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Equation of a tangent line

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    我已說過很多次曲線的導數
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    在一個點是切線的斜率，但是我們
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    的朋友 [Akosh]
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    發送我一個問題要我找出
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    切線的方程。
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    然後我發現，我從來沒有嘗試過這個問題。
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    所以是值得一試。
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    來，我們一起嘗試。
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    我們要找出切線方程
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    函數f(x)等於xe^x 在x=1。
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    來，我們要對我們要找什麼有一個概念
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    這個函數將會看起來像，其實我
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    已繪出來，因為這個不是一個很簡單能畫出來的
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    xe^x 會看起來像這個。
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    我只是使用圖形計算器，你可以
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    看，我才輸入進去。
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    我們要找出
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    在x=1的點上
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    這個是x等於1的點。
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    所以函數f（x）將會在這上邊，
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    然後，函數f（x）將等於e，對吧？
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    因為函數f（1）等於什麼？
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    1乘e^1
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    所以等於e。
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    所以我們說在坐標（1，e） 或
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    坐標(1,2.71~~)。
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    所以這個是什麼點？
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    就是這個點。
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    在這裡。
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    2點...，這是e的位置，坐標（1，e）
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    現在我們要找出
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    這個點的切線方程。
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    我們要做的是
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    找出它的斜率，也就是這個點的
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    導數。
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    我們必須找出這個點
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    準確的導數。
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    我們使用我們從代數學1所學過的來解決
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    這個方程，我將會繪出圖形，為了確保
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    我們找出切線的方程。
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    第一件是我們必須找出 這個切線
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    的斜率，也就是中這個點的導數。
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    當x等於1，或在坐標（1，e）。
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    那麼這個的導數是？
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    f的導數。
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    f的導數，看起來像
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    使用連鎖率。
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    由於我們知道如何找出x的導數
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    我們也知道e^x的導數，
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    他們只是相乘。
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    所以連鎖率告訴我們
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    這個的導數等於
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    第一個函數的表達式的
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    導數。
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    x的導數是1 乘以第二個函數，
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    乘以e^x，加第一個函數，x，乘以
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    第二個函數的導數。
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    導函數e功率為x是什麼？
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    這就是為什麼我覺得數字e或是函數e^x的奇妙
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    或是函數e^x的奇妙，e^x的導數
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    是e^x。
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    這個圖形的任何一個點的斜率等於
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    這個函數的值。
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    這個就是導數。
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    x=1或者在坐標（1，e）的導數是什麼？
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    我們來算算看。
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    我們說f（1）的導數等於1乘以e^1 加1乘以
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    e^1，也就是e加e。
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    也等於2e。
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    你知道我們可以找出那個數字，e
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    只是一個定數，因為e比較容易寫
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    相對於2.7等等，是一個無限小數，
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    所以我們只需寫2e。
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    這個方程的斜率，或者是
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    這個曲線當x等於1的斜率，或在
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    (1,e)點上，或f（1）
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    這個切線的方程是什麼？
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    一起繼續使用這個形式，這個方程將會是
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    y等於，我只是寫進去，你知道，
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    不是那個斜截式，那個mx加b形式
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    在代數所學過。
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    斜率將會是2e。
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    我們剛學過
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    當x=1導數
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    2e乘以x 加y截距。
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    如果我們可以找出這條線的y截距
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    我們便完成了。
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    我們已找出這切線的方程。
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    我們怎麼找呢？
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    好的，如果我們知道一個y 或一個x 穿過這個
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    方程，我們就可以找到b。
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    我們知道一個y和x能夠滿足這個方程。
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    是點（1，e）。
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    那個點我們嘗試找出那個切線，對吧？
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    坐標（1，e）是我們
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    要找的切線。
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    在定義上，切線將
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    穿過那個點。
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    所以就在這兒替換那些點
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    或這個點代入這個方程，然後找出b。
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    所以y等於e，等於2e，也就是
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    那個點的斜率，乘以x，乘1加b。
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    這個或許會使你混淆，因為e，你會說e，
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    e是不是一個變數？
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    不是，e是一個數字，就像圓周率。
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    是一個數字。
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    你可以用2.7取代e，不過今天我將不會做這樣。
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    因為這樣比較整齊。
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    現在來解題
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    你得到e等於2e加b。
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    在各邊減去2e。
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    你得到b等於e-2e。
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    b等於-e
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    我們完成了。
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    切線的方程是什麼？
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    是y等於2乘e x 加b。
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    但是b是-e，所以是-e。
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    這個就是切線的方程。
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    如果你不喜歡e在這兒，你可以2.7~~
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    取代它，這個就會變成5點多，
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    這個則為2.7多
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    但是這個較為整齊。
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    現在來確定。
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    一起使用圖形計算機機確定那個
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    是切線的方程。
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    讓我在此輸入。
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    所以是2，2乘以e乘以x，這個是2e x減e。
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    然我們來畫這條線。
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    有了
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    它畫出來了。
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    你會發現，那綠線，我不知道你看不看的到，
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    或許我要放大這線
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    比較清楚，深色一點。
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    我不知道這有沒有用。
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    但是看這裡，這個紅的，是我們原本
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    的方程，xe^x，那個曲線。
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    我們要知道方程式在x=1的
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    切線的方程
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    就是在x等於1的點上。
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    當x等於1，函數x是e，你可以
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    代回原來的方程來得到那個。
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    所以這就是那個點（1，e）。
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    那個切線的方程，它的斜率將會是
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    那個點的導數。
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    所以我們解決了這個導數，
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    而找到當x等於1。
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    這是我們之前所做的。
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    我們找到它的導數在x=1。
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    所以我們說，OK，那個斜率。
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    那個斜率當x=1以及y=e，
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    那個斜率在那個點等於2e。
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    我們也從那個導數裡找到。
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    之後我們只需使用我們的代數知識來
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    解決這個線的方程。
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    我們怎麼做呢？
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    我們知道那個斜率，因為它只是那點
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    的導數。
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    然後我們只需找出y截距。
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    我們所做的就是我們所說的，坐標（1，e）
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    也在綠線上。
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    我們代這個點進去，然後找出y截距。
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    我們得到-e，注意這條線
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    交y軸在-e，
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    差不多是-2.7左右。
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    這就是了
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    我們已經證明了。
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    用圖形證明這是那個切線。
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    希望你覺得這個能幫到你。
  • 7:59 - 8:01
    如果有，你要給感謝 [?Akosh?]
  • 8:01 - 8:05
    努力不懈讓我回答這題。
  • 8:05 - 8:07
    下個短片再見。
Title:
Equation of a tangent line
Description:

Finding the equation of the line tangent to f(x)=xe^x when x=1
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Video Language:
English
Duration:
08:07
炫儒 陳 added a translation

Chinese, Traditional (Hong Kong) subtitles

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