Quindi la prima è che il logaritmo --- fammelo fare

in un colore più allegro.

Il logaritmo, diciamo, di qualsiasi base --- quindi chiamiamo

la base --- diciamo b per la base.

Logaritmo base b di a piu' logaritmo base b di c ---

e questo funziona solo se abbiamo le stesse basi ---

quindi questo è importante ricordare ---

è uguale al logaritmo base b di a per c.

Ora, cosa significa e come possiamo utilizzarlo?

Oppure proviamolo semplicemente con alcuni,

non lo so, esempi.

Quindi questo sta dicendo che --- passo ad un altro colore ---

fammi passare al malva --- Malva --- Non lo so.

Non so mai come dirlo correttamente.

Rendiamolo il mio colore per l'esempio.

Quindi diciamo logaritmo in base 2 di, non lo so, di 8

più logaritmo in base 2 di, non lo so, diciamo 32.

Quindi, in teoria, questo dovrebbe essere pari, se crediamo a questa proprieta',

questo deve essere uguale a logaritmo in base 2 di che cosa?

Beh diciamo 8 x 32.

Quindi, 8 x 32 fa 240, più 16, 256.

Bene vediamo se questo è vero.

Basta provare questo numero e questa non è davvero una dimostrazione.

Ma ti do un po' di intuizione, credo,

su quello che sta succedendo qui.

Quindi log --- questo è --- abbiamo appena usato la proprietà.

La proprieta' che ti ho presentato.

E controlliamo se funziona.

Quindi log base 2 di 8.

2 a quale potenza è pari a 8?

Beh, 2 alla terza potenza è pari a 8, giusto?

Quindi questo termine qui, è uguale a 3, giusto?

Logaritmo in base 2 di 8 è pari a 3.

2 a quale potenza è pari a 32?

Vediamo.

2 alla quarta potenza fa 16.

2 alla quinta potenza fa 32.

Quindi questo qui è 2 alla --- e' 5, giusto?

E 2 alla quale potenza è pari a 256?

Beh, se hai un diploma in informatica

lo sai subito.

Che un bite può avere 256 valori.

Quindi si tratta di 2 all'ottava potenza.

Ma se non lo sai, potresti moltiplicartelo da te.

Ma questo è 8.

E non lo sto facendo solo perché sapevo che

3 + 5 fa 8.

Lo sto facendo in modo indipendente.

Quindi questo è pari a 8.

Ma esce fuori che 3 + 5 fa 8.

Cio' può sembrarti magia o può sembrarti ovvio.

E per quelli di voi a cui sembra un po' ovvio,

probabilmente pensate: beh 2^3 x 2^5

fa 2^(3+5) giusto?

Questa è solo una regola degli esponenti.

Come la chiamano questa?

La proprieta' additiva degli esp... non lo so.

Non li so i nomi delle cose.

E questo equivale a 2^8, 2 alla ottava.

Ed è esattamente quello che abbiamo fatto qui, giusto?

Da questa parte, avevamo 2^3 x 2^5.

E all'altro membro sono sommati fra loro

E ciò che rende i logaritmi interessanti ed e' il motivo per cui ---

è facile fare un po' di confusione all'inizio.

E puoi guardarti le dimostrazione se vuoi tipo

una cosa rigorosa --- le mie dimostrazioni non sono rigorose.

Ma se vuoi tipo una spiegazione migliore

su come funziona.

Ma questo dovrebbe darti auspicabilmente un'intuizione del perché

la proprietà funziona, giusto?

Perché quando moltiplichi due numeri della

stessa base, giusto?

Con due espressioni esponenzial con la stessa base

puoi sommare gli esponenti.

Allo stesso modo, quando hai il logaritmo di due numeri moltiplicati

l'uno per l'altro, è equivalente al logaritmo di ognuno

dei numeri sommati l'un l'altro.

Questa è la stessa proprietà.

Se non mi credi guardati il video della dimostrazione.

Allora, facciamo un --- lascia che ti mostri un'altra proprietà dei logaritmi.

E' praticamente la stessa.

Le vedo quasi allo stesso modo.

Quindi questa è logaritmo base b di a meno logaritmo base b di c

che è uguale al log base b di --- beh ho finito...

sono a corto di spazio --- a diviso c.

Questo dice a diviso c.

E possiamo, ancora una volta, provare con alcuni numeri.

Uso molto il 2 solo perché 2 è un numero di cui

e' facile capire le potenze.

Ma usiamo un numero diverso.

Diciamo che log base 3 di, non lo so, log base 3 ---

sai che c'e', rendiamolo interessante --- logaritmo base 3

di 1/9 meno logaritmo in base 3 di 81.

Quindi, questa proprietà ci dice --- questa è la stessa di ---

Beh, finiro' con un numero grande.

Log base 3 di (1/9 diviso 81).

Quindi questo è lo stesso di 1/ 9 x 1/81.

Ho usato due numeri grandi per il mio esempio, ma

andremo avanti.

Allora vediamo.

9 x 8 fa 720, giusto?

9 x --- giusto.

9 x 8 fa 720.

Quindi questo è 1/729.

Quindi questo è il log base 3 di 1/729.

Quindi quanto --- quanto fa --- tre alla quale potenza è uguale a 1/9?

Ben 3 al quadrato è uguale a 9, giusto?

Quindi 3 --- quindi sappiamo che se 3 al quadrato è uguale a 9,

sappiamo che da 3^-2 fa 1/9, giusto?

Il negativo inverte.

Quindi questo è uguale a 2 negativo, giusto?

E poi meno --- 3 alla quale potenza è pari a 81?

3 alla terza potenza è 27.

Quindi 3 alla quarta potenza.

Quindi abbiamo -2 - 4 --- beh, potremmo

farlo un paio di modi.

-2 -4 è pari a -6.

E ora dobbiamo solo confermare che 3 alla -6

è uguale a 1/729.

Quindi questa e' la mia domanda.

3 alla potenza di -6 è pari a 1/729?

Bene è come dire che 3 alla sesta potenza è

pari a 729, perché è tutto quello che fa l'esponente negativo

e' invertire.

Vediamo.

Potremmo moltiplicarli, ma insomma.

Perché, beh, potremmo guardare qui.

Ma vediamo.

3 alla terza potenza --- questo sarebbe 3 alla terza potenza

per 3 alla terza potenza è pari a 27 x 27.

Che ci si avvicina parecchio.

Puoi confermarlo con una calcolatrice

se non mi credi.

Comunque, questo è tutto il tempo che ho in questo video.

Nel video seguente, ti presento le ultime

due proprietà dei logaritmi.

E, se abbiamo tempo, magari farò esempi con

il tempo che mi resta.

Ci vediamo presto.