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Hola de nuevo.
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Bueno, ahora os voy a presentar cómo
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simplemente invertir la regla de la cadena, o deshacer la regla
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de la cadena, ya que estamos haciendo integrales, que es
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lo opuesto a sacar derivadas.
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Así que vamos a refrescar que es lo que la regla
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de la cadena nos contó anteriormente.
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Si fuese a sacar la derivada de f de g de x--
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espero que esto no te confunda demasiado.
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Te daré otro ejemplo con una f de x concreta
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y una g de x concreta.
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Si quiero sacar la derivada de eso, la regla
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de la cadena dice simplemente que la derivada de esta función compuesta es
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nada más que la derivada de la función de dentro.
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g prima de x por la derivada de la externa, o
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como si fuese la función paterna, aún manteniendo g
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de x dentro en su momento.
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f prima de g de x.
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Sé que esto puede parecer complicado si no estás muy
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a gusto con este tipo de nomenclaturas, pero haciéndolo
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como ejemplo te será mucho más evidente.
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Si dijese cuál es la derivada de
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digamos seno de x al cuadrado.
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Bueno, en esta situación, f de x es seno de x, correcto?
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Y luego g de x es x cuadrado, no es así?
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Y seno de x al cuadrado es simplemente f de g de x.
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Y así revisamos la regla de la cadena.
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Podrías ir a ver el vídeo de la regla de la cadena también, pero
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no me importa resolver un par de problemas aquí.
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Lo que viene a decir que la derivada de esto se hace cogiendo
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la derivada de la función interna-- g de x en este
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ejemplo, que es 2x-- y lo multiplicas por la
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derivada de la función externa o la
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función paterna.
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Y si memorizamos creo que la derivada de seno de x
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es coseno de x, así que multiplicamos por coseno de g de x.
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Y mantenemos el x cuadrado ahí.
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Si te lías, simplemente piensa en la función interna
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y en la externa.
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Si sacas la derivada de este tipo de función
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compuesta, es lo mismo que la derivada
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de la función interna, que es 2x veces la derivada
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de la función externa.
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Pero mantenemos esta función interna dentro, y
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dejamos esta x justo aquí.
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Así hemos revisado la regla de la cadena.
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Qué pasa entonces si queremos darle la vuelta a la regla de la cadena?
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Si la quisiésemos dar la vuelta, estamos diciendo simplemente
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que queremos sacar la integral de algo donde
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tenemos la derivada de la función interna y luego
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tenemos la derivada de una función compuesta más grande.
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Estoy reescribiendo la regla de la cadena, pero estoy escribiendo en
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forma de integral que es igual a f de g de x.
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Esta sentencia de aquí es exactamente igual a
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esta sentencia de aquí abajo.
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Lo único que hice fue sacar la integral en ambos lados.
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Lo que digo es que la integral de esto es igual a
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la integral de esto otro.
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Quizá no debiera cambiar los signos de igual así como así
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con vosotros, pero vamos a probar con esta fórmula.
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Todo lo que tenéis que recordar es lo contrario de la regla de la
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cadena para resolver estos problemas.
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Imagínate colores invertidos.
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Déjame que reformule esto.
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La integral-- si tengo g prima de x por f prima de
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g de x dx, entonces eso es igual a f de g de x.
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No es más que la regla de la cadena invertida.
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Y sé que es bastante complicado a veces cuando
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lo tienes en este formato, pero os daré
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un par de ejemplos.
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Cómo haríamos si tuviera la integral de, digamos-- esto es
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algo que a veces se ve como un truco, pero veréis
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que no tiene tanto truco.
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OK.
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Digamos que tengo el logaritmo al cuadrado sobre x dx.
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Y si vieseis una integral como esta, probablemente
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flipariais y os sorprendería, mucha gente bien
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formada en cursos de cálculo aún flipan
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con este problema.
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Pero todo lo que tenéis que reconocer es que esto es
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la regla de la cadena invertida.
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Y por qué es la regla de la cadena invertida?
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Bueno, esto es lo mismo que la integral de 1/x por el
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logaritmo-- oops, esto debería ser nix, ahora-- el
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logaritmo de x al cuadrado dx.
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Esto es lo mismo, simplemente saqué el 1/x fuera.
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Quizá esto os resulte más familiar.
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Cuál es la derivada del logaritmo de x?
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Si os acordáis del módulo de derivadas,
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es 1/x, no es así?
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Déjame que anote eso en una esquina.
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La derivada del logaritmo de x es igual a 1/x.
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Aquí mismo tenemos la derivada del
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logaritmo de x.
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Así que ahora podemos decir que podemos tratar este
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logaritmo de x como una variable por sí misma.
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Y es esto lo que haré si me
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deja sustituirlo por esto otro.
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Venga, vamos a hacerlo.
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No, espera.. nada, nada, no lo haré ahora, te liará.
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Aunque quizá mis dudas os estén confundiendo
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más de la cuenta.
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Si tengo la derivada del logaritmo de x, podré
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decir entonces que tengo la derivada ahí, así que se trata
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de una función compuesta.
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Es tan simple como la f prima de g de x.
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Así que ahora podré decir que la integral tiene que ser
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iguala esto.
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Esto está al cuadrado, no?
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Así que cuál es la integral de algo al cuadrado?
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La integral de algo al cuadrado es 1/3.
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Esto es algo elevado al cubo.
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Lo aprendimos en el módulo previo de derivadas
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indefinidas, correcto?
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Así que es 1/3 de algo elevado al cubo, y luego
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sabemos por la regla de la cadena que algo es igual al logaritmo de x.
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No sé si ya me olvidé de hacerlo la primera
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vez, pero no os olvidéis de sumar el c.
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Ahora pensaréis, Sal, esto me ha liado completamente,
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porque quizá lo haya hecho, liaros.
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Y si realmente os ha liado, vamos a coger
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la derivada de esto y creo que lo podréis ver
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de la otra manera y tendrá más sentido.
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Cuando sacáis la derivada, usamos la regla de la cadena.
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Sacáis la derivada de la ecuación interna primero.
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La derivada de la primera es 1/x y lo multiplicáis por
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la derivada de la función externa, y luego
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dejáis el interior igual.
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Así que la derivada de la función externa es 3 veces
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su coeficiente, así que es 3 veces 1/3 de las veces del total
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elevado a un exponente menos.
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Así que todo resulta en logaritmo de x.
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Y luego claro más 0, exactamente.
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La derivada de c es 0.
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Así que esto es 3 y el 3 se cancela.
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Esto es igual a 1/x veces el logaritmo de x al cuadrado que
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es nuestro problema original.
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Déjame que haga otro problema porque quizá empecé
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con algo demasiado difícil.
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Cuál es la integral, por ejemplo, de seno de x
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elevado al cubo dx.
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Esto se suele escribir así.
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Se suele escribir como seno de x.
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Igual, pero me gusta imaginármelo así porque
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no es una fórmula nueva.
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De hecho hay un error.
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Se nota que me estoy inventando estos problemas sobre la marcha.
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Y no quiero hacer eso.
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Esto está mal.
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Quiero sacar la integral-- y de hecho os podéis dar
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cuenta de cómo pienso acerca de estos problemas-- voy a coger
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la integral del coseno de x por el seno de x elevado
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al cubo dx.
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Esta es la parte más complicada, el seno de x,
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y tenemos la derivada seno de x porque ya sabemos que
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la derivada seno de x es coseno de x.
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Así que si tenemos una función dentro de otra función compuesta más grande,
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y tenemos su derivada, podemos entonces tratar esta función como
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si fuese un sólo argumento.
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Como si todo esto fuese una sola variable y luego
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sacamos su integral.
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Así que esto es igual a seno de x y volvemos a elevar esto
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a la cuarta y lo multiplicamos por 1/4.
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Y cómo lo hicimos?
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Porque sabemos que la integral de x a la cuarta
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dx es igual a-- digo x al cubo dx-- es igual a
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1/4 de x a la cuarta.
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En vez de una x tenemos un seno aquí.
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Y recuerda que la razón por la que hicimos esto es porque la
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derivada de la función seno está justamente aquí.
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En la siguiente presentación, os enseñaré porqué esto también
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se puede hacer usando la sustitución; vamos, que es lo mismo.
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Os veo en la siguiente presentación.
