Introduction to logarithm properties

Introduction to the first two logarithm properties.

Witajcie w prezentacji poświęconej własnościom logarytmów.

Skupimy się w niej na podaniu dużej ilości przykładów.

Jeżeli nie wierzycie, że którakolwiek z tych własności jest prawdziwa

i pragniecie dowodu to zrobiłem dla was trzy, cztery filmy,

które dowodzą tych własności.

I później pokazują jak można je wykorzystać.

Tutaj będzie znacznie więcej przykładów.

Zróbmy małą powtórkę.

Popatrzmy.

Chciałbym zmienić... o proszę. Działa.

Powiedzmy, ze zaczniemy od podstaw.

a do b jest równe c.

a do potęgi b jest równe c.

Można zapisać tą samą relację bez wykorzystywania

funkcji wykładniczej - przy użyciu logarytmu.

Można napisać logarytm o podstawie a z c

jest równy b.

W pierwszym znasz a, b i chcesz obliczyć c.

Tym właśnie zajmuje się funkcja wykładnicza.

W drugim znasz a i później

podnosisz je do jakiejś potęgi i otrzymujesz c.

Chcesz obliczyć ile wynosi b.

To jest dokładnie ta sama zależność, po prostu

inaczej zapisana.

Pokażę Ci teraz kilka interesujących

własności logarytmów.

W zasadzie wszystkie wynikają z tej zależności

i zwykłych zasad potęgowania.

Pierwsza mówi o tym, że logarytm --

użyjemy trochę bardziej radosnego koloru.

Logarytm o dowolnej podstawie -- nazwijmy

podstawę -- powiedzmy podstawę nazwiemy b.

Logarytm o podstawie b z a plus logarytm o podstawie b z --

działa to tylko jeżeli mamy takie same podstawy.

Warto o tym pamiętać.

Jest równa logarytmowi o podstawie b z a * c.

Co to znaczy i jak możemy z tego skorzystać?

Wypróbujmy tą zależność

na jakichś przykładach.

Oznacza to -- zmienię kolor na inny.

Powiedzmy, że wybiorę kolor Mauve [fioletowy].

Zawsze mam problemy z poprawnym powiedzeniem tego słowa.

To będzie kolor, którym będę używał do przykładów.

Powiedzmy, że logarytm o podstawie dwa z ośmiu

plus logarytm o podstawie dwa z 32.

Jeżeli wierzyć podanej własności to powinno być równe logarytmowi

o podstawie 2 z ilu?

Według nas osiem razy 32.

czyli osiem razy 32 to 256.

Zobaczmy, czy to prawda.

Chcemy po prostu sprawdzić tą liczbę, to co teraz robimy to nie jest żaden dowód.

Ale myślę, że da wam pewną intuicję odnośnie tego

co tutaj się dzieje.

Czyli logarytm... do jego uzyskania użyliśmy naszej właściwości.

Tej pierwszej właściwości, którą pokazałem.

Sprawdźmy czy naprawdę działa.

Czyli logarytm o podstawie dwa z ośmiu.

Dwa do której potęgi jest równe osiem?

Cóż, dwa do trzeciej potęgi jest równe osiem, prawda?

Czyli to wyrażenie tutaj jest równe trzy, prawda?

Logarytm o podstawie dwa z ośmiu jest równy trzy.

Dwa do której potęgi jest równe 32?

Zobaczmy.

Dwa do czwartej daje 16.

Dwa do piątej daje 32.

Czyli to wyrażenie jest równe pięć, prawda?

I dwa do której potęgi jest równe 256?

Jeżeli jesteś informatykiem, to od razu

znasz odpowiedź.

W jednym bajcie mieści się 256 wartości.

Czyli to jest dwa do potęgi ósmej.

Ale jeżeli tego nie wiesz, nie szkodzi - możesz sobie to wymnożyć.

Ale to będzie ósemka.

To nie jest tak, że wiedziałem, że trzy

plus pięć ma mi dać ósemkę.

Wykonywałem te obliczenia niezależnie.

To jest równe osiem.

Okazuje się, że trzy plus pięć jest rzeczywiście równe osiem.

Może to być dla ciebie czarna magia lub coś oczywistego.

Ci, dla których jest to oczywiste

myślą prawdopodobnie o tym, że dwa do trzeciej razy dwa do piątej

jest równe dwa do (3 + 5), prawda?

To po prostu jedna z zasad potęgowania.

Jak ją nazywają?

Własność dodawania wykładników? Nie wiem.

Nie wiem jak to się nazywa.

I to jest równe dwa do ósmej.

Dokładnie to samo zrobiliśmy tutaj, prawda?

po tej stronie mieliśmy dwa do trzeciej razy dwa do piątej.

I to jest jedna rzeczy, która jest interesująca w logarytmach,

a zarazem trochę problematyczna na początku.

Możecie oglądnąć dowody jeżeli naprawdę chcecie

formalnego uzasadnienia -- moje dowody nie są w sumie tak dokładne.

Ale możecie je oglądnąć jeżeli chcecie dokładniejszego wyjaśnienia

jak to działa.

To powinno dać wam jednak pewną intuicję dlaczego

ta właściwość jest zachowana, prawda?

Jeżeli przemnoży się dwie liczby posiadające

tą samą podstawę, prawda?

Dwa wyrażenia potęgowe posiadające tą samą podstawę,

można dodać ich wykładniki.

Podobnie, jeżeli mamy logarytm dwóch liczb pomnożonych przez

siebie, jest to równoważne logarytmom każdej z nich

dodanych do siebie.

To jest ta sama własność.

Jeżeli nie wierzycie, zobaczcie filmy z dowodami.

Zobaczmy kolejną właściwość logarytmów.

W zasadzie jest całkiem podobna do tej.

Dla mnie sa prawie identyczne.

To jest logarytm o podstawie z a minus logarytm o podstawie b z c.

to będzie równe logarytmowi o podstawie b -- zabrakło.

Zabrakło mi trochę miejsca -- a / c.

To oznacza "podzielone przez C".

I możemy znów przetestować to na jakichś liczbach.

Używam bardzo często dwójki, ponieważ łatwo dla niej

wymyślać kolejne potęgi.

Użyjmy jednak innej liczby.

Powiedzmy, że logarytm o podstawie trzy z

-- zróbmy ciekawszy przykład -- logarytm o podstawie trzy z

jednej dziewiątej minus logarytm o podstawie trzy z 81.

Co mówi nam ta własność -- to jest to samo co --

wybrałem sobie dużą liczbę na wynik.

Logarytm o podstawie trzy z jednej dziewiątej podzielony przez 81.

To jest równe 1/9 * 1/81.

Użyłem trochę duże liczby jako przykład,

no ale kontynuujmy.

Popatrzmy

Dziewięć razy 80 to 720, prawda?

razy dziewięć -- zgadza się.

Dziewięć razy osiem to 72.

Została jeszcze jedynka. 729.

Czyli to jest logarytm o podstawie trzy z 1/729.

Teraz, trzy do której potęgi jest równe jednej dziewiątej?

Trzy do kwadratu daje dziewięć, prawda?

Czyli trzy-- jeżeli wiemy, że trzy do kwadratu daje dziewięć, to wiemy

że trzy do minus dwójki da nam jedną dziewiątą, prawda?

Minus po prostu odwraca liczbę.

To jest równe minus dwa, prawda?

Trzy do której potęgi jest równe 81?

Trzy do potęgi trzeciej jest równe 27.

Więc trzy do potęgi czwartej.

Mamy więc minus dwa minus cztery jest równe -- cóż możemy zrobić to

na kilka sposobów.

Minus dwa minus cztery jest równe minus sześć.

Teraz musimy potwierdzić, że trzy do potęgi minus szóstej

jest równe 1/729.

I to jest moje pytanie.

Czy trzy do potęgi minus szóstej jest równe 1/729?

Jest to równoważne pytaniu, czy trzy do potęgi szóstej jest równe

729, ponieważ jedyne co robi ujemny wykładnik

to odwraca tą liczbę.

Popatrzmy.

Możemy sobie to wymnożyć, ale powinno się zgadzać.

Możemy popatrzyć się tutaj.

Popatrzmy.

Trzy do potęgi trzeciej -- to będzie trzy do potęgi trzeciej

razy trzy do potęgi trzeciej jest równe 27 * 27.

Wydaje się zgadzać.

Możesz sprawdzić sobie na kalkulatorze,

jeżeli nie wierzysz.

Tyle odnośnie tego filmu.

W następnym wprowadzę ostatnie

dwie właściwości logarytmów.

Jeżeli zostanie trochę czasu to zrobię jeszcze trochę przykładów

w pozostałym czasie.

Do zobaczenia wkrótce.