เกริ่นเรื่องล็อกการิทึม

โดย Kan J.

ยินดีต้อนรับสู่บทเรียนล็อกการิทึม

ก็ยังดีที่อย่างน้อยได้เห็นมันครั้งหนึ่ง

ขอผมให้อุปกรณ์ pen tool ทำงานก่อนนะ

ลอกการิทึม

ผมสะกดคำนี้ผิดบ่อยเหมือนกันครับ

วันก่อน ผมไปที่ MIT และคนที่ทำงานที่นั่นคนหนึ่ง

เขาเขียน ล็อกกาไรทึม

เขียนเหมือน (rhythm) ที่แปลว่าคำพ้องน่ะครับ

แต่ยังไงก็ตาม เลิกพูดนอกเรื่องดีกว่า

แล้วอะไรคือลอกการิทึมกันล่ะ

คือ...วิธีที่ง่ายที่สุดที่จะอธิบายความหมายของลอกการิทึม

คือโดยการบอกว่า มันคือส่วนกลับของ

เลขยกกำลังของเลขตัวหนึ่ง

ให้ผมอธิบายใหม่

ถ้าสมมุติว่าสองยกกำลังสาม...ซึ่งเราก็รู้แล้วว่า

โดยหลักของเลขยกกำลังแล้ว

สองยกกำลังสามจะเท่ากับแปด

และอีกครั้ง ที่ผมเขียนคือเลขสองนะ ไม่ใช่z

สองกำลังสามได้แปด ซึ่งผลก็ออกมาว่า

ล็อก...ซึ่งล็อกก็ย่อมาจากล็อกการิทึม

ส็อกฐานสองของแปดเท่ากับสาม

ผมคิดว่าตอนคุณเห็นสิ่งที่ผมกำลังทำอยู่ คุณคงจะพูดว่า "โอ๊

มันเริ่มดูมีเหตุผลขึ้นมาบ้างแล้ว"

สิ่งที่ผมจะพูดคือ ถ้าผมถามคุณว่าล็อกฐานสองของ

แปดคืออะไร มันก็ถามเหมือนสองยกกำลังอะไนเท่ากับแปดน่ะแหละ

ดังนั้น คำตอบสำหรับล็อกการิทึม เราจะบอกได้ว่าคำตอบของ

นิพจน์ล็อกการิทึมหรือถ้าเราจะวิเคราะห์นิพจน์ล็อกการิทึมนี้

คุณก็ควรจะหาตัวเลขที่เป็นเลขชี้กำลัง

ที่มีฐานสองและได้คำตอบเป็นแปดน่ะแหละ

และคำตอบที่ได้ (พูดอีกครั้ง) คือสาม

เดี๋ยวผมจะยกตัวอย่างอีกซักสองสามข้อ คุณจะได้เข้าใจมากขึ้น

ถ้าผมจะบอกล็อก...(ปากกาผมมันเป็นอะไรเนี่ย!)

ล็อกฐานสี่ของหกสิบสี่เท่ากับx

อีกวิธีที่จะเขียนสมการเดียวกัน จะเขียนไดว่าสี่

ยกกำลังxได้เท่ากับหกสิบสี่

พูดให้ง่ายขึ้น สี่ยกกำลังอะไร

เท่ากับหกสิบสี่

เราก็รู้แล้วว่าสี่ยกกำลังสามได้หกสิบสี่

ดังนั้น ในกรณีนี้ xจึงเท่ากับสาม

และล็อกฐานสี่ของหกสิบสี่เท่ากับสามนั่นเอง

ให้ผมยกตัวอย่างอีกหน่อย และผมคิดว่ายิ่งคุณเห็น

ตัวอย่างมากเท่าไหร่ คุณก็จะเริ่มเห็นภาพตามมากขึ้นเท่านั้น

ลอกการิทึมเป็นหลักการคิดที่ง่าย แต่คนมักจะสับสนง่าย

เพราะมันเป็นส่าวนกลับของการยกกำลัง

ซึ่งการยกกำลังนี่มันก็น่าสับสนพออยู่แล้วแหละ

ตัวอย่างต่อมา ล็อกฐานสิบของ (เอาเป็นว่า) หนึ่งล้านล่ะกัน

ใส่จุลภาคลงไปด้วย จะได้ไม่สับสน

และสมการนี้เท่ากับ...เครื่องกมายคำถาม

สิ่งเดียวที่เราต้องถามตังเองคือ สิบยกกำลังเท่าไหร่

เท่ากับหนึ่งล้าน

และสิบยกกำลังอะไรก็ตาม คำตอบที่ได้คือหนึ่ง

ตามด้วยกำลัง...เอ่อ ถ้าคุณบอกว่าสิบยกกำลังห้า คำตอบที่ได้จะเท่ากับ

หนึ่งตามด้วยเลขศูนย์ห้าตัว

แต่คำตอบของเราคือหนึ่งตามด้วยศูนย์หกตัว คำตอบที่ได้ก็ประมาณเดียวกัน

คือสิบยกกำลังหก (ตามจำนวนเลขศูนย์)

ดังนั้น สิบกำลังหกจึงเท่ากับหนึ่งล้าน

และเพราะสิบบกกำลังหกนั้นเท่ากับล็อกฐานหนึ่งล้าน

สิบของหนึ่งล้านจึงเท่ากับหก

จำไว้ว่า หกตือเลขชี้กำลังที่มีฐานเป็นสิบ

และได้คำตอบเป็นหนึ่งล้าน

ผมรู้ว่าว่ามันมีเป็นร้อยวิธีที่ผมจะยกตัวอย่าง

แต่ผมก็หวังง่าสองสามตัวอย่างจากล้านกว่ารูปแบบ

ที่ผมกำลังอธิบายนั้นจะทำให้คุณเข้าใจได้

ลองทำอีกหน่อยล่ะกัน

จริงๆแล้ว ผมจะลองยกโจทย์ที่น่าสับสนอยู่หน่อยโจทย์หนึ่ง

ล็อกฐานหนึ่งส่วนสองของหนึ่งส่วนแปด

เท่ากับx

ลองทวนความจำตัวเองหน่อย

หนึ่งส่วนสอง...เอ่อ

หนึ่งส่วนสอง

ผมลืมใส่เครื่องหมายวงเล็บ

โอเค xเป็นเลขยกกำลัง(ที่มีฐานหยึ่งส่วนสอง)เท่ากับหนึ่งส่วนแปด

เรารู้ว่าหนึ่งส่วนสองกำลังสามเท่ากับหนึ่งส่วนแปดแล้ว

ดังนั้นล็อกฐานหนึ่งส่วนสองของหนึ่งส่วนแปดจึงเท่ากับสาม

เดี๋ยวยกตัวอย่างต่ออีกหน่อย

ผมจะจับมันยำซักเล็กน้อย (คุณจะได้ฝึกคิดไปด้วยไง)

ล็อกฐานxของยี่สิบเจ็บเท่ากับสาม

อะไรคือxล่ะ

เหมือนอย่างที่ผมเคยทำ คือเท่ากับxยกกำลัง

สามเท่ากับยี่สิบเจ็ด

หรือxเท่ากับรากที่สามของยี่สิบเจ็ด

ซึ่งเราก็รู้ว่าxคือตังเลขตัวหนึ่งที่คูณตังเองสามครั้ง

และได้เท่ากับยี่สิบเจ็ด

ถึงตอนนี้แล้ว คุณคงรู้แล้วว่า

ตัวเลขนั้นคือสาม

x เท่ากับสามนั่นแหละ

ซึ่งเราจะเขียนได้ว่าล็อกฐานสามของยี่สิบเจ็ดเท่ากับสาม

ผมจะลองยกอีกตัวอย่าง

ที่ผมใช้ตัวเลขไม่มากเพราะผมไม่มี

เครื่องคิดเลขและผมค้องคำนวณในใจ

อะไรคือล็อกของ...ให้ผมคิดก่อน

อะไรคือล็อกของฐานหนึ่งร้อยของหนึ่ง

นี่เป็นคำถามลวง

อีกครั้ง ให้ลองสมมุติว่ามันเท่ากับ

เครื่องหมายคำถาม

เปลี่ยนล็อกฐานหนึ่งร้อยของหนึ่งเท่ากับเคครื่องหมายคำถาม

เป็นหนึ่งร้อยยกกำลังด้วยเครื่องหมายคำถาม

เท่ากับหนึ่ง

เอาล่ะ ต้องยกกำลังด้วยอะไรล่ะทีนี้ สมมุติเรามีตัวเลขใดๆ

และเราต้องยกกำลังมันด้วยอะไรจึงจะเท่ากับหนึ่งล่ะ

ถ้าคุณยังจำได้จากกฎของเลขยกกำลัง (ถ้าจำไม่ได้ก็ไม่เป็นไร)

กฎของเลขยกกำลังมีอยู่ว่าอะไรที่

ยกกำลังศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง

ซึ่งเราก็จะได้ว่าหนึ่งร้อยยกกำลังศูนย์เท่ากับหนึ่ง

และเราจะบอกได้ว่าล็อกฐานหนึ่งร้อยหนึ่งร้อยของหนึ่งเท่ากับศูนย์

เพราะหนึ่งร้อยยกกำลังศูนย์เท่ากับหนึ่ง

ผมจะถามอีกคำถาม

อะไรเท่ากับ ผมจะถามเป็นล็อกนะ ล็อกฐานสองของศูนย์

ใช่ มันเท่ากับเท่าไหร่

ผมถามว่าสอง สมมุติ

ว่าคำตอบตือx

สองยกกำลังxเท่ากับศูนย์

อะไรคือx

แหม มีอะไรที่สองยกกำลังด้วย

และได้ศูนย์บ้างล่ะ?

ไม่มี

ดังคำตอบคือ "บอกไม่ได้"

บอกไม่ได้ก็คือไม่มีคำตอบน่ะแหละ

ไม่มีอะไรที่ผมจะยกกำลังสองด้วย

และได้ศูนย์

เครือๆกัน ถ้าผมขอให้คุณล็อกฐานสามของ

ประมาณว่า ลบหนึ่งล่ะกัน

สมมุติว่าเราเรากำลังแก้โจทย์ที่เป็นจำนวนจริง

ซึ่งเป็นเลขส่วนใหญ่ ณ ตอนนี้

อืม...

ไม่มีเลขอะไรที่ผมจะยกกำลังสามด้วย

และได้ติดลบเลย นี่ก็ไม่มีคำตอบอีกเช่นเคย

ตราบใดที่ฐานเป็นค่าบวก

เลขชี้กำลังต้องเอ่อ...

อืม...

มากกว่าศูนย์แหละ!!

ใช่เลย

เป็นศูนย์หรือค่าติดลบก็ไม่ได้

เอานะ เอาโจทย์อีกซักหน่อย

ผมยังเหลือซักประมาณนาทีครึ่ง

คุณได้มาที่สไลด์ล็อกการิทึมอันดับที่หนึ่งแล้ว

เอาอีกหน่อยล่ะกัน

อะไรคือล็อกฐานแปด (ให้มันยาก-

-หน่อยล่ะกัน) ของหนึ่งส่วนหกสิบสี่

น่าสนใจนะว่ามั๊ย

เรารู้ว่าล็อกฐานแปดของหกสิบสี่จะเท่ากับสอง ใช่มั๊ย

เพราะแปดกำลังสองเท่ากับหกสิบสี่

แต่แปดกำลังอะไรเท่ากับหนึ่งส่วนหกสิบสี่ล่ะ

เราเรียนมาแล้วจากสไลด์เลขยกกำลังติดลบว่า

ค่ามันต้องเท่ากับติดลบสอง

ถ้ายังจำกันได้นะ แปดยกกำลังติดลบสองก็รูปแบบเดียวกันแหละ

อย่างหนึ่งส่วนแปดยกกำลังสองเนี่ย

หนึ่งส่วนแปดกำลังสองเท่ากับหนึ่งส่วนหกสิบสี่

น่าสนใจจริง

ผมจะปล่อยให้คุณลองพิจารณาดู

ไม่คุณเอาว่วนกลับของเลขใดๆ

ที่คุณทำล็อกด้วยแล้ว คำตอบจะได้เป็นติดลบ

แล้วเราจะได้ทำโจทย์ล็อกการิทึมและเรียนรู้กันอีกเยอะ

คุณสมบัติเพิ่มตัวจากสไลด์หน้า

แต่ผมว่าคุณคงพร้องแล้วสำหรับระดับแรก

โจทย์ล็อกการิทึมทั้งหลายแหล่

เจอกันสไลด์หน้า