Einführung in Logarithmen

Eine Einführung in den Logarithmus

Willkommen zum Video über Logarithmen

das ist wieder so ein komisches Wort und es ist gut, es wenigstens einmal gesehen zu haben.

Kurz das Stift-Werkzeug aktivieren.

Logarithmus

Das ist einer der Wörter die ich oft falsch schreibe.

Ich bin aufs MIT gegangen und eine der a cappella gruppen

nannten sich die LogaRHYTMs

So wie Rhytmus in der Musik.

Ich komme vom Thema ab.

Was ist also ein Logarithmus?

Nun, die einfachste Erklärung dafür, was ein Logarithmus ist,

dass man als erstes -- ich denke man kann sagen, es ist die Umkehrung

des Exponenten von etwas.

Lass mich das erklären.

Es sei zwei hoch drei - ok, das kennen wir

von den Videos über Exponenten.

zwei hoch drei, das ist gleich acht.

Und das hier ist eine zwei und kein Z.

Zwei hoch drei ist acht und nun werden wir sehen,

dass log - und das ist die Abkürzung von Logarithmus

Log zur Basis zwei von acht ist gleich drei.

Ich glaube, wenn man das so sieht kann man sagen,

dass das ein bisschen klarer wird.

Das hier bedeutet, dass wenn ich dich fragen würde, was der Logarithmus zur Basis zwei

von acht ist - das hier heißt zwei zu hoch welcher Zahl ist gleich acht?

Also als Lösung des Logarithmus

-- oder dieses logarithmischen Ausdrucks --

solltest du die Zahl bekommen, die

der Exponent ist, den du über zwei geschrieben hättest um acht zu erhalten.

Und das ist drei.

Machen wir noch ein paar weitere Beispiele und dann denke ich, dass du das verstehen wirst.

Es sei log - was passiert hier mit meinem Stift?

log zur Basis vier von 64 ist gleich x

Man könnte auch sagen 4 hoch x

ist gleich 64.

Oder man könnte sich fragen, vier hoch was

ist gleich 64?

Natürlich wissen wir, dass vier hoch drei gleich 64 ist.

Also wissen wir, dass die Antwort in diesem Fall drei ist.

Also log zur Basis vier von 64 ist gleich drei.

Machen wir noch ein paar Beispiele und ich glaube, je mehr

Beispiele wir machen, desto klarer wird es.

Logarithmen sind eigentlich recht einfach, aber sie können

zu Verwirrungen führen, weil sie die Umkehrung der Potenzierung sind,

was ja manchmal selbst ein verwirrendes Konzept ist.

Also was ist log zur Basis zehn von, sagen wir einer Million.

EIn paar Kommas hier um sicher zu gehen...

das ist gleich Fragezeichen.

Was wir uns hier fragen müssen ist zehn hoch was

ist gleich eine Million?

Und zehn hoch einer beliebigen Zahl ist gleich eins gefolgt von

hoch- wenn man sagt zehn hoch fünf, dann ist das dasselbe

wie eine Eins gefolgt von fünf Nullen.

Wenn wir also eine Eins gefolgt von sechs Nullen haben ist das dasselbe

wie zehn hoch sechs.

Also zehn hoch sechs ist gleich eine Million.

Da zehn hoch sechs eine Million ist, ist log zur Basis zehn

von einer Million gleich sechs.

Merk dir einfach, diese Sechs ist ein Exponent, der Zehn als Basis hat

was eine Million ergibt.

Ich weiß, ich sage das gerade auf hundert verschiedene Arten und

hoffentlich wird es dir durch ein- oder zwei von diesen

Erklärungen klar.

Machen wir noch ein paar.

Jetzt mache ich mal eine etwas verwirrende Aufgabe.

log zur Basis 1/2 von 1/8.

Sagen wir das ist X.

Nochmal zur Erinnerung. Hiermit

sagen wir 1/2-- hups

1/2

das hier sollen Klammern sein.

hoch x ist gleich 1/8.

So, wir wissen, dass 1/2 hoch 3 gleich 1/8 ist.

Also ist log zur Bais 1/2 von 1/8 gleich drei.

Gehen wir noch ein paar weitere Probleme an.

Mischen wir das doch mal.

Sagen wir log zur Basis x von 27 ist gleich drei.

Was ist x?

Genau wie wir das davor schon gemacht haben; das hier heißt x hoch drei

ist gleich 27.

Oder x ist gleich die Kubikwurzel von 27.

Und das heißt, es gibt eine Zahl, die drei mal

mit sich selbst multipliziert wird 27 ergibt.

Und ich glaube, an diesem Punkt wissen wir, dass

diese Zahl drei ist.

x ist gleich drei.

Also können wir log zur Basis drei von 27 ist gleich drei schreiben.

Noch ein weiteres Beispiel...

Ich nehme jetzt nur kleine Zahlen, weil ich keinen

Taschenrechner zur Hand habe und deshalb muss ich das im Kopf rechnen.

Was ist log- was könnten wir da nehmen?

Was ist log zur Basis hundert von eins?

Das ist etwas knifflig.

Sagen wir, das ist gleich

Fragezeichen.

Also merk dir, das ist log zur Basis einhundert von eins.

Also nochmal erläutert; einhundert hoch Fragezeichen

ist gleich eins.

Was müssen wir hier als Exponent nehmen- wenn wir jede beliebige Zahl haben

und wir nehmen sie hoch welcher Zahl, wann bekommen wir eins?

Wenn du dich an die Potenzierungsregeln erinnerst, oder nicht

die Potenzierungsregeln, von den Videos zur Potenzierung-
jede beliebige Zahl

hoch Null ist gleich eins.

Also könnten wir sagen, einhundert hoch Null ist gleich eins.

Also könnten wir sagen, log zur Basis einhundert von eins ist gleich Null.

weil einhundert hoch Null eins ist.

Jetzt stell ich dir noch eine weitere Frage:

Was ist wenn ich dich frage, was ist log zur Basis zwei von Null?

Was ergiebt das?

Also, was ich Frage, ich sage zwei-- sagen wir

das ist gleich x.

zwei hoch x ist gleich null.

Was ist also x?

Gibt es etwas, das ich als Exponent zur Basis zwei nehmen kann

um Null zu erhalten?

Nein!

Das ist nicht definiert.

Nicht definiert oder keine Lösung.

Es gibt keine Zahl, die ich als Exponenten von zwei nehmen könnte

um Null zu erhalten.

Das ist ähnlich, als würde ich dich fragen, log zur Basis drei von,

sagen wir minus eins.

und wir gehen hier von realen Zahlen aus,

welches wohl die Zahlen sind, mit denen du bis jetzt vor allem

arbeiten musstest.

Es gibt also nichts, was ich als den Exponenten von drei nehmen könnte

um eine negative Zahl zu erhalten, also ist das undefiniert

Solange man also eine positive Basis hat

muss diese Zahl, um definiert zu sein, größer als-

naja, es muss größer oder gleich-- nein.

Sie muss größer als Null sein.

Nicht gleich.

Es kann nicht null sein und es kann auch keine negative Zahl sein.

Schauen wir uns noch ein paar Probleme an.

Ich glaube ich habe noch eineinhalb Minuten.

Jetzt bist du schon bereit für die Aufgaben des ersten Logarithmus Moduls

aber machen wir trotzdem noch ein paar Aufgaben.

Was ist log zur Basis acht- und die Aufgabe wird etwas

kniffliger- von 1/64

Interessant.

Wir wissen, dass log zur Basis acht von 64 gleich zwei ist.

Weil acht im Quadrat 64 ist.

Aber welcher Exponent zur Basis acht ergibt 1/64?

Wie wir im Video zu Negativen Potenzen gelernt haben, ist das

minus zwei.

Falls du dich dran erinnerst, acht hoch minus zwei

ist gleich 1/8.

Acht quadriert, was 1/64 ergibt.

Interessant

Das lass ich mal hier, sodass du darüber nachdenken kannst.

Wenn du das von dem du den Logarithmus nimms umkehrst

wird das Ergebnis negativ.

And wir gehen noch einige Logarithmus-probleme an und entdecken

noch viel mehr Eigenschaften von Logarithmen in zukünftigen Videos.

Aber ich glaube, jetzt bist du bereit für den ersten

Satz Übungen zu den Logarithmen.

Wir sehen uns im nächsten Video.