-
Привіт! У цьому відео я хочу розповісти вам про основи тригонометрії.
-
Звучить дещо складно, погодьтеся, але ви побачите, що насправді нічого складного немає,
-
тригонометрія вивчає співвідношення сторін у трикутнику.
-
Частина «триг» слова «тригонометрія» означає «трикутник», а «метрія» означає «вимірювання».
-
Давайте я наведу вам декілька прикладів, це повинно все прояснити.
-
Зараз я намалюю декілька прямокутних трикутників.
-
Це перший прямокутний трикутник. Ми називаємо його прямокутним тому, що один з кутів дорівнює 90°.
-
Ось це прямий кут. Він дорівнює 90°.
-
У наступних відео ми поговоримо про інші способи того, як показати величину кута.
-
Отже, у нас є кут 90°, а значить, трикутник прямокутний.
-
Позначимо довжину сторін. Ось ця сторона дорівнюватиме 3. Це висота, вона дорівнює 3.
-
Хай ось ця основа трикутника дорівнює 4. А гіпотенуза цього трикутника – ось ця – дорівнюватиме 5.
-
Гіпотенуза є тільки у прямокутних трикутниках.
-
Це сторона, яка лежить напроти прямого кута і одночасно вона є найдовшою стороною у прямокутному трикутнику.
-
Це і є гіпотенуза ...запам'ятайте, будь ласка... гі-по-те-ну-за.
-
Ви мабуть про це вже дізналися з курсу геометрії. Використовуючи теорему Піфагора,
-
Ви можете переконатись, що такі сторони можуть існувати у цьому трикутнику.
-
Ми знаємо, що 3²+4² повинно дорівнювати довжині найдовшої сторони, довжині гіпотенузи в квадраті. Тобто дорівнювати 5².
-
І ви можете перевірити, що ця довжина підходить, що вони задовольняють умови теореми Піфагора.
-
Розібравшись з цим, ми можемо дізнатись про тригонометрію. Отже, основні функції тригонометрії...
-
Нам слід зрозуміти, що ці функції означають. Якщо функція синус, косинус і тангенс.
-
І ці визначення: sin, cos і tan використовуються для скорочення.
-
Яке значення мають ці функції? Для будь-якого кута у трикутнику вони показують співвідношення певних сторін.
-
Давайте я зараз напишу щось. Це схоже на шпаргалку і допоможе вам запам’ятати визначення цих функцій.
-
Отже, SOH CAH TOA. SOH CAH TOA
-
Ви здивуєтесь, як такий прийом допоможе вам розібратися в тригонометрії. SOH CAH TOA.
-
Отже, SOH говорить нам, що буква «S» синус (sin) дорівнює протилежній стороні (від англ. "opposite»), яка розділена на гіпотенузу (від англ. "hypotenuse»).
-
Це може зараз здатися складним, але я скоро все детально поясню.
-
Косинус дорівнює відношенню прилеглого катета (А - adjacent) до гіпотенузи (H - hypotenuse).
-
Тангенс дорівнює відношенню протилежного катета (O - opposite) до прилеглого (A - adjacent).
-
Ви, напевно, думаєте: "Ммм, що це за протилежні/ прилеглі сторони і гіпотенузи? Про що йдеться мова? "
-
Давайте візьмемо кут. Скажемо, ось цей кут дорівнює θ.
-
Знаходиться між сторонами довжиною в 5 і 4. Цей ось кут дорівнює θ.
-
Давайте з'ясуємо, чому дорівнюють синус, косинус і тангенс кута θ.
-
Спочатку сфокусуємося на sin θ. Нам просто потрібно згадати SOH CAH TOA.
-
SOH CAH TOA ... Синус дорівнює протилежна сторона (opposite) поділити на гіпотенузу (hypotenuse). Так, яка ж сторона лежить навпроти кута?
-
Ось наш кут. Протилежна сторона, якщо ви подивитесь сюди … це сторона, яка не прилегла до нашого кута.
-
Протилежна сторона дорівнює 3. Кут нібито розкривається назустріч цій стороні.
-
А що у нас є гіпотенузою? Ми вже знаємо, що гіпотенуза тут - це 5. Тобто це 3 поділити на 5.
-
sin θ = 3 /5. Чому дорівнює синус цього кута? 3 / 5. І я вам скоро покажу, що якщо цей кут - це якийсь специфічний кут, то синус завжди буде дорівнювати 3 /5...
-
співвідношення протилежної сторони і гіпотенузи завжди буде однаковим, навіть якби трикутник був більше чи менше.
-
Я покажу вам це через секунду. А зараз давайте повернемося до інших функцій. Чому ж дорівнює cos θ?
-
Косинус - це прилеглий катет (adjacent), поділений на гіпотенузу (hypotenuse). Підпишемо їх.
-
Ми вже з’ясували, що 3 – це протилежна сторона, але тільки у тому випадку, коли ми розглядаємо ось цей кут.
-
Коли ми говоримо про цей кут, сторона довжиною 4 є прилеглою.
-
Це одна зі сторін, які нібито формують тут вершину кута. Тобто це суміжна сторона.
-
Давайте з’ясуємо: це підходить тільки для цього кута θ.
-
Якщо б мова йшла про той кут, то ось ця зелена сторона могла б бути протилежною, а ця жовта – прилеглою.
-
Але зараз ми розглядаємо ось цей кут.
-
Отже, косинус цього кута. Прилеглий катет дорівнює 4.
-
Прилеглий катет ділимо на гіпотенузу, яка дорівнює 5. Отримаємо 4/5.
-
Тепер давайте розберемось з тангенсом. Tan θ – це відношення протилежної сторони до прилеглої.
-
Протилежна сторона дорівнює 3. Чому ж дорівнює прилегла?
-
Це ми вже з’ясували. Прилегла сторона дорівнює 4.
-
Тобто знаючи довжину сторін цього трикутника, ми змогли б з’ясувати основні тригонометричні співвідношення.
-
Ми побачимо, що існують і інші тригонометричні співвідношення,
-
але всі вони будуть виведені з цих трьох основних тригонометричних функцій.
-
Тепер давайте подумаємо про інші кути у цьому трикутнику.
-
Я накреслю його ще раз, тому що тут вже достатньо брудно.
-
Намалюємо такий самий трикутник. І знову ж довжини сторін цього трикутника рівні ...
-
одна дорівнює 4, інша дорівнює 3 і третя - 5.
-
В останньому прикладі ми використовували цей кут θ.
-
Тепер давайте візьмемо інший кут. Наприклад, ось цей.
-
Назвемо його ... зараз я виберу якусь грецьку букву ... скажемо ψ.
-
Трохи дивно, звичайно. Зазвичай використовується θ.
-
Але, так як я її вже використала, давайте візьмемо ψ.
-
Хоча ні, я спрощу це і замість ψ назву цей кут х. Отже, давайте з'ясуємо тригонометричні функції кута х.
-
У нас є sin x, який дорівнюватиме… чому?
-
Він розкривається до сторони 4. Тому у даному випадку це є протилежною стороною.
-
Ви ж пам’ятаєте, що сторона 4 була прилеглою для кута θ, але зараз вона протилежна куту х.
-
Тобто буде 4 поділити на...яка у нас гіпотенуза?
-
Гіпотенуза буде незмінною, незалежно від того, який кут ви обираєте.
-
Отже, гіпотенуза буде дорівнювати 5. Отримаємо 4/5.
-
Ідемо далі. Чому дорівнює cos x?
-
Косинус – це відношення прилеглої сторони (adjacent) до гіпотенузи (hypotenuse).
-
Сторона 3 – це одна зі сторін, які формують кут х, і при цьому вона не є гіпотенузою.
-
Відповідно, це – прилегла сторона. Отримуємо 3 розділити на гіпотенузу. Гіпотенуза дорівнює 5.
-
І нарешті тангенс... Ми хочемо з’ясувати tan x.
-
Тангенс дорівнює відношенню протилежного катета (opposite) до прилеглого (adjacent).
-
SOH CAH TOA. Тангенс дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого.
-
Протилежна сторона - це 4. Виділимо її блакитним кольором. Прилегла дорівнює 3.
-
І це все! У наступному відео я розгляну купу прикладів, аби ви набили руку.
-
А на дозвіллі подумайте, що відбувається, коли ці кути наближаються до 90°, чи коли вони стають більше 90°.
-
Ми побачимо, що ця абревіатура SOH CAH TOA гарно допомагає для кутів у діапазоні від 0 до 90°.
-
Але проблеми виникають, коли кут перевищує 90°.
-
Для знаходження синуса, косинуса і тангенса будь-якого кута я покажу вам інше визначення, яке буде виведено з SOH CAH TOA.
-
А зараз я з вами прощаюся.
