切线的方程式
-
0:00 - 0:01-
-
0:01 - 0:05我已说过很多次导数曲线
-
0:05 - 0:08在一个点是切线的斜率，但是我们
-
0:08 - 0:10的朋友 [Akosh]
-
0:10 - 0:13发送我一个问题要我找出
-
0:13 - 0:14切线的方程。
-
0:14 - 0:16然后我发现，我从来没有尝试过这个问题。
-
0:16 - 0:17所以是值得一试。
-
0:17 - 0:18来，我们一起尝试。
-
0:18 - 0:21我们要找出切线方程
-
0:21 - 0:35函数f(x)等于xe的功率为x当x等于1。
-
0:35 - 0:37来，我们给自己一个概念我们要找什么。
-
0:37 - 0:41这个函数将会看起来像，其实我
-
0:41 - 0:44已绘出来，因为这个不是一个琐细的函数。
-
0:44 - 0:47xe的功率为x将会看起来像这个。
-
0:47 - 0:49我只是使用图形计算器，你可以
-
0:49 - 0:51看，我才输入进去。
-
0:51 - 0:53我们要找出
-
0:53 - 0:54在x=1的点上
-
0:54 - 0:56这个是x等于1的点。
-
0:56 - 0:59所以函数f（x）将会在这上边，
-
0:59 - 1:03然后，函数f（x）将等于e，对吧？
-
1:03 - 1:08因为函数f（1）等于什么？
-
1:08 - 1:101乘e的功率为1。
-
1:10 - 1:11所以等于e。
-
1:11 - 1:15所以我们说在坐标（1，e） 或
-
1:15 - 1:18坐标(1,2.71), 神马神马。
-
1:18 - 1:19所以这个是什么点？
-
1:19 - 1:21就是这个点。
-
1:21 - 1:22所以是在这里。
-
1:22 - 1:26两个点，e在这儿，坐标（1，e）
-
1:26 - 1:29现在我们要找出
-
1:29 - 1:32这个点的切线方程。
-
1:32 - 1:34我们要做的是
-
1:34 - 1:36找出它的坡度，也就是这个点的
-
1:36 - 1:36导数。
-
1:36 - 1:38我们必须找出这个点
-
1:38 - 1:39准确的导数。
-
1:39 - 1:41我们使用我们从代数学1所学过的来解决
-
1:41 - 1:44这个方程，我将会绘出图形，为了确保
-
1:44 - 1:48我们找出切线的方程。
-
1:48 - 1:51第一件是我们必须找出 这个切线
-
1:51 - 1:55的坡度，也就是中这个点的导数。
-
1:55 - 1:58当x等于1，或在坐标（1，e）。
-
1:58 - 2:00那么这个的导数是？
-
2:00 - 2:03f的导函数。
-
2:03 - 2:07f的导函数，看起来像
-
2:07 - 2:09使用乘积法则。
-
2:09 - 2:11由于我们知道如何找出f的导函数
-
2:11 - 2:13我们也知道导数e功率为x，
-
2:13 - 2:14他们只是相乘。
-
2:14 - 2:16所欲乘积法则帮了我们。
-
2:16 - 2:18这个的导数等于
-
2:18 - 2:20第一个表达式的
-
2:20 - 2:21导函数。
-
2:21 - 2:26导函数x只是1乘以第二个函数，
-
2:26 - 2:32乘以e功率为x，加第一个函数，x，乘以
-
2:32 - 2:34第二个导函数。
-
2:34 - 2:36导函数e功率为x是什么？
-
2:36 - 2:40这就是为什么我觉得数字e的奇妙
-
2:40 - 2:42函数e功率为x是导函数e
-
2:42 - 2:44功率为x是e功率为x。
-
2:44 - 2:46这个图形的任何一个点的坡度等于
-
2:46 - 2:48这个函数的值。
-
2:48 - 2:50这个就是导函数。
-
2:50 - 2:53x点的导函数是什么？
-
2:53 - 2:56是等于1，或者在坐标（1，e）
-
2:56 - 2:57我们才鉴定它。
-
2:57 - 3:06我们说导函数f（1）等于1乘以e功率为1加1乘以
-
3:06 - 3:11e功率为1，也就是e加e。
-
3:11 - 3:15也等于2e。
-
3:15 - 3:17你知道我们可以找出那个数字，e
-
3:17 - 3:20只是一个定数，因为e比较容易写
-
3:20 - 3:24相对于2.7等，是一个无限数字，
-
3:24 - 3:25所以我们只需写2e。
-
3:25 - 3:29这个方程的坡度，或者这个是
-
3:29 - 3:32这个曲线的坡度当x等于1，或在
-
3:32 - 3:351e点上，或f（1）
-
3:35 - 3:39这个切线的方程是什么？
-
3:39 - 3:41一起继续使用这个形式，这个方程将会是
-
3:41 - 3:45y等于，我只是写进去，你知道，
-
3:45 - 3:49不是那个斜截法，那个mx加b形式
-
3:49 - 3:50在代数所学过。
-
3:50 - 3:53坡度将会是2e。
-
3:53 - 3:53我们才学。
-
3:53 - 3:56当导函数的x=1。
-
3:56 - 4:022e 乘以x加y-截距。
-
4:02 - 4:04如果我们可以找出这条线的y-截距
-
4:04 - 4:05我们便完成了。
-
4:05 - 4:09我们已找出这切线的方程。
-
4:09 - 4:11我们怎么找呢？
-
4:11 - 4:14好的，如果我们知道一个y 或一个x 穿过这个
-
4:14 - 4:16方程，我们就可以找到b。
-
4:16 - 4:20我们知道一个y和x能够满足这个方程。
-
4:20 - 4:22是坐标（1，e）。
-
4:22 - 4:26那个点我们尝试找出那个切线，对吧？
-
4:26 - 4:28坐标（1，e）是我们
-
4:28 - 4:30要找的切线。
-
4:30 - 4:31在定义上，切线将
-
4:31 - 4:33穿过那个点。
-
4:33 - 4:37所以就替换那些点在这儿，
-
4:37 - 4:41或这个点在这个方程，然后找出b。
-
4:41 - 4:48所以y等于e，也等于2e，也就是
-
4:48 - 4:52坡度在那个点，乘以x，乘1加b。
-
4:52 - 4:56这个或许会使你混淆，因为e，你会说e，
-
4:56 - 4:56e是不是一个变数？
-
4:56 - 4:58不是e是一个变数就像圆周率。
-
4:58 - 4:58是一个数字。
-
4:58 - 5:01你可以用2.7取代e，不过今天我将不会做这样。
-
5:01 - 5:02因为这样比较整齐。
-
5:02 - 5:03现在来解决。
-
5:03 - 5:08你得到e等于2e加b。
-
5:08 - 5:10在各边减去2e。
-
5:10 - 5:13你得到b等于e-2e。
-
5:13 - 5:16b等于-e
-
5:16 - 5:17我们完成了。
-
5:17 - 5:22切线的方程是什么？
-
5:22 - 5:30是y等于2乘以ex加b。
-
5:30 - 5:33但是b是-e，所以是-e。
-
5:33 - 5:36这个就是切线的方程。
-
5:36 - 5:38如果你不喜欢e在这儿，你可以2.7...
-
5:38 - 5:41取代它，这个就会变成5点多，
-
5:41 - 5:44这个则为2.7...
-
5:44 - 5:45但是这个较为整齐。
-
5:45 - 5:46现在来确定。
-
5:46 - 5:50一起使用图形计算机机确定那个
-
5:50 - 5:53是切线的方程。
-
5:53 - 5:55让我在此输入。
-
5:55 - 6:13所以是2，2乘以ex，这个是2ex减e。
-
6:13 - 6:17然我们来绘这线。
-
6:17 - 6:18看吧。
-
6:18 - 6:19是对的。
-
6:19 - 6:23你会发现，那青线，我不懂你知不知道，
-
6:23 - 6:25或许我要放大这线
-
6:25 - 6:27比较清楚，深色一点。
-
6:27 - 6:28我不懂这有没有用。
-
6:28 - 6:31-
-
6:31 - 6:34但是看这里，这个红的，是我们原本
-
6:34 - 6:37的方程，xe的功率为x，那个曲线。
-
6:37 - 6:41我们要知道那个切线的方程
-
6:41 - 6:43在x=1
-
6:43 - 6:44就是在x等于1的点上。
-
6:44 - 6:48当x等于1，函数x是e，你可以
-
6:48 - 6:50替代回原来的方程来取得那个。
-
6:50 - 6:53所以这就是那个点（1，e）。
-
6:53 - 6:55那个切线的方程，它的坡度将会是
-
6:55 - 6:57那个点的导函数。
-
6:57 - 7:00所以我们解决了这个导函数，
-
7:00 - 7:03而找到当x等于1。
-
7:03 - 7:04这是我们之前所做的。
-
7:04 - 7:07我们找到它的导函数，评估x=1。
-
7:07 - 7:10所以我们说那个坡度。
-
7:10 - 7:16那个坡度当x=1以及y=e，
-
7:16 - 7:19那个坡度在那个点等于2e。
-
7:19 - 7:21我们也从那个导函数里找到。
-
7:21 - 7:24之后我们只需使用我们的代数知识来
-
7:24 - 7:25解决这个线的方程。
-
7:25 - 7:26我们怎么做呢？
-
7:26 - 7:28我们知道那个坡度，因为它只是那点
-
7:28 - 7:29的导函数。
-
7:29 - 7:33然后我们只需找出y-截距。
-
7:33 - 7:36我们所做的就是我们所说的，坐标（1，e）
-
7:36 - 7:38也在青线上。
-
7:38 - 7:41我们取代这个点进，然后找出y-截距。
-
7:41 - 7:44我们得到-e，主义这线
-
7:44 - 7:47交接y轴在-e，
-
7:47 - 7:48差不多是2.7左右。
-
7:48 - 7:49这就是。
-
7:49 - 7:53我们已经以图形证明。
-
7:53 - 7:55图形证明这是那个切线。
-
7:55 - 7:59希望你觉得这个能帮到你。
-
7:59 - 8:01如果有，你要给感谢 [?Akosh?]
-
8:01 - 8:05努力不懈让我回答这题。
-
8:05 - 8:07下个短片再见。
|
tmunchan added a translation |