Linear Equations in Slope Intercept Form

このビデオでは
直線の（一次関数の）方程式を

傾き切片型で表す練習を
たくさんやっていこうと思います

まず おさらいですが
傾き切片型とは 直線の方程式が

y = mx + b で表されている型のことで
m は傾き

b は y 切片です

では たくさんの問題をやっていきましょう

この問題は
直線の傾きが -5 だと言っているので

m は -5 です

そして y 切片は 6 ですから

b は 6 です

なので これはかなり簡単ですね

この直線の方程式は

y = -5x + 6 です

そんなに難しくなかったですね

では 次の問題をやってみましょう

この直線の傾きは -1 で
また 直線は 点 ( 4/5 , 0 )

を含んでいる

傾きは -1 だと言っていますから

m は -1 だと既にわかっています

でも y 切片はまだ分かっていません

それで この直線の方程式は
傾き m が -1 ですから

y = -1x + b で表すことができます
まだ判明していない切片を

b で表しています

ここで直線はある点を含んでいるということが分かっていて

その点の座標が与えられていますから

その情報を使って b を求めます

直線がこの点を含んでいるというのはつまり

x = 4/5 , y = 0 が
直線の方程式を満たしている

ということです

ではこれらを代入しましょう
x が 4/5 の時

y は 0 です

すると 0 = -1 ・ 4/5 + b
となって

少し下にスクロールしましょう

すると
0 = -4/5 + b となるので

方程式の両辺に 4/5 を足して

こちらに 4/5 を足して

こちらにも 4/5 を足します

4/5 を両辺に足したそもそもの理由は
この -4/5 をなくすためです

すると b = 4/5 となります

これで方程式を書くことができます

y イコール --
-1 x は単に -x とします

b は 4/5 ですから
y = -x + 4/5 です

では次の問題にいきましょう

直線は
点 (2,6) と (5,0) を含んでいる

この問題では傾きも切片も
明確には与えられていません

ですがこれらの数の組を使って
傾きと切片を求めることができます

まず最初に傾きを求めましょう

傾きとは (yの変化量) 割る (xの変化量)ですから

y の変化量はどれだけですか？

こちら側から始めましょう

6 ひく 0

分かりやすいように

色分けしていきます

6 ひく 0
が y の変化量です

x の変化量は
2 ひく 5 です

なぜ色分けしたかというと
どちらからどちらを引くのか

みなさんに分かりやすく示すためです
このように 最初に黄色の y を持ってきたら

x も黄色を最初に持ってこないといけない

黄色で書いたのは
点 (2,6) を表していて

こちらは
点(5,0) を表しています

この 2 と 5 をひっくり返して引くことはできません

そうすると答えの正負が逆になってしまいます

さてどうなるでしょう

6 引く 0 は 6 で

2 引く 5 は -3 ですから

- 6/3 それはつまり

-2 と同じことです

これがこの直線の傾きです

これまでに分かったことを使って直線の方程式を表すと
y イコール

傾きは -2 はオレンジ色で書きます

たすことの y 切片

ここからはさっきやったのと全く同じことをやれば良いです

これらの点のうち 1 つを使って
b の値を求めます

どちらを使っても良いです

両方ともこの直線上にありますから
いずれもこの方程式を

満たしていなければなりません

私は (5,0) の方を使います
なぜなら

0 を含んでいるものを使うと

計算が楽ですからね

では (5,0) を代入しましょう

x が 5 の時 y が 0 ですから

y は 0 で
そしてそれが -2 かける 5--

x は 5 で
それに たすことの b

すると 0 = -10 + b
となります

方程式の両側に 10 を足しましょう

これらは相殺され

b = 10 + 0
つまり

b = 10
となります

これでこの直線の方程式が書けます

その方程式は y イコール--
新しい色を使いましょう

y = -2x + b
y = -2x + 10

できました

次の問題をやってみましょう

この直線は点 (3,5) と (-3,0) を含んでいる

今さっきやった問題と同じように

傾き m を求めるところから始めましょう

それは英語で言うとライズ・オーバー・ラン
「ライズ」は 垂直方向の変化量で

それを 「ラン」 水平方向の変化量で割ったもの

宿題でこの問題をやっている人は

これを全部書く必要はありません

私はみなさんに
これらは全て同じことを表している

ということを確認しているだけです

では（y の変化量）割る（x の変化量）の値は何ですか？

これはどうなるかと言うと--
ではこちらの点から始めましょう

どちらの点から始めてもいいんですよ

では 0 -5 としましょう

私は こちらの数の組を初めに持ってきましたから

こちらをいわば「終点」としています

初めてこれををやった時

ついつい x を分子に持ってきていたのを思い出します

でもそれは間違いです
分子に来るのは y の値です

これが 2 つ目の数の組（から持ってきた x の値）

それを割ることの
-3 引く 3

こちらが数の組 (-3,0) で

こちらが (3,5) です

引き算しています

するとどうなりますか？

これはどうなるかと言うと--
中性的な色を使いましょう

これはどうなるかと言うと
まず分子は -5 で

分母は -3 引く 3 で -6 です

すると 負の記号が相殺され

5/6 となります

これを傾き切片型の方程式にすると

y = 5/6x + b
となります

あとはこれら 2 つの数の組のうちの 1 つを使って b の値を求めれば良い

ではやってみましょう

私はいつも 0 を含んでいる数の組を使うのが好きです

すると x が -3 の時
y は 0 ですから

今やったのは 単に x に -3 を y に 0 を代入しただけです

この点はこの直線上にあるので
点を表す数の組は

この方程式を満たしていなければなりません

これを解いて b を求めましょう

すると 0 イコール--
-3 を 3 で割って

-1 となり

6 を 3 で割って 2

すると右辺は -5/2 + b
となります

方程式の両辺に 5/2 をたして--

たす 5/2
たす 5/2

みなさんが両方の表記に慣れるよう

違う書き方をします

それで 方程式は
5/2 = b

となります

b は 5/2 です

ですからこの直線の方程式は
y = 5/6x + b

そして b は 今 5/2 だと分かりました

できましたね

次の問題をやりましょう

今度はグラフがあります

このグラフに示された直線の方程式を求めましょう

これはむしろ簡単かもしれませんね

傾きは何でしょうか？

傾きは （yの変化量）割る（xの変化量）ですから

ではどうなるか見てみましょう

x の変化量が 1 の時

これが x の変化量です

x の変化量は 1 です

x の変化量は 1 を選びました
x が 1 増加します

y の変化量はどれだけでしょうか

どうやらちょうど 4 のようです

デルタ y つまり
x の変化量 1に対する y の変化量は

4 です

（yの変化量）割る（xの変化量）

x の変化量が 1 の時の
y の変化量は 4 です

ですから この傾斜は 4 です

では y 切片は何でしょう？

単にこうしてグラフを見て判断すると

直線が y 軸と交わるのは -6 のようです

点（0 , -6） です

これで b は -6 だと分かりました

これでもう直線の方程式が書けますね

直線の方程式は
y イコール 傾きかける x

たすことの y 切片

書いた方がいいですね

-6 つまり
たすことの -6

これがこの直線の方程式になります

もう一つやりましょう

f (1.5) は -3 で
f (-1) は 2

と言っています

これはどういうことでしょうか？

これは難しい表記を使っているだけで
実は単に

1.5 をこの関数に 入力すると
つまり x に 1.5 を代入すると

関数が -3 を出力する
つまり y の値は -3 になる

つまり数の組 (1.5, -3) が示す点は

その直線上にある

また 問題はもう一つの点
x が -1の時 f (x) は 2

と言っています

これは単に難しい言い方をしているだけで

両方の点ともにこの直線上にあるということで
難しくも何ともありません

この問題の趣旨は
みなさんが関数の表記を見て萎縮せず

関数の表記に慣れることを目的としているのだと思います

x が 1.5 の時 この関数が出力する値は -3 です

y = f (x) だとすると
f (x) の値が y の値です

だからこれが y の値です

x が 1.5 の時 y は -3

もう何回も言いましたね

では 傾きを求めましょう

傾きは （y の変化量）割る（x の変化量）ですから

こちらの 2 から始めましょう
2 引く -3

これらは y の値で
それを割ることの

-1 から引くことの
こいつ

こう書きましょう
-1 引く

こいつ
1.5

なぜ色分けしたかというと
-1 と 2 は こちらの数の組から持ってきた

ということがはっきりわかるようにするためです

もしこちらの数の組を最初に持ってきたとしたら

x も y もこちらの数の組の値を持ってこないといけなかった

もし y の値に 2 を最初に持ってくるなら
x の値も -1 を最初に持ってくる

だから色分けしたのです

これを計算すると
2 引く -3

それは 2 たす 3 と同じことですから

5 になります

-1 引く 1.5 は -2.5

5 割る 2.5 は 2

すると この直線の傾きは -2 です

ちょっと余白を使って
どちらの数の組を最初に持ってきても良い

ということをお見せしましょう

もしこちらの数の組を最初に持ってきたとしたら

さっきと逆にしてやってみましょう

-3 引く 2
割ることの 1.5 引く -1

（-3 引く 2）割る（1.5 引く -1）

これを計算すると同じ答えになるはずです

何になりますか？

-3 引く 2 で -5
それを割ることの

1.5 引く -1 は
1.5 たす 1 だから

割ることの 2.5

すると先ほどと同じように
-2 になります

ここでみなさんに見せたかったのは
どちらを始点又は終点に選んでも

どちらからどちらを引いているのか一貫していれば問題ないということです

もしこれを始点の y と選んだら
これが始点の x です

もしこれが終点の y ならば
これが終点の x でなければなりません

まあとにかく
傾きは -2 だと分かりましたので

方程式は
y イコール -2 x プラス y 切片

となります

ではこれらの数の組のうち一つを使って

私はこちらの点を選びます
なぜなら小数点がないので

y は 2 だとわかっています

x が -1の時 y は 2 です

プラス b を忘れてはいけません

すると 2 イコール -2 かける -1 は 2 で
それにたすことの b

両辺から 2 を引くと

引く 2 引く 2

左辺は 0 となって

それが b に等しい

そうすると b は 0 ですね

なのでこの直線の方程式は

y = -2x です

もし関数の表記を使いたいなら

f (x) = -2x

明記されていませんでしたが
y = f (x) なのだと推察しました

とにかくこれが方程式です

この問題は y = の表記ではないので

f (x) = -2x
と答えれば良いでしょう

これらの数の組も

（ x , f(x) ）と書いておきましょう

傾きの表記も f (x) を使って

（ f(x) の変化量）割る（ x の変化量）
と記します

これらは全て同じことを別の見方をしたというだけのことです