-
-
-
ผมบอกคุณหลายครั้งแล้วว่า อนุพันธ์ของเส้นโค้ง
-
ณ จุดนึง คือความชันของเส้นสัมผัส แต่เพื่อน
-
ของเรา อะโคช
-
ส่งโจทย์ใฟ้ผม โดยเขาอยากให้คุณหา
-
สมการของเส้นสัมผัส
-
และผมก็รู้สึกตัวว่า ผมยังไม่เคยทำมันเลย
-
ดังนั้นมันคุ้มแล้ว
-
มาลองทำดู
-
โจทย์บอกว่า จงหาสมการของเส้นสัมผัส
-
ของ f ของ x เท่ากับ x e กำลัง x ที่ x เท่ากับ 1
-
งั้นลองเข้าใจกันก่อนว่าเรากำลังหาอะไรอยู่
-
ฟังก์ชันนี้จะมีหน้าตาแบบ ที่จริงผม
-
วาดกราฟมาก่อน เพราะมันไม่ใช่ฟังก์ชันง่าย ๆ ที่จะวาดได้
-
งั้นนี่คือ x e กำลัง x มันหนาตาแบบนี้
-
ผมแค่ใช้เครื่องคิดเลขแบบวาดกราฟได้ และคุณก็เห็น
-
ผมแค่พิมพ์มันลง
-
และนี่คือสิ่งที่เขาถามเรา โอเค
-
ณ จุดนั้น x เท่ากับ 1
-
นี่คือจุด x เท่ากับหนึ่ง
-
ดังนั้น f ของ x จะอยู่สักที่ตรงนี้ และที่จริง
-
f ของ x จะเท่ากับ e จริงไหม?
-
เพราะ f ของ 1 เท่ากับอะไร?
-
1 คูณ e กำลัง 1
-
นั่นเท่ากับ e
-
ดังนั้นเรากำลังบอกว่า ณ จุดนั้น ณ จุด 1 ลูกน้ำ e
-
จุด 1 ลูก 2.71 อะไรก็ช่าง
-
นั่นคือจุดไหน?
-
นั่นคือจุดนี้
-
มันอยู่ตรงนี้
-
2 จุด นี่คือ e ตรงนี้ จุด 1 ลูกน้ำ e
-
งั้นที่เราอยากทำคือ หาสมการของเส้น
-
สัมผัสตรงจุดนี้
-
ดังนั้นที่เราจะทำคือ เราจะแก้มันด้วย
-
การหาความชัน ซึ่งก็คืออนุพันธ์
-
ณ จุดนนั้น
-
งั้นเราต้องหาอนุพันธ์ ณ
-
จุดนี้พอดี
-
แล้วเราก็ใช้สิ่งที่เรียนจากพีชคณิต 1 เพื่อหา
-
สมการนี้ และเราจะวาดมัน เพื่อตรวจสอบ
-
ว่าเราหาสมการเส้นสัมผัสได้จริง
-
งั้นสิ่งแรกที่เราอยากรู้คือ ความชันของ
-
เส้นสัมผัส และนั่นก็แค่อนุพันธ์ ณ จุดนี้
-
เมื่อ x เท่ากับ 1 หรือ จุด 1 ลูกน้ำ e
-
แล้วอนุพันธ์ของนี่เป็นเท่าไหร่?
-
f ไพรม์ของ x
-
f ไพรม์ของ x เท่ากับ ทีนี้ นี่ดูเหมือนต้อง
-
ใช้กฏผลคูณ
-
เพราะเรารู้วิธีหาอนุพันธ์ของ x เรารู้
-
วิธีหาอนุพันธ์ของ e กำลัง x
-
และมันคูณกันอยู่
-
ดังนั้นกฏลูกโซ่ช่วยเราได้
-
อนุพันธ์ของสิ่งนี้จะเท่ากับ
-
อนุพันะ์ของพจน์แรกของฟังก์ชัน
-
อันแรก
-
อนุพันธ์ของ x ก็แค่ 1 คูณฟังก์ชันที่สอง
-
คูณ e กำลัง x บวกฟังก์ชันแรก x คูณอนุพันธ์
-
ของฟังก์ชันที่สอง
-
แล้วอนุพันธ์ของ e กำลัง x คืออะไร?
-
และนั่นคือสิ่งที่ผมว่ามันอัศจรรย์มากเกี่ยวกับ e หรือ
-
ฟังก์ชัน e กำลัง x คือว่า อนุพันธ์ของ e
-
กำลัง x เท่ากับ e กำลัง x
-
ความชัน ณ จุดใด ของเส้นโค้งนี้ เท่ากับ
-
ค่าของฟังก์ชันเอง
-
นี่ก็คืออนุพันธ์
-
และอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ ที่ x เท่ากับ 1
-
หรือจุด 1 ลูกน้ำ e เป็นเท่าไหร่?
-
เราก็แค่แทนค่าลงไป
-
เราบอกว่า f ไพรม์ของ a เท่ากับ 1 คูณ e กำลัง 1 บวก 1 คูณ
-
e กำลัง 1 ทีนี้ นั่นก็จะเท่ากับ e กำลัง e
-
และนั่นจะเท่ากับ 2 e
-
และคุณก็รู้ เราสามารถหาเลขนั้นได้ e ก็แค่
-
เลขคงที่ แต่เราเขียน e เพราะมันเขียนง่าย
-
กว่า 2.7 อะไรสักอย่าง ทศนิยมไม่รู้จบพวกนั้น
-
เราแค่เขียน 2e
-
ดังนั้นนี่คือความชันของสมการ หรือนี่คือความชัน
-
ของเส้นโค้งเมื่อ x เท่ากับหนึ่ง หรือ ณ จุด
-
1 e หรือ 1 f ของ 1
-
แล้วสมการของเส้นสัมผัสคืออะไร?
-
ลองทำดูและใช้รูปแบบนี้ สมการจะเป็น
-
y เท่ากับ ผมเขียนมันในรูป คุณก็รู้
-
ไม่ใช่ จุด ความชัน mx บวก b ที่คุณ
-
เรียนในพีชคณิต
-
งั้นความชันจะเป็น 2e
-
เราเพิ่งหามันได้
-
นั่นคืออนุพันธ์เมื่อ x เท่ากับ 1
-
ดังนั้น 2e คูณ x บวก ค่าตัดแกน y
-
ดังนั้นหากเราหาได้ค่าตัดแกน y ของ
-
เส้นตรงนี้ได้ เราก็จบ
-
เราก็หาสมการของเส้นสัมผัสได้
-
แล้วเราจะหามันอย่างไร?
-
ทีนี้ หากเรารู้ y หรือ x ที่สมการนี้
-
ลากผ่าน เราก็แก้หา b ได้
-
และเรารู้ y กับ x คู่หนึ่งที่เป็นไปสมการนี้
-
นั่นคือจุด 1 ลูกน้ำ e
-
จุดที่เราพยายามหาเส้นสัมผัส จริงไหม?
-
ดังนั้นจุดนี้ 1 ลูกน้ำ e นี่คือที่ที่เราอยาก
-
หาเส้นสัมผัส
-
และตามนิยาม เส้นสัมผัสจะเ
-
ผ่านจุดนั้น
-
งั้นลองแทนจุดพวกนี้ลงไป หรือแทนจุดนี้
-
ลงในสมการนนี้ แล้วแก้หา b
-
ดังนั้น y เท่ากับ e เท่ากับ 2 e นั่นก็แค่ความชัน ณ
-
จุดนั้ัน คูณ x คูณ 1 บวก b
-
คุณอาจงง เพราะ e คุณอาจบอกว่า โอ้ e
-
นั่นเป็นตัวแปรหรือเปล่า?
-
ไม่ใช่ มันเป็นตัวเลข จำไว้ เหมือนกับ pi
-
มันเป็นแค่เลข
-
คุณสามารถแทน 2.7 อะไรก็ช่าง แต่เราไม่ทำ
-
เพราะนี่สะอาดกว่า
-
ลองแก้ดู
-
คุณจะได้ e เท่ากับ 2e บวก b
-
ลองลบ 2e จากทั้งสองข้าง
-
คุณจะได้ b เท่ากับ e ลบ 2e
-
b เท่ากับลบ e
-
แล้วก็เสร็จแล้ว
-
สมการของเส้นสัมผัสคืออะไร?
-
มันคือ y เท่ากับ 2 คูณ e x บวก b
-
แต่ b เท่ากับ ลบ e นั่นคือ ลบ e
-
แล้วนี่ก็คือสมการของเส้นสัมผัส
-
หากคุณไม่ชอบ e พวกนี้ คุณสามารถแทนมัน
-
ด้วย 2.7 อะไรสักอย่าง และนี่ควรเป็น 5 จุด
-
อะไรสักอย่าง และนี่ควรเป็น ลบ 2.7 อะไรสักอย่าง
-
แต่นี่ดูเนี๊ยบกว่า
-
และลองตรวจกัน
-
ลองใช้เครื่องคิดเลขวาดกราฟได้อันนี้ เพื่อตรวจว่า
-
นั่นใช้สมการเส้นสัมผัสจริงหรือไม่
-
ขอผมพิมพ์มันลงไปนะ
-
นั่นคือ 2, 2 คูณ e คูณ x ใช่ นั่นคือ 2ex ลบ e
-
ลองวาดกราฟของเส้นตรงนี้กัน
-
ได้แล้ว
-
มันวาดแล้ว
-
และดูไว้ เส้นตรงนั่น เส้นตรงสีเขียว ผมไม่รู้
-
คุณเห็นไหม บางที ผมอาจต้องทำให้ใหญ่หน่อย
-
เส้นหนาหน่อย
-
ผมไม่รู้ว่ามันช่วยหรือเปล่า
-
-
-
แต่หากคุณดูตรงนี้ สีแดงนี่ นี่คือสมการดั้งเดิม
-
x e กำลัง x นั่นคือเส้นโค้งนี่
-
เราอยากรู้สมการของเส้นสัมผัส
-
ที่ x เท่ากับ 1
-
งั้นนี่คือจุด x เท่ากับ 1
-
และเมื่อ x เท่ากับ 1, f ของ x คือ e, ใช่ คุณสามารถแทน
-
มันกลับลงในสมการเดิมและได้ค่ามา
-
งั้นนี่คือจุด 1 ลูกน้ำ e
-
ดังนั้สมการของเส้นสัมผัส ความชันจะ
-
เท่ากับอนุพันธ์ ณ จุดนี้
-
เราได้แก้หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ และแทน
-
ค่าที่ x เท่ากับ 1
-
นั่นคือสิ่งที่เราทำไป
-
เราหาอนุพันธ์ได้ แทนค่าที่ x เท่ากับ 1
-
แล้วเราก็บอกว่า โอเค ความชัน
-
ความชันเมื่อ x เท่ากับ 1 และ y เท่ากับ e
-
ความชัน ณ จุดนั้นเท่ากับ 2e
-
แล้วเราหามันได้จากอนุพันธ์
-
แล้วเราก็ใช้ทักษะจากพีชคณิต 1 หา
-
สมการเส้นตรงนั้น
-
แล้วเราหามายังไงนะ?
-
เรารู้ความชัน เพราะนั่นก็แค่อนุพันะ์
-
ณ จุดนั้น
-
เราก็แค่แก้หาค่าตัดแกน y
-
และวิธีที่เราทำคือ เราบอกว่า จุด 1 ลูกน้ำ e
-
นั้นอยู่บนเส้นตรงสีเขียวเช่นกัน
-
ดังนั้นเราก็แทนมันลงไป แล้วแก้หาค่าตัดแกน y
-
ซึ่งเราได้ ลบ e และสังเกตว่า เส้นตรงนี้
-
ตัดแกน y ที่ลบ e นั่นประมาณ ลบ
-
2.7 อะไรสักอย่าง
-
แล้วเราก็ได้อย่างนั้น
-
เราได้แสดง ด้วยภาพอีกด้วย ว่า
-
นี่คือเส้นสัมผัส
-
เอาล่ะ หวังว่าคุณคงเห็นว่ามันมีประโยชน์นะ
-
หากคุณคิดว่ามีประโยชน์ ก็ขอบคุณอะโคชด้วย
-
ที่ยังอยู่และบอกให้ผมทำโจทย์นี้
-
แล้วพบกันในวิดีโอหน้าครับ
