Introdução a Logaritmos

Uma introdução aos logaritmos

Bem-vindos à apresentação de logaritmos.

Deixe-me escrever a palavra "logaritmo", pois

é outra palavra incomum e esquisita, como "hipotenusa"

e será bom vê-la pelo menos uma vez.

Deixem-me colocar a ferramenta de escrita a trabalhar.

Logaritmo.

Esta é uma das palavras com mais erros ortográficos.

Eu frequentei o MIT (Instituto de Tecnologia de Massachusetts) e um dos grupos de coro

chamava-se "Loga ritmos".

Como ritmo, como em música.

Mas enfim, estou a divagar.

Então o que é um logaritmo?

Bem a maneira mais simples de explicar o que um logaritmo é

obter primeiro - creio que é dizer que é o inverso de

o expoente de algo.

Deixem-me explicar.

Se eu disser que dois ao cubo - bem sabemos isso

da matéria sobre expoentes.

dois ao cubo, bem, é igual a 8.

E mais uma vez isto é um 2 e não um Z.

2 ou cubo é 8, assim ficamos com

log - e log é a abreviação de logaritmo.

Log de base 2 de 8 é igual a 3.

Creio que quando você olha para isso você diz "oh,

isso é uma tentativa de entender.

O que isso diz é, se eu lhe perguntasse qual o log na base 2 de

8, isto diz 2 elevado a qual potência é igual a oito?

Então a resposta ao logaritmo - você pode dizer a resposta para esta

expressão logarítmica, ou, se você resolver esta expressão logarítimica,

você deve obter um numéro que, na verdade, é o

expoente a que você teria elevado 2 para obter 8.

E, mais uma vez, isso é 3.

Então vamos fazer mais alguns exemplos e eu creio que você ira entender.

Se eu disesse log... o que aconteceu com minha caneta?

log na base 4 de 64 é igual a x.

Outro modo de reescrever exatamente esta equação é dizer que 4 elevado

a potência x é igual a 64.

Ou outro modo de pensar sobre isso é 4 elevado a

que potência é igual a 64?

Bem, nós sabemos que 4 elevado à terceira potência é igual a 64.

Então, nós sabemos que, neste caso, isso é igual a 3.

Então, o log de 64 na base 4 é igual a 3.

Deixe-me fazer mais um tanto de outros exemplos e eu creio que quanto mais

exemplos você vir, isso começará a fazer mais sentido.

Logarítimos são uma idéia simples, mas eu creio que eles possam ficar

confusos, pois são o inverso da exponenciação,

que pode às vezes ser, por si só, um conceito confuso.

Então, qual é o log na base 10 de, digamos, um milhão.

Colocarei alguns pontos aqui para ter certeza.

Então isso é igual a... uma interrogação.

Bem, tudo que nós temos de fazer é nos perguntar: 10 elevado a qual potência

é igual a um milhão?

E 10 elevado a qualquer potência é igual a 1 seguido pela

potência de -- se você diz dez elevado à quinta potência, isso é igual

a 1 seguido por 5 zeros.

Então, se nós temos 1 seguido por 6 zeros, isto é a mesma coisa que

10 elevado à sexta potência.

Então, 10 elevado à sexta potência é igual a um milhão.

Assim, já que 10 elevado a sexta potência é igual a um milhão, o log

na base 10 de um milhão é igual a seis.

Só lembre, este 6 é um expoente ao qual nós elevamos 10

para chegar a um milhão.

Eu sei que estou dizendo que isso de 100 maneiras diferentes e

com sorte, uma ou duas dessas milhares de formas diferentes com que

estou explicando farão algum sentido.

Façamos mais alguns.

Na verdade, vou fazer um que seja um pouco mais confuso.

Log de base 1/2 de 1/8.

Vamos dizer que isso é igual a x.

Vamos nos recordar que isso é o mesmo

que dizer 1/2... ops...

1/2

Isso deveria ser um parêntese.

A potência x é igual a 1/8.

Bem, nós sabemos que 1/2 elevado à terceira potência é igual a 1/8.

Então, log base 1/2 de 1/8 é igual a 3.

Deixe-me fazer mais alguns problemas

Agora, deixe-me misturar isso um pouco.

Digamos que este log base x de 27 é igual a três.

Qual o valor de x?

Bem, exatamente como nós fizemos anteriormente, isso diz que este x elevado ao

cubo é igual a 27.

Ou x é igual à raiz cúbica de 27.

E tudo o que isso diz é que existe algum número que vezes

ele mesmo por três vezes, isso é igual a 27.

E eu penso que neste ponto você sabe que este

número tem que ser 3.

x é igual a 3.

Então nós podemos escrever log base 3 de 27 é igual a 3.

Deixe-me pensar em outro exemplo.

Eu estou fazendo apenas com números relativamente pequenos porquê eu não tenho

uma calculadora comigo e eu tenho que fazê-los todos de cabeça.

Então isso é log... deixe-me pensar sobre isso.

O que é log base 100 de um?

Este é um problema traiçoeiro.

Então uma vez mais, vamos apenas dizer que isso é igual

a um ponto de interrogação.

Então lembre-se de que isso é log base 100 de 1.

Então isso diz: 100 elevado ao ponto de interrogação

é igual a 1.

Então, a o quê nós teremos que elevar... se nós tivermos algum número

e nós elevemos à qual potência, quando nós teremos um?

Bem, se você se lembrar das regras exponenciais, ou mesmo não

das regras de exponentes, mas dos módulos exponenciais, que qualquer coisa

elevado à zero é igual a um.

Então nós podemos dizer que 100 elevado à zero é igual a um.

Então nós podemos dizer: log base 100 de um é igual a zero

porquê 100 elevado à potência zero é igual a um.

E deixe-me lhe fazer uma outra pergunta.

E se eu lhe fosse pedir o log, digamos de base 2 de zero?

Então quanto isso dá?

Bem, o que eu estou lhe perguntando... eu estou dizendo 2... e

digamos que isso seja igual a x.

2 elevado a alguma potência é igual a zero.

Então quanto vale x?

Bem, existe alguma coisa que eu posso elevar 2 a essa

potência para obter zero?

Não.

Então isso é indefinido.

Indefinido, ou sem solução.

Não existe um número que eu possa elevar dois a essa

potência e obter zero.

Da mesma maneira se eu lhe perguntar o log base 3 de

digamos, -1...

E nós estamos assumindo que nós estamos lidando com números reais,

que são a maioria dos números que eu penso que neste ponto

você está lidando.

Não existe nada que eu possa elevar 3 a esta potência para

obter um número negativo, então isso é indefinido.

Então enquanto você tiver uma base positiva aqui, este

número, de maneira a poder ser definido, terá que ser maior que... bem,

ele terá que ser maior ou igual a... não.

Ele terá que ser maior que zero.

Não igual a.

Ele não pode ser zero e ele não pode ser negativo.

Vamos resolver mais um bocado de problemas.

Eu penso que eu tenho mais um minuto e meio.

Você já está preparado para o módulo Logaritmos Nível 1,

mas vamos fazer um bocado mais.

O que é log de base 8... eu estou fazendo um ligeiramente

traiçoeiro... de 1/64.

Interessante.

Nós sabemos que este log base oito de 64 é igual a 2, certo?

Porquê 8 ao quadrado é igual a 64.

Mas oito elevado a qual potência é igual a 1/64?

Bem, nós aprendemos no módulo Expoente Negativo de que

isso é igual a -2.

Se você se recordar, 8 elevado a -2 é a mesma

coisa que 1/8 elevado à potência de 2.

8 ao quadrado, que é igual a 1/64.

Interessante.

Eu deixarei isso para que você pense a respeito.

Quando você faz o inverso de qualquer coisa, você está obtendo o

logaritmo disso, e isso torna a resposta negativa!

E nós iremos resolver muitos outros problemas com logaritmos e exploraremos

muitas outras das propriedades de logarimos em módulos futuros.

Mas eu penso que neste momento você já está apto para fazer a lista de exercícios

de logaritmos de nível 1.

O verei no próximo módulo.