Equation of a tangent line
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0:00 - 0:01-
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0:01 - 0:05我已說過很多次曲線的導數
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0:05 - 0:08在一個點是切線的斜率,但是我們
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0:08 - 0:10的朋友 [Akosh]
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0:10 - 0:13發送我一個問題要我找出
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0:13 - 0:14切線的方程。
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0:14 - 0:16然後我發現,我從來沒有嘗試過這個問題。
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0:16 - 0:17所以是值得一試。
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0:17 - 0:18來,我們一起嘗試。
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0:18 - 0:21我們要找出切線方程
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0:21 - 0:35函數f(x)等於xe^x 在x=1。
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0:35 - 0:37來,我們要對我們要找什麼有一個概念
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0:37 - 0:41這個函數將會看起來像,其實我
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0:41 - 0:44已繪出來,因為這個不是一個很簡單能畫出來的
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0:44 - 0:47xe^x 會看起來像這個。
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0:47 - 0:49我只是使用圖形計算器,你可以
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0:49 - 0:51看,我才輸入進去。
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0:51 - 0:53我們要找出
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0:53 - 0:54在x=1的點上
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0:54 - 0:56這個是x等於1的點。
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0:56 - 0:59所以函數f(x)將會在這上邊,
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0:59 - 1:03然後,函數f(x)將等於e,對吧?
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1:03 - 1:08因為函數f(1)等於什麼?
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1:08 - 1:101乘e^1
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1:10 - 1:11所以等於e。
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1:11 - 1:15所以我們說在坐標(1,e) 或
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1:15 - 1:18坐標(1,2.71~~)。
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1:18 - 1:19所以這個是什麼點?
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1:19 - 1:21就是這個點。
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1:21 - 1:22在這裡。
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1:22 - 1:262點...,這是e的位置,坐標(1,e)
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1:26 - 1:29現在我們要找出
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1:29 - 1:32這個點的切線方程。
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1:32 - 1:34我們要做的是
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1:34 - 1:36找出它的斜率,也就是這個點的
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1:36 - 1:36導數。
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1:36 - 1:38我們必須找出這個點
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1:38 - 1:39準確的導數。
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1:39 - 1:41我們使用我們從代數學1所學過的來解決
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1:41 - 1:44這個方程,我將會繪出圖形,為了確保
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1:44 - 1:48我們找出切線的方程。
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1:48 - 1:51第一件是我們必須找出 這個切線
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1:51 - 1:55的斜率,也就是中這個點的導數。
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1:55 - 1:58當x等於1,或在坐標(1,e)。
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1:58 - 2:00那麼這個的導數是?
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2:00 - 2:03f的導數。
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2:03 - 2:07f的導數,看起來像
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2:07 - 2:09使用連鎖率。
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2:09 - 2:11由於我們知道如何找出x的導數
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2:11 - 2:13我們也知道e^x的導數,
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2:13 - 2:14他們只是相乘。
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2:14 - 2:16所以連鎖率告訴我們
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2:16 - 2:18這個的導數等於
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2:18 - 2:20第一個函數的表達式的
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2:20 - 2:21導數。
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2:21 - 2:26x的導數是1 乘以第二個函數,
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2:26 - 2:32乘以e^x,加第一個函數,x,乘以
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2:32 - 2:34第二個函數的導數。
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2:34 - 2:36導函數e功率為x是什麼?
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2:36 - 2:40這就是為什麼我覺得數字e或是函數e^x的奇妙
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2:40 - 2:42或是函數e^x的奇妙,e^x的導數
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2:42 - 2:44是e^x。
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2:44 - 2:46這個圖形的任何一個點的斜率等於
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2:46 - 2:48這個函數的值。
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2:48 - 2:50這個就是導數。
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2:50 - 2:53x=1或者在坐標(1,e)的導數是什麼?
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2:53 - 2:56
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2:56 - 2:57我們來算算看。
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2:57 - 3:06我們說f(1)的導數等於1乘以e^1 加1乘以
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3:06 - 3:11e^1,也就是e加e。
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3:11 - 3:15也等於2e。
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3:15 - 3:17你知道我們可以找出那個數字,e
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3:17 - 3:20只是一個定數,因為e比較容易寫
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3:20 - 3:24相對於2.7等等,是一個無限小數,
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3:24 - 3:25所以我們只需寫2e。
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3:25 - 3:29這個方程的斜率,或者是
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3:29 - 3:32這個曲線當x等於1的斜率,或在
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3:32 - 3:35(1,e)點上,或f(1)
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3:35 - 3:39這個切線的方程是什麼?
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3:39 - 3:41一起繼續使用這個形式,這個方程將會是
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3:41 - 3:45y等於,我只是寫進去,你知道,
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3:45 - 3:49不是那個斜截式,那個mx加b形式
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3:49 - 3:50在代數所學過。
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3:50 - 3:53斜率將會是2e。
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3:53 - 3:53我們剛學過
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3:53 - 3:56當x=1導數
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3:56 - 4:022e乘以x 加y截距。
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4:02 - 4:04如果我們可以找出這條線的y截距
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4:04 - 4:05我們便完成了。
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4:05 - 4:09我們已找出這切線的方程。
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4:09 - 4:11我們怎麼找呢?
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4:11 - 4:14好的,如果我們知道一個y 或一個x 穿過這個
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4:14 - 4:16方程,我們就可以找到b。
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4:16 - 4:20我們知道一個y和x能夠滿足這個方程。
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4:20 - 4:22是點(1,e)。
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4:22 - 4:26那個點我們嘗試找出那個切線,對吧?
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4:26 - 4:28坐標(1,e)是我們
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4:28 - 4:30要找的切線。
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4:30 - 4:31在定義上,切線將
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4:31 - 4:33穿過那個點。
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4:33 - 4:37所以就在這兒替換那些點
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4:37 - 4:41或這個點代入這個方程,然後找出b。
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4:41 - 4:48所以y等於e,等於2e,也就是
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4:48 - 4:52那個點的斜率,乘以x,乘1加b。
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4:52 - 4:56這個或許會使你混淆,因為e,你會說e,
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4:56 - 4:56e是不是一個變數?
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4:56 - 4:58不是,e是一個數字,就像圓周率。
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4:58 - 4:58是一個數字。
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4:58 - 5:01你可以用2.7取代e,不過今天我將不會做這樣。
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5:01 - 5:02因為這樣比較整齊。
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5:02 - 5:03現在來解題
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5:03 - 5:08你得到e等於2e加b。
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5:08 - 5:10在各邊減去2e。
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5:10 - 5:13你得到b等於e-2e。
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5:13 - 5:16b等於-e
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5:16 - 5:17我們完成了。
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5:17 - 5:22切線的方程是什麼?
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5:22 - 5:30是y等於2乘e x 加b。
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5:30 - 5:33但是b是-e,所以是-e。
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5:33 - 5:36這個就是切線的方程。
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5:36 - 5:38如果你不喜歡e在這兒,你可以2.7~~
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5:38 - 5:41取代它,這個就會變成5點多,
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5:41 - 5:44這個則為2.7多
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5:44 - 5:45但是這個較為整齊。
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5:45 - 5:46現在來確定。
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5:46 - 5:50一起使用圖形計算機機確定那個
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5:50 - 5:53是切線的方程。
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5:53 - 5:55讓我在此輸入。
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5:55 - 6:13所以是2,2乘以e乘以x,這個是2e x減e。
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6:13 - 6:17然我們來畫這條線。
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6:17 - 6:18有了
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6:18 - 6:19它畫出來了。
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6:19 - 6:23你會發現,那綠線,我不知道你看不看的到,
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6:23 - 6:25或許我要放大這線
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6:25 - 6:27比較清楚,深色一點。
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6:27 - 6:28我不知道這有沒有用。
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6:28 - 6:31-
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6:31 - 6:34但是看這裡,這個紅的,是我們原本
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6:34 - 6:37的方程,xe^x,那個曲線。
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6:37 - 6:41我們要知道方程式在x=1的
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6:41 - 6:43切線的方程
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6:43 - 6:44就是在x等於1的點上。
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6:44 - 6:48當x等於1,函數x是e,你可以
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6:48 - 6:50代回原來的方程來得到那個。
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6:50 - 6:53所以這就是那個點(1,e)。
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6:53 - 6:55那個切線的方程,它的斜率將會是
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6:55 - 6:57那個點的導數。
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6:57 - 7:00所以我們解決了這個導數,
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7:00 - 7:03而找到當x等於1。
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7:03 - 7:04這是我們之前所做的。
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7:04 - 7:07我們找到它的導數在x=1。
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7:07 - 7:10所以我們說,OK,那個斜率。
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7:10 - 7:16那個斜率當x=1以及y=e,
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7:16 - 7:19那個斜率在那個點等於2e。
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7:19 - 7:21我們也從那個導數裡找到。
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7:21 - 7:24之後我們只需使用我們的代數知識來
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7:24 - 7:25解決這個線的方程。
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7:25 - 7:26我們怎麼做呢?
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7:26 - 7:28我們知道那個斜率,因為它只是那點
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7:28 - 7:29的導數。
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7:29 - 7:33然後我們只需找出y截距。
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7:33 - 7:36我們所做的就是我們所說的,坐標(1,e)
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7:36 - 7:38也在綠線上。
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7:38 - 7:41我們代這個點進去,然後找出y截距。
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7:41 - 7:44我們得到-e,注意這條線
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7:44 - 7:47交y軸在-e,
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7:47 - 7:48差不多是-2.7左右。
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7:48 - 7:49這就是了
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7:49 - 7:53我們已經證明了。
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7:53 - 7:55用圖形證明這是那個切線。
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7:55 - 7:59希望你覺得這個能幫到你。
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7:59 - 8:01如果有,你要給感謝 [?Akosh?]
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8:01 - 8:05努力不懈讓我回答這題。
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8:05 - 8:07下個短片再見。