Teğet doğru denklemi

f(x)=xe^x'e x=1 noktasındaki teğet doğrunun denklemini bulma.

-

Size, pek çok kere, türevin, eğriye bir noktadaki teğetin eğimini verdiğini söylemiştim. Arkadaşım, teğet doğrunun denklemini bulmamızı isteyen bir soru göndermiş.

-

-

-

-

Böyle bir soru çözmediğimin farkına vardım.

O yüzden, soruyu çözmemiz faydalı olur.

-

f x eşittir x e üzeri x fonksiyonuna, x eşittir 1'deki teğet doğrunun denklemini bulunuz.

-

Şimdi, ne yapacağımızın mantığı hakkında biraz konuşalım.

Fonksiyonumuzun grafiğini çizdim, çünkü çok basit olmayan bir fonksiyon.

-

x e üzeri x'in grafiği böyle.

Grafikli hesap makinesi kullanıyorum, fonksiyonun ifadesini yazdığımı görebiliyorsunuz.

-

-

x eşittir 1 noktasında.

Burası, x eşittir 1 noktası.

f x şuralarda bir yerde olacak ve f değeri e'ye eşit olacak, öyle değil mi?

-

f 1 nedir?

1 çarpı e üzeri 1. Eşittir e.

-

Yani, 1, e noktasında veya 1, 2.71 noktasında, diyoruz.

-

-

-

Şuradaki nokta.

1, e noktası.

Bu noktadaki teğetin denklemini bulmak istiyoruz.

-

Önce eğimini, yani bu noktadaki türevini bulacağız.

-

-

Tam olarak bu noktadaki türevini bulmamız gerekiyor.

-

Sonra da, cebir dersinde öğrendiğimiz gibi, denklemini buluruz.

Buraya çizerek, teğet denklemini bulduğumuzu doğrulamış oluruz.

-

İlk olarak, teğetin eğimini bulmamız gerekiyor. O da, bu noktadaki türev.

-

x eşittir 1'deki veya 1, e noktasındaki türev.

Peki, bunun türevi nedir?

f üssü x.

f üssü x eşittir, çarpım kuralı gerekecek.

-

Çünkü x'in ve e üzeri x'in türevini biliyoruz, ve bu ikisinin çarpımı verilmiş.

-

-

Çarpım kuralı işimizi görür.

Bunun türevi eşittir, birinci ifadenin türevi. x'in türevi 1, çarpı ikinci ifade, e üzeri x, artı birinci ifade, x, çarpı, ikinci ifadenin türevi.

-

-

-

-

-

e üzeri x'in türevi nedir?

İşte, e sayısının inanılmaz tarafı, e üzeri x fonksiyonunun türevinin e üzeri x olması.

-

-

Bu eğrinin herhangi bir noktasındaki eğim, fonksiyon değerine eşit.

-

Türevi bu.

O zaman, bu fonksiyonun, x eşittir 1'deki veya 1, e noktasındaki türevi nedir?

-

Değerini bulalım.

f üssü 1 eşittir 1 çarpı e üzeri 1 artı e üzeri 1. Bu da eşittir e artı e, yani 2 e.

-

-

Bunun değerini bulabiliriz, ama 2.7 ve sonsuz sayıda rakam yazacağımıza, e olarak daha kolay ifade ediyoruz. O yüzden 2 e diyoruz.

-

-

-

Bu, denklemin eğimi. Bu, x eşittir 1'deki, veya 1, f 1 noktasındaki teğetin eğimi.

-

-

O zaman, teğet doğrunun eğimi nedir?

Nokta eğim formülü yerine, cebirde öğrendiğimiz, y eşittir m x artı b şeklinde yazayım.

-

-

-

Eğim 2 e olacak.

Bunu burada bulduk.

x eşittir 1 için türev buydu.

2 e çarpı x artı y kesim noktası.

Bu doğrunun y kesim noktasını bulursak, soruyu bitirmiş olacağız.

-

Teğet doğrunun denklemini bulmuş olacağız.

-

Doğrunun üzerinde bir x, y noktası bilsek, b'yi bulabiliriz.

-

1, e noktasının bu denklemi sağladığını biliyorum.

-

Teğet doğrusunun teğet olduğu nokta, öyle değil mi?

1, e noktasındaki teğet doğrusunu buluyoruz.

-

Ve tanımından dolayı, teğet doğru bu noktadan geçmek zorunda.

-

Bu noktayı denkleme koyarak, b'yi bulalım.

-

y eşittir e, eşittir 2 e, bu noktadaki eğim, çarpı x, çarpı 1, artı b.

-

e'yi değişken sanarsanız kafanız karışabilir.

-

Sayı olduğunu unutmayın, aynen Pi gibi bir sayı.

-

İsterseniz 2.7 falan koyun, ama bunu yapmak istemiyoruz, çünkü e olarak bırakmak daha derli toplu oluyor.

-

Şimdi b'yi bulalım.

e eşittir 2 e artı b.

İki taraftan 2 e çıkaralım.

b eşittir e eksi 2 e, elde ederiz.

b eşittir eksi e.

Şimdi bitti.

Teğet doğrunun denklemi nedir?

y eşittir 2 çarpı e x artı b. b eşittir eksi e, yani eksi e.

-

Teğet doğrunun denklemi böyle.

Bu e'leri beğenmezseniz, yerlerine 2.7 vesaire koyabilirsiniz. O zaman, bu 5 nokta bir şey olurdu, bu da eksi 2.7 vesaire olurdu.

-

-

Ama, bu, daha düzgün görünüyor.

Şimdi bunu doğrulayalım.

Grafikli hesap makinesiyle, bu denklemin teğet doğrusuna ait olduğunu doğrulayalım.

-

Denklemi buraya yazayım.

2 e çarpı x eksi e.

Bu doğrunun grafiğini çizelim.

Tamam.

Çizdik.

Şu yeşil doğruya bakın. Belki de görmeniz için daha kalınlaştırmam veya büyütmem gerekecek.

-

-

Faydası oldu mu, bilmiyorum.

-

Bu kırmızı eğri, x e üzeri x, idi

-

x eşittir 1'deki teğet doğrunun denklemini bulmak istemiştik.

-

x eşittir 1'deki nokta.

x 1 ise, f x eşittir e. Orijinal fonksiyona 1 koyup, bu değeri bulabilirsiniz.

-

Bu nokta, 1, e noktası.

Teğet doğrunun denklemi için, eğim, bu noktadaki türev olacak.

-

Fonksiyonun türevini aldık ve x eşittir 1 için değerini bulduk.

-

Burada, bunları yaptık.

Türevi bulduk, x eşittir 1 için türevin değerini bulduk.

Bu eğimdir, dedik.

x eşittir 1 ve y eşittir e noktasındaki eğim, 2 e.

-

Bunu türevden bulduk.

Sonra da, cebir becerilerimizi kullanarak, doğrunun denklemini bulduk.

-

Bunu nasıl yaptık?

Eğimi biliyoruz, çünkü eğim, verilen noktadaki türeve eşit.

-

Sadece, y kesim noktasını bulmamız gerekiyordu.

1, e noktası yeşil doğrunun üstündedir, dedik.

-

Koordinatları denkleme koyup, y kesim noktasını eksi e olarak bulduk. Dikkat ederseniz, bu doğru y eksenini eksi e'de kesiyor. Yani, eksi 2.7 vesaire.

-

-

-

Çözüm işte böyle.

Görsel olarak da, bu doğrunun teğet olduğunu gösterdik.

-

Umarım, bunu faydalı bulmuşsunuzdur.

Faydalı bulduysanız, arkadaşıma, bu soruyu çözmemdeki ısrarı için teşekkür etmelisiniz.

-

Bir sonraki videoda görüşmek üzere.