GAN CAP01 2025 VA05 APLICACAO EM PYTHON

Agora que você já sabe o que é
um modelo de IA generativa,

nós vamos dar um mergulho
mais profundo e começar a ver

como podemos implementar
esses modelos na prática.

Para isso, precisamos conhecer
a base desses modelos.

A base para modelos
de IA generativas

são redes neurais artificiais,

e a base para redes neurais
artificiais é álgebra linear.

Então, nesse laboratório, veremos
uma revisão sobre a álgebra linear

utilizando a biblioteca
NumPy do Python.

Álgebra linear, basicamente, é
como podemos fazer operações

com vetores e matrizes.

Então, para começar
esse laboratório,

a gente vai começar a relembrar
um pouco sobre vetores

e ver como podemos representar
esses vetores no Python.

Para isso, vamos utilizar
a biblioteca NumPy do Python.

Essa biblioteca é especializada
em cálculo numérico e álgebra linear,

então é a principal biblioteca
do Python para esse fim.

Então, vamos começar o código
mportando essa biblioteca

para dentro do código.

Então "import numpy as np".

Bom, para definir
um vetor no NumPy,

eu posso utilizar o módulo
"array" do NumPy.

Então, se eu criar
um "vetor_a = np.array"

e passar uma lista
de valores para ele,

ele vai criar
um vetor para mim.

Se eu quiser criar
um segundo vetor, "b",

eu também posso
utilizar o mesmo código.

Então, "np.array", vou passar
uma lista de valores

e será criado um array, ou um vetor,
e associado à variável "vetor_b".

Nesse código aqui, vamos
criar dois vetores, "A" e "B",

e vamos printar
esses vetores.

Então, aqui nas respostas,
vetor A e vetor B,

da forma como a gente
criou anteriormente,

e as dimensões do vetor A,

por exemplo, o vetor B tem
a mesma dimensão do vetor A.

Então, o que é a dimensão
de um vetor?

São quantos elementos
tem nesse vetor.

Então, esse vetor tem
três elementos, perfeito?

Se eu quiser fazer a soma
desses dois vetores,

eu posso simplesmente vir aqui
e criar uma variável "soma_vetores",

que vai ser igual
a "vetor_a + vetor_b".

E, aqui, eu vou printar
a soma desses vetores.

Então, quando nós somamos dois
vetores, qual a operação é feita?

Basicamente, uma soma,
elemento a elemento,

então cada elemento
do vetor A

vai ser somado com o mesmo
elemento do vetor B,

e eu vou ter esse
resultado aqui na soma.

Se eu quiser fazer uma subtração,
da mesma forma, "vetor_a - vetor_b",

e o resultado é uma subtração
elemento a elemento.

Então, eu posso, por exemplo, criar
uma variável "vetor_multiplicado",

que vai ser igual ao vetor_a vezes
um valor escalar, por exemplo, "2".

Essa multiplicação também
será feita elemento a elemento,

então cada elemento do vetor A
será multiplicado por 2,

e aqui a gente tem,
no nosso código,

a resposta desse
vetor multiplicado.

Então, 1 vezes 2,
2 vezes 2, 3 vezes 2,

e a resposta aqui na variável
vetor_multiplicado.

Uma outra operação muito importante, que eu posso fazer com dois

vetores, se chama produto escalar.

O produto escalar entre dois vetores é uma operação onde eu vou

multiplicar esses dois vetores e o resultado será um número escalar.

O que esse número representa?

Esse número representa um certo grau de similaridade entre esses dois

vetores, ou seja, se esses vetores estiverem apontando para uma mesma

direção, esse produto será maior.

Se esses produtos estiverem perpendiculares um com o outro, ou seja,

tiver um ângulo de 90 graus entre eles, esse produto escalar vai

retornar algo próximo de zero.

E se eles estiverem apontando para direções opostas, isso significa

que esse produto escalar terá um valor negativo.

Então basicamente o produto escalar é uma forma de você multiplicar

dois vetores e obter um escalar como resposta, e esse escalar tem um

certo significado, indica mais ou menos se esses dois vetores estão

apontando para direções parecidas.

Como que eu calculo isso?

Por trás dos panos eu estou fazendo linhas de um vetor versus colunas

do outro.

Então se for necessário, por exemplo, nesse caso a gente tem vetores

de mesmas dimensões, o segundo vetor vai ser transposto, nesse caso.

Então se eu fizer aqui o produto escalar do vetor A com o vetor

B, eu vou ter um número 32.

Esse número indica, de certa forma, se esses dois vetores estão

apontando para direções similares ou opostas.

Outro conceito muito importante quando a gente fala de álgebra linear

é o conceito de matrizes.

Então diferentemente dos vetores que têm apenas uma dimensão, as

matrizes podem ter duas dimensões.

Então as matrizes vão ter linhas e colunas.

Então serão parecidas como uma tabelinha, que teria linhas e colunas.

Então eu posso criar aqui no Python uma matriz X usando o nparray, e

ao invés de passar apenas uma lista de valores, eu vou passar uma

lista de listas de valores, onde cada lista aqui vai representar uma

linha dessa matriz.

Essa matriz tem duas linhas, essa linha e essa linha, e duas colunas,

essa coluna e essa coluna.

Então é uma matriz que tem dimensões 2 por 2.

A matriz Y também é uma matriz 2 por 2, porque ela tem duas

linhas e duas colunas.

Se a gente rodar esse código, a gente vai ver essas duas matrizes

dispostas aqui da forma como a gente criou elas, perfeito?

As operações que a gente pode fazer com as matrizes são muito

similares às operações que a gente pode fazer com os vetores.

Então eu posso olhar para o shape dessa matriz, vai me dar as

dimensões dela, então quais são as dimensões dessa matriz?

No vetor a gente tinha apenas uma dimensão, então a gente criou um

vetor de três posições.

Aqui eu tenho duas dimensões, eu tenho linhas e colunas, então cada

uma das nossas matrizes tem duas linhas e duas colunas.

Isso a gente consegue saber usando o atributo shape da nossa matriz.

Da mesma forma como vetores, como a gente fez para os nossos vetores,

a gente pode somar matrizes.

Então quando eu somo a matriz X com a matriz Y, eu estou fazendo

a mesma operação que a gente fez para os vetores.

Então eu estou somando elemento a elemento os valores das duas

matrizes.

Então se a gente fizer a soma e printar essa soma, a gente vai

ter o resultado que é a soma das duas matrizes elemento a elemento.

Da mesma forma, se a gente fizer a subtração entre essas duas

matrizes, eu também vou ter o resultado como sendo uma matriz

resultante de mesma dimensão, dois por dois, onde cada valor é a

subtração elemento a elemento dessas duas matrizes.

Por fim, eu posso multiplicar essa matriz, ou alguma matriz, por um

valor escalar.

E aí eu também terei uma resposta que vai ser a multiplicação desse

escalar, por exemplo o valor 3, por cada elemento dessa matriz.

Então o resultado também é uma matriz dois por dois, e essa matriz

dois por dois, cada elemento dela, ele é o resultado da multiplicação

desse escalar pelo valor da matriz.

Da mesma forma como fizemos o produto escalar para vetores, podemos

também aplicar para matrizes, porém com uma pequena diferença.

Nos vetores temos apenas uma dimensão, nas matrizes a gente tem duas

dimensões.

Então se eu criar uma matriz, por exemplo, chamada matriz A multi,

como uma matriz que vai ter duas linhas e três colunas, eu utilizaria

esse código aqui para criá-la.

Poderia criar também uma matriz B multi, essa matriz ao invés de ter

duas linhas por três colunas, vai ter três linhas por duas colunas.

Então se a gente rodar esse código aqui, a gente pode ver aqui as

nossas duas matrizes.

Uma tem dimensões dois por três, uma tem dimensões três por dois.

Para fazer o produto escalar dessas duas matrizes, eu posso utilizar

o mesmo código do NumPy, a mesma função, o mesmo método, np.dot

matriz A e matriz B, e eu vou ter o resultado dessa multiplicação.

Note que o resultado dessa multiplicação é uma matriz de dois por

dois.

Então existe uma regrinha para a gente fazer multiplicação matricial

através do produto escalar e essa multiplicação ser possível.

Qual seria essa regra?

As dimensões da minha matriz A, a quantidade de colunas dela, tem que

ser igual à quantidade de linhas da matriz B.

Então sempre que eu estiver fazendo o produto escalar entre duas

matrizes, a quantidade de colunas da primeira tem que ser igual à

quantidade de linhas da segunda.

E o resultado sempre será a quantidade de linhas da primeira por a

quantidade de colunas da segunda.

Então essas duas matrizes eu posso multiplicá-las, por quê?

Porque ela obedece o primeiro quesito, a quantidade de colunas da

matriz A é igual à quantidade de linhas da matriz B.

E o resultado dessa conta desse produto escalar vai dar a quantidade

de linhas da matriz A pela quantidade de colunas da matriz B, que vai

dar dois por dois.

Então se a gente pudesse fixar um pouco essa regra, você poderia

pensar assim, quando eu for multiplicar duas matrizes, fazer o

produto escalar delas, os valores de dentro, ou seja, a quantidade de

colunas da primeira e de linhas da segunda, tem que ser iguais.

E o resultado vai dar os dois de fora, ou seja, a quantidade de

linhas da primeira e a quantidade de colunas da segunda.

Então seguindo aqui, vamos passar agora por outras operações

relevantes no nosso contexto de álgebra linear.

Um conceito mega importante, uma operação mega importante é inverter

uma matriz.

Para inverter uma matriz, qualquer matriz tem que ser quadrada, como

a que a gente está criando aqui, matriz quadrada igual NP-array, uma

matriz de dois por dois.

Então o que é uma matriz quadrada?

Mesma quantidade de linhas é a mesma quantidade de colunas.

E ela precisa ser não singular.

Ser não singular significa que o determinante dela não pode ser zero.

Então basicamente inverter uma matriz, no Python, a gente pode fazer

utilizando o módulo do NumPy de linear algebra.

Então np.linalg, e do linalg eu vou usar o método inv, de inverter.

Então vou criar uma variável matriz inversa e vou atribuir para ela a

inversa, o cálculo da inversa dessa matriz quadrada que a gente

criou.

Quando a gente inverte uma matriz, o que que significa?

É como se eu estivesse fazendo um cálculo análogo a um sobre um

determinado número.

Esse é o inverso dela.

Então um sobre essa matriz é a mesma coisa que a inversa dessa

matriz, perfeito?

Então se a gente rodar esse código, a gente vai ver aqui a matriz

quadrada que a gente tinha criado e aqui é a inversa dessa matriz

quadrada.

Ela é uma matriz quadrada, então ela pode ser invertível e ela é não

singular, então ela pode ser invertível também.

Tem que obedecer esses dois critérios aí, perfeito?

E aí a gente pode depois no nosso código verificar essa inversão

dessa matriz.

Como que eu poderia fazer isso?

Se eu fizer o produto escalar da matriz original com a sua inversa,

eu tenho que ter como resultado a matriz identidade, ou seja, a

matriz identidade no contexto de álgebra é como se fosse o valor 1.

Então é como se eu multiplicasse a matriz por 1 sobre a matriz, eu

vou ter 1 como resposta.

É isso que quer dizer nesse código aqui.

Seguindo no nosso código, como a gente falou de determinante da

matriz, a gente pode verificar aqui como calcular o determinante de

uma matriz.

Então vou criar aqui uma matriz para a gente calcular o determinante

com base nela e eu vou utilizar o mesmo módulo de linear álgebra do

NumPy, só que eu vou usar agora o método det, de determinante.

Então qual é o determinante dessa matriz?

Se a gente rodar esse código, a gente vai ver que o determinante

dessa matriz é 4.99. Se eu tiver uma matriz singular, o que significa

uma matriz singular?

Significa que é uma matriz cujo determinante é 0.

Se o determinante dela é 0, logo eu não consigo inverter essa matriz.

Então essa matriz singular que a gente criou mais embaixo do nosso

código é uma matriz que não teria inversa, não seria possível

calcular a inversa dessa matriz.

Outra operação extremamente importante é a norma de um vetor.

Então a norma de um vetor é como a gente calcula, de certa forma,

o tamanho desse vetor.

Então a norma desse vetor, existem várias formas de se calcular a

norma de um vetor.

A mais conhecida e a mais utilizada é a norma L2, que é também

conhecida como a norma euclidiana.

Então ela é dada por essa continha aqui.

Então vai ser a raiz quadrada da soma dos valores dessa matriz, desse

vetor, ao quadrado.

Então a raiz quadrada da soma dos quadrados dos valores dessa matriz.

Então se a gente tiver aqui uma matriz 3 e menos 4, a norma

euclidiana dessa matriz vai ser 5.

Como que eu chego nesse cálculo?

Fazendo a raiz quadrada da soma dos quadrados dos valores desse

vetor.

Bom, então para calcular a norma euclidiana, eu posso usar o módulo

de álgebra linear do NumPy, utilizando o método norm, certo?

Eu vou ter a norma euclidiana.

Existem também outras formas de norma, de normas que a gente pode

utilizar.

Por exemplo, a norma de Frobenius.

Não é uma norma muito utilizada, mas apenas para a gente conseguir

visualizar que existe um parâmetro, eu posso parametrizar o tipo de

norma que eu quero na função, no método norm do NumPy.

Então por padrão a gente utiliza, essa biblioteca já utiliza a norma

euclidiana, mas eu poderia definir outra dentre as normas possíveis e

para saber as normas possíveis a gente pode olhar na documentação

dessa biblioteca, perfeito?

Outro cálculo muito interessante, muito importante para criar IAs e

para a álgebra linear como um todo, é você calcular distâncias entre

vetores.

Então eu posso ter dois vetores e eu quero calcular o quão distantes

esses vetores são.

Para fazer a distância entre vetores, eu posso simplesmente calcular

a diferença entre eles.

Então se eu calcular a diferença entre eles eu vou ter um menos o

outro.

Eu vou ter a distância de cada vetor em cada dimensão.

Quando eu quero criar, utilizar uma distância euclidiana, o que é a

distância euclidiana?

É uma distância baseada na norma euclidiana, então vai ser a norma

L2, a norma euclidiana da diferença entre os dois vetores.

Então eu vou fazer a raiz quadrada das diferenças elevado ao

quadrado, essa que é a conta.

No Python, eu poderia simplesmente fazer a norma das diferenças dos

vetores que a gente calculou aqui.

E aqui eu coloco a ordem 2, a ordem já é presumida que é

o 2, por default, e aí a gente tem aqui o que a gente

chama de distância euclidiana entre dois vetores, o quão distantes

esses dois vetores estão, certo?

Outra métrica bastante interessante para se calcular entre dois

vetores é a distância de Manhattan.

Então a única diferença entre a distância euclidiana e a distância de

Manhattan é a ordem dessa norma.

Então 1 a gente chama de norma L2, a distância euclidiana, a

distância de Manhattan a gente chama de L1, tudo por causa da norma,

da ordem da norma.

O que é que isso muda na prática?

Na norma euclidiana isso muda que a gente usa o quadrado das

diferenças.

Na norma de Manhattan, na distância de Manhattan, norma L1, a gente

usa o módulo, como se estivesse usando uma ordem 1, elevado a 1 aqui,

esse número, então a gente usa a norma dos valores.

Então se a gente verificar aqui a gente vai ter diferentes normas e

cada norma dessa vai ser mais útil ou menos útil dependendo do caso

de uso que a gente tiver.

Outras operações úteis aqui no contexto de álgebra linear, a gente

pode transpor uma matriz, então frequentemente a gente vai ter que

calcular a transposta de uma matriz.

O que é a transposta de uma matriz?

É simplesmente eu transformar o que era linha em coluna e o que era

coluna em linha.

Então se eu criar uma matriz 3 por 2 com esses valores, com esses

elementos, a transposta dessa matriz original vai ser simplesmente

essa matriz transposta, ou seja, linhas vão virar colunas e colunas

vão virar linhas.

Então no final a dimensão dessa matriz vai ir de 3 por 2 para

2 por 3.

Então vamos rodar esse código aqui para visualizar.

Eu tinha uma matriz original 3 por 2, a matriz transposta vai ser 2

por 3.

Outro conceito interessante é você criar uma matriz identidade.

Então a matriz identidade é uma matriz similar a um número 1, então

aquela matriz que se você multiplicar uma matriz por ela, é como se

você estivesse multiplicando um número por 1, então vai dar ela

mesma.

Então a matriz identidade no Python, utilizando numpy, a gente usa a

função i.

Se eu colocar aqui como entrada 2, eu vou ter uma matriz identidade 2

por 2.

Se eu colocar 3, eu vou ter uma matriz identidade 3 por 3.

Então matriz identidade sempre são matrizes quadradas, ou seja, mesmo

número de linhas e de colunas.

Então se a gente rodar aqui, a gente vai ter a matriz identidade 2

por 2, vou ter a matriz transposta, e se eu multiplicar uma matriz

por sua identidade, se eu fizer o produto escalar entre eles, eu vou

ter como resultado a mesma matriz original.

Certo?

1, 2, 3, 4, resposta 1, 2, 3, 4, perfeito?

Agora algumas funções auxiliares que o numpy oferece para a gente.

Então o numpy oferece, por exemplo, uma funçãozinha que é

interessante para o que a gente vai fazer durante as aulas, que se

chama linspace.

O que esse linspace faz?

Ele simplesmente cria pontos linearmente, igualmente espaçados, vamos

dizer assim.

Então o que essa funçãozinha aqui está fazendo?

Eu vou criar 5 pontos entre 0 e 10, e esses pontos vão ser

linearmente espaçados.

Então 0, 2.5, 5, 7.5, 10.

Tenho 5 pontos e a distância entre eles é igual.

Outras funções auxiliares.

Eu posso criar uma matriz só com 0s no Python, utilizando a função np

.0s, e aqui eu posso passar como entrada, como parâmetro para essa

função, a dimensão da matriz que eu quero criar.

Então eu vou criar uma matriz de 0s com dimensões 2 linhas e 3

colunas.

Da mesma forma eu posso criar uma matriz de números 1s, utilizando np

.ones. Vou passar aqui, eu quero criar uma matriz de 3 linhas e 2

colunas, só com números 1s.

Então está aqui a nossa matriz de 0s e a nossa matriz de 1s.

E a gente pode também concatenar esses vetores, ou seja, eu posso

juntar dois vetores ou juntar duas matrizes.

Então aqui, por exemplo, eu tenho uma matriz chamada array1 e essa

matriz é np.array, primeira linha, segunda linha, cada uma com duas

colunas.

E eu posso ter um vetor, uma matriz que na verdade aqui vai ter

uma linha só, uma linha e duas colunas.

Então se eu concatenar esses dois arrays aqui, esses dois vetores,

essas duas matrizes aqui no caso, eu vou ter, na verdade, no final

uma matriz, esse array concatenado vai adicionar essa linha nesse

vetor original que tinha só duas linhas.

Então vou ter um vetor de 3 linhas e 2 colunas, uma matriz, no

caso, de 3 linhas e 2 colunas.

Esse parâmetro aqui, axis, ele significa quando é 0 eu vou adicionar

nas linhas, quando é colunas eu vou adicionar nas colunas.

Então um eu vou adicionar embaixo, o outro eu vou adicionar ao lado,

é como se fosse isso.

Então aqui eu tenho um exemplo tanto adicionando linhas a uma matriz

original, quanto adicionando colunas a uma matriz original.

Então se a gente rodar esse exemplo, eu tenho a matriz 1, 2 por

2, e a matriz 2, que é uma linha por duas colunas.

Quando eu concateno elas utilizando o eixo 0, o axis 0, eu vou

adicionar uma linha a mais.

No outro exemplo, debaixo, eu tenho uma matriz aqui de duas linhas e

uma coluna, e eu vou concatenar um array nas colunas, então eu vou

adicionar duas colunas diferentes.

Então eu continuo com 7 e 8, vou adicionar o 1, 3, 2, 4

aqui, como colunas novas nessa matriz original.

E por último, para fechar o nosso lab, eu também posso utilizar uma

função de reshape nos meus dados, nos meus arrays, nos meus vetores e

matrizes.

O que o reshape vai fazer?

Eu consigo alterar o formato dessa matriz ou desse array.

Então imagina que eu tenho uma matriz aqui, um array na verdade, que

eu tenho 6 elementos nesse array.

Eu posso reshape, fazer um reshape nesse dado, nessa matriz, e

transformá-lo em uma matriz de duas linhas e três colunas.

O único ponto aqui importante para a gente pensar é, no final, essa

conta tem que fechar.

Então se eu tenho 6 colunas, 6 números, 6 elementos nesse vetor, e eu

quero transformá-lo em uma matriz, as dimensões aqui têm que

multiplicar e dar o mesmo resultado que a quantidade de elementos

desse vetor original.

Então se eu tenho 6 elementos, 2 vezes 3 tem que dar 6.

Eu poderia também fazer 3 por 2, ou 6 por 1, mas eu não

poderia fazer 2 por 4, porque daria erro.

Então se a gente rodar aqui, tem o array original, e esse array,

quando eu fizer o reshape de 2 por 3 dele, ele vai reajustar esses

elementos em uma matriz de duas linhas e três colunas.

Se eu colocasse 4 aqui, daria erro.

Por que daria erro?

Porque eu só tenho 6 elementos.

Para fazer um reshape de 2 e 4, eu teria que ter 8 elementos.

Então o único ponto de atenção seria esse.

Então agora você já sabe muito sobre a generativa e já deu seus

primeiros passos sobre álgebra linear para conseguir você mesmo

implementar os seus próprios modelos de a generativa.