PEALKIRI: Puutujavõrrand

Finding the equation of the line tangent to f(x)=xe^x when x=1

Ma olen teile mitmeid kordi öelnud, et tuletis

mingil kohal on puutuja tõus, aga meie

sõber Akosh

saatis mulle probleemi, kus on vaja leida

puutujavõrrand.

Ja ma sain aru, et ma pole seda tegelikult kunagi teinud.

Nii, et see on oma aega väärt.

Teeme seda.

On öeldud, et leia puutujavõrrand funktsioonile f kohal x on võrdne x korda e astmel x ja x on võrdne ühega.

On öeldud, et leia puutujavõrrand funktsioonile f kohal x on võrdne x korda e astmel x ja x on võrdne ühega.

Saame lihtsalt ettekujutuse mida me üldse otsime.

See funktsioon hakkab välja nägema umbes nagu ma

graafiliselt esitasin, sest see ei ole triviaalne funktsioon graafiliselt esitamiseks.

See on

Ma kasutan lihtsalt graafikukalkulaatorit, ja te võite

näha, ma lihtsalt trükkisin selle sisse.

Ja mida see küsib meilt

Punktis x võrdub ühega.

See on punkt x on võrdne ühega.

Siis f kohal x on kuskil siin üleval, ja

tegelikult, f kohal x on võrdne e-ga, õige?

Sest f kohal 1 on millega võrdne?

1 korda e

Niisiis see võrdub e-ga.

Me ütleme et, punktis, (1,e), et

punkt (1, 2.71), mida iganes.

Mis punkt see on?

See on see punkt.

Niisiis, see asub täpselt siin.

2 koma, see on e siin, punkt (1,e).

Mida me teha tahame on välja nuputada puutujavõrrandi selles punktis.

Mida me teha tahame on välja nuputada puutujavõrrandi selles punktis.

Mida me teeme, on me lahendame selle

leides tema tõusu, mis on lihtsalt tuletis

sellel kohal.

Me peame leidma tuletise täpselt sellel kohal.

Me peame leidma tuletise täpselt sellel kohal.

Ja siis me kasutame mida me õppisime algebra 1-st et leida

võrrand, ja kujutame selle siin, lihtsalt et kinnitada, et

me tegelikult ka leidsime puutujavõrrandi.

Esimene asi mida me teada tahame on puutujavõrrandi kalle ja see on lihtsalt tuletis sellel kohal.

Esimene asi mida me teada tahame on puutujavõrrandi tõus ja see on lihtsalt tuletis sellel kohal.

Kui x on võrdne ühega, või punktis (1, e).

Mis on siis selle tuletis.

Niisiis f ' kohal x.

f '(x) on võrdne, see näeb välja nagu

töö korrutise tuletise rakendamiseks.

Kuna me teame kuidas leida x-i tuletist, me

teame kuidas leida e astmel x tuletis ja

lihtsalt korrutame neid üksteisega.

Korrutise tuletise reegel aitab meid.

Selle asja tuletis on võrdne

esimese funktsiooni esimese avaldise tuletisega

esimese funktsiooni esimese avaldise tuletisega

x tuletis on lihtsalt 1 korrutada teise funktsiooniga

korda e astmel x plus esimene funktsioon, x, korrutada

teise funktsiooni tuletisega.

Mis on siis e astmel x-i tuletis?

Ja see ongi numbri e, või

funktsiooni e astmel x puhul hämmastav, et e astmel x tuletis on x.

funktsiooni e astmel x puhul hämmastav, et e astmel x tuletis on x.

Tõus selle kõvera ükskõik millises punktis on võrdne funktsiooni väärtusega.

Tõus selle kõvera ükskõik millises punktis on võrdne funktsiooni väärtusega.

Niisiis see on tuletis.

Mis on siis selle funktsiooni tuletis kohal x = 1 või punktis (1, e)?

Mis on siis selle funktsiooni tuletis kohal x = 1 või punktis (1, e)?

Me lihtsalt arvutame selle välja.

Me ütleme, et f '(1) on võrdne e astmel 1 + 1 korda e, see on võrdne e + e.

Me ütleme, et f '(1) on võrdne e astmel 1 + 1 korda e, see on võrdne e + e.

Ja see võrdub 2e.

e on lihtsalt konstant, aga me kirjutame e, sest on lihtsam kirjutada

e on lihtsalt konstant, aga me kirjutame e, sest on lihtsam kirjutada

e kui 2.7 etc. ja ja lõpmatu hulk arve

niisiis me kirjutame lihtsalt 2e.

See on võrrandi kalle, või see on

kõvera kalle kui x = 1, või punktis 1e või 1f(1)

kõvera kalle kui x = 1, või punktis 1e või 1f(1)

Milline on siis puutujavõrrand?

Lähme edasi ja võtame selle kuju, võrrand on y võrdub, ma lihtsalt kirjutan mx + b , mida te õppisite algebras.

Lähme edasi ja võtame selle kuju, võrrand on y võrdub, ma lihtsalt kirjutan mx + b , mida te õppisite algebras.

Lähme edasi ja võtame selle kuju, võrrand on y võrdub, ma lihtsalt kirjutan mx + b , mida te õppisite algebras.

Lähme edasi ja võtame selle kuju, võrrand on y võrdub, ma lihtsalt kirjutan mx + b , mida te õppisite algebras.

Tõus on seega 2e.

Saime selle siit.

See on tuletis kui x = 1.

2e korda x plus vabaliige.

Kui me leiaksime kust funktsiooni graafik läbib y-telge, oleks kõik valmis.

Kui me leiaksime kust funktsiooni graafik läbib y-telge, oleks kõik valmis.

Siis oleksime me leidnud puutujavõrrandi.

Kuidas me seda teeme?

Kui me teaksime y või x-i kust selle võrrandi graafik

läbi läheb, saaksime me leida b.

Ja me teame x-i ja y-it mis rahuldavad seda võrrandit.

Punkt (1, e).

Punkt millele me üritame puutujavõrrandit leida, eksole?

See on punkt (1, e), see on koht millele me üritame leida puutujavõrrandit.

See on punkt (1, e), see on koht millele me üritame leida puutujavõrrandit.

Ja definitsiooni järgi läbib puutujavõrrand seda punkti.

Ja definitsiooni järgi läbib puutujavõrrand seda punkti.

Asendame need punktid tagasi siia või

selle punkti siia võrrandisse, ja leiame b.

y võrdub e-ga, võrdub 2e, see on lihtsalt tõus selles punktis, korda x, korda 1 plus b.

y võrdub e-ga, võrdub 2e, see on lihtsalt tõus selles punktis, korda x, korda 1 plus b.

See võib teid segadusse ajada, kuna teile tundub et e on tundmatu.

See võib teid segadusse ajada, kuna teile tundub et e on tundmatu.

Ei, see on number, mäletate, nagu pi.

See on number.

Te võite asendada sinna 2.7, aga me ei tee seda sest nii on puhtam.

Te võite asendada sinna 2.7, aga me ei tee seda sest nii on puhtam.

Ja lahendame selle.

Te saate, et e = 2e + b.

Lahutame mõlemalt poolelt 2e.

Te saate b = e - 2e.

b = -e

Nüüd oleme me valmis.

Mis on siis puutujavõrrand?

See on y = (2e)x + b.

Aga b = -e, et võrrand on siis y = (2e)x - e

See on siis puutujavõrrand.

Kui teile ei meeldi need e-d, võite need asendada numbriga 2.7... ja sellest saaks 5 koma midagi, ja sellest -2.7 midagi

Kui teile ei meeldi need e-d, võite need asendada numbriga 2.7... ja sellest saaks 5 koma midagi, ja sellest -2.7 midagi

Kui teile ei meeldi need e-d, võite need asendada numbriga 2.7... ja sellest saaks 5 koma midagi, ja sellest -2.7 midagi

Aga see näeb parem välja

Veendume selles.

Kasutame seda programmi, et veenduda , et see tõesti on puutujavõrrand.

Kasutame seda programmi, et veenduda , et see tõesti on puutujavõrrand.

Trükin selle siia sisse.

See on siis 2 korda e korda x miinus e.

Kujutame selle graafiku.

Siin see on.

Kujutasime graafiku.

Ja see roheline joon, ma teen selle teie jaoks suuremaks.

Ja see roheline joon, ma teen selle teie jaoks suuremaks.

Ja see roheline joon, ma teen selle teie jaoks suuremaks.

Ma ei tea kas see aitab.

Kui te vaatate siia, see punane on meie algne võrrand, x korda e astmel x, see on selle graafik.

Kui te vaatate siia, see punane on meie algne võrrand, x korda e astmel x, see on selle graafik.

Me tahame teada puutujavõrrandit kohal x = 1.

Me tahame teada puutujavõrrandit kohal x = 1.

See on koht x = 1.

Ja kui x =1, siis f(x)=e.

Te võite lihtsalt asendada tagasi algsesse võrrandisse, et seda saada.

See on siis punkt (1, e)

Puutujavõrrandi tõus on tuletis selles kohas.

Puutujavõrrandi tõus on tuletis selles kohas.

Me leidsime selle funktsiooni tuletise ja arvutasime väärtuse kohal x = 1.

Me leidsime selle funktsiooni tuletise ja arvutasime väärtuse kohal x = 1.

Seda me siin tegimegi.

Me leidsime tuletise, arvutasime x =1.

Me ütlesime et tõus, kui x=1 ja y=e, on võrdne 2e.

Me ütlesime et tõus, kui x=1 ja y=e, on võrdne 2e.

Me ütlesime et tõus, kui x=1 ja y=e, on võrdne 2e.

Ja selle leidsime me tuletisest.

Ja siis kasutasime oskusi algebra 1-st et leida selle joone võrrand.

Ja siis kasutasime oskusi algebra 1-st et leida selle joone võrrand.

Kuidas me seda tegime?

Me teadsime kallet, sest tõus on tuletis selles kohas.

Me teadsime kallet, sest tõus on tuletis selles kohas.

Ja siis oli meil lihtsalt vaja leida vabaliige.

Punkt (1, e) on ka sellel rohelisel joonel.

Punkt (1, e) on ka sellel rohelisel joonel.

Me asendasime selle ja leidsime vabaliikme

milleks me saime -e ja pange tähele, et see joon

läbib y-telge -e juures, see on 2.7...

läbib y-telge -e juures, see on 2.7...

Ja siin see ongi.

Me oleme näidanud, ka visuaalselt, et see on puutujavõrrand.

Me oleme näidanud, ka visuaalselt, et see on puutujavõrrand.

Igastahes, loodan, et teil oli sellest vähegi kasu.

Kui oli, peaksite tänama Akosh'i

olemast ebatavaliselt järjekindel ja laskmast mul see probleem lahendada.

Näeme järgmises videos.