Equation of a tangent line

Finding the equation of the line tangent to f(x)=xe^x when x=1

Eu já te contei algumas vezes que a derivada de uma curva

em um certo ponto é a inclinação da linha tangente,

mas nosso amigo, Akosh

me mandou um problema aonde ele precisava achar

a equação da linha tangente

E eu me realizei, que eu nunca tinha feito isso.

Então vale a pena falar disso.

Vamos lá

O problema pede para achar a equação da linha tangente para a

função f de x que é igual a x e elevado à x no ponto x = 1

Então vamos dar uma olhada no que estamos procurando

Essa função vai parecer mais ou menos, na verdade

eu fiz o gráfico, pois não é tão fácil de desenhá-lo

Então, essa é a função xe^x, ela é assim

Eu apenas estou usando uma calculadora de gráficos, e você pode

ver que eu acabei de digitar a função

E a linha que foi pedida

No ponto x, é igual à 1

Portanto, este é o ponto x=1

Para f de x vai ser um lugar aqui, e

na verdade, f de x vai ser igual à e, certo?

Porque f de 1 é igual a que?

1*e^1

Portanto ele é igual a e.

Assim que nós estamos dizendo o ponto, ao ponto 1 vírgula e, assim

o ponto 1 para 2.71, mais ou menos

Então qual o ponto?

Esse aqui

Aqui mesmo.

2 e pouco, fica aqui, o ponto (1,e)

Então precisamos descobrir a equação da

linha tangente à este ponto

Assim é o que vamos fazer, vamos resolvê-lo por

descobrir sua inclinação, que é simplesmente a derivada

naquele ponto

Portanto temos que descobrir a derivada

exatamente neste ponto.

E, em seguida, usamos o que aprendemos com álgebra 1 para descobrir

sua equação e vamos colocar gráfico aqui, apenas para confirmar que

Nós realmente descobrimos a equação da reta tangente.

Portanto, a primeira coisa que queremos saber é a inclinação da

linha tangente, e isso é apenas a derivada nesse ponto.

Quando x=1, no ponto (1,e).

Então, qual é a derivada disso?

Então f' de x.

f' de x é igual a, digamos, essa parece ser

algo para a regra do produto.

Porque nós sabemos como calcular a derivada de x,

nós sabemos como calcular a derivada de e^x, e

eles estão apenas multiplicando um ao outro.

Assim as regras do produto nos ajudam.

A derivada desta coisa vai ser igual a

derivada da primeira expressão da

primeira função.

Então, a derivada de x é 1, multiplicado pela segunda função,

e^x, mais a primeira função, x vezes a

derivada da segunda função.

Então, qual é a derivada de e^x?

E isso é o que eu acho tão legal sobre o número e,

ou e^x, que é a derivada de e^x

é e^x.

A inclinação em qualquer ponto da curva é igual a

valor da própria função.

Essa é a derivada.

Então, qual é a derivada desta função no ponto x=1

ou no ponto (1,e)?

Vamos ver

Dizemos que f' de 1 é igual a 1e^1 + 1*e^1

bem, isso é simplesmente igual e+e.

E isso é claro igual a 2e.

E você sabe que, nós poderíamos descobrir que número, e é apenas

um número constante, mas podemos escrever e porque é mais fácil escrever

e do que 2,71 etc e um número infinito de dígitos,

assim, podemos escrever apenas 2e.

Portanto, este é a inclinação da equação, ou esta é a inclinação

da curva quando x=1, ou no ponto de

1e, ou 1*f(1).

Então, qual é a equação da reta tangente?

Vamos então vá em frente e assumir esta forma, a equação vai

ser y é igual a, eu apenas estou escrevendo isso, você sabe,

não a ponto de inclinação, o mx plus b de formulário que você

aprendi em álgebra.

Para a inclinação vai ser 2e.

Nós apenas aprendemos que aqui.

Que é a derivada quando x é igual a 1.

Assim 2e vezes x plus a intercepção y.

Então, se nós podemos descobrir a intercepção de y do presente

linha, nós somos feitos.

Podemos ter descoberto a equação da reta tangente.

Então, como vamos fazer isso?

Bem, se nós sabíamos um y ou um x onde esta equação

atravessa, nós então poderia resolver para b.

E nós sabemos um y e x que satisfaz essa equação.

O ponto 1 e vírgula.

O ponto onde nós estamos tentando encontrar a reta tangente, certa?

Assim que esta alínea, 1 vírgula e, isso é onde nós queremos

Encontre a reta tangente.

E por definição, a reta tangente está indo

passar por esse ponto.

Então vamos substituir esses pontos em aqui, ou isso

aponte para esta equação e, em seguida, resolver para b.

Então y é igual à e, é igual a 2 e, que é apenas a inclinação em

que ponto, vezes x, vezes 1, além de b.

Ela pode confundir você, porque e, você vai dizer, Ah, e,

que é uma variável?

Não, é um número, lembre-se, é como pi.

É um número.

Você pode substituir 2.7 qualquer lá, mas nós não estamos fazendo

que, porque este é mais limpo.

E vamos resolver.

Assim que você começar e é igual a 2e mais b.

Vamos subtrair 2e de ambos os lados.

Você começ b é igual a e menos 2e.

b é igual a menos e.

Agora estamos a fazer.

O que é a equação da reta tangente?

É y é igual a 2 vezes e x além de b.

Mas b é menos e, por isso é menos e.

Assim, esta é a equação da reta tangente.

Se você não gosta desses tônicas lá, você poderia substituir o

com o número 2,7 et cetera e isso tornaria ponto 5

alguma coisa e isso só seria menos 2,7 algo.

Mas isso parece mais limpa.

E vamos confirmar.

Vamos usar esta calculadora de representação gráfica pouco para confirmar que que

realmente é a equação da reta tangente.

Por isso, gostaria de digitá-la aqui.

Então é 2, 2 vezes e vezes x, direita, que é 2ex menos e.

E deixe-nessa linha de gráfico.

Lá vamos nós.

Gráfico-lo.

E Observe que essa linha, que verde linha, não sei se você

pode, talvez eu preciso fazer isso maior para que ele

mostra-se, mais ousadas.

Não sei se isso ajuda.

Mas se você olhar aqui, então nesse vermelho, este é nosso original

equação, x e x, que é esta curva.

Queremos saber a equação da reta tangente

x é igual a 1.

Portanto, é o ponto x é igual a 1.

E quando x é igual a 1, f de x é e, certo, que você pode apenas

suplente volta na equação original para conseguir isso.

Então este é o ponto, 1 comma e.

Então a equação da reta tangente, sua inclinação vai ser

a derivada nesse ponto.

Então nós resolvido a derivada desta função e avaliados

x é igual a 1.

Isso é o que nós fizemos aqui.

Descobrimos a derivativos, avaliada x for igual a 1.

E então nós dissemos, OK, o declive.

A inclinação em quando x é igual a 1 e y é igual à e, a

inclinação nesse ponto é igual a 2e.

E descobrimos que desde a derivada.

E, em seguida, apenas usamos nossas habilidades de álgebra 1 para descobrir

a equação dessa linha.

E como podemos fazer isso?

Sabíamos que a encosta, porque isso é apenas a derivada

Nesse momento.

E, em seguida, nós apenas temos que resolver para a intercepção de y.

E a maneira que nós fizemos que é que nós disse, bem, o ponto 1 vírgula e

é também nesta linha verde.

Assim nós substituído que em e resolver para nosso y-intercept,

que temos como menos e e aviso que esta linha

intercepta o eixo y em menos e, que é cerca de menos

2.7 algo.

E aí temos.

Já demonstrámos que, e visualmente, ele mostra que

Esta é a reta tangente.

Enfim, espero que você encontrou que vagamente útil.

Se você fez, você deveria agradecer [? Akosh?]

por ser anormalmente persistente e tendo-me a fazer esse problema.

Vejo você no próximo vídeo.