Całka nieoznaczona (część III)

Całkowanie przez odwrócenie reguły różniczkowania funkcji złożonej.

Witam ponownie.

W tej prezentacji pokażę, jak można

odwrócić regułę różniczkowania złożenia funkcji (dosł. regułę łańcuchową),

ponieważ zajmujemy się teraz całkowaniem, które

jest operacją odwrotną do różniczkowania.

Przypomnijmy więc sobie, jak wyznaczamy

pochodną złożenia funkcji.

Powiedzmy, że chcę znaleźć pochodną funkcji f od g od x,

mam nadzieję, że ten zapis nie zaciemnia zbytnio sedna sprawy.

Podam później przykład z konkretną funkcją f od x

i konkretną funkcją g od x.

Gdy chcę znaleźć pochodną tego wyrażenia, reguła łańcuchowa

mówi, że pochodna tego złożenia funkcji

to iloczyn pochodnej funkcji wewnętrznej,

g prim od x,

oraz pochodnej funkcji zewnętrznej w punkcie g od x,

f prim od g od x.

f prim od g od x.

Wiem, że może się to wydawać skomplikowane, jeśli nie jesteś

przyzwyczajony do tego typu notacji, ale

przykład to rozjaśni.

Wyznaczymy pochodną

sinusa z x do kwadratu.

W tej sytuacji f od x to sinus x, prawda?

Zaś g od x to x do kwadratu, prawda?

Stąd sinus z x do kwadratu to rzeczywiście f od g od x.

I przypomnienie reguły różniczkowania złożenia funkcji (reguły łańcuchowej).

Możesz oczywiście obejrzeć film na temat reguły łańcuchowej, ale

nie mam nic przeciwko pokazaniu kilku przykładów w tym miejscu.

Reguła mówi, że wyznaczając pochodną tego wyrażenia,

bierzemy pochodną funkcji wewnętrznej-- g od x, czyli w tym

przypadku 2x-- i mnożymy ją przez

pochodną funkcji zewnętrznej.

pochodną funkcji zewnętrznej.

Pamiętasz pewnie, że pochodna sinus x

to cosinus x, a więc mnożymy to przez cosinus od g od x.

Zachowujemy więc w tym miejscu x do kwadratu.

Jeśli to skomplikowane, pomyśl po prostu o funkcji wewnętrznej

i funkcji zewnętrznej.

Wyznaczając pochodną tego typu funkcji złożonej,

mnożymy pochodną

funkcji wewnętrznej, czyli 2x, przez pochodną

funkcji zewnętrznej.

Ale zachowujemy tu tę funkcję wewnętrzną, czyli

zachowujemy tutaj x do kwadratu.

To właśnie przypomnienie reguły różniczkowania złożenia funkcji.

A więc co się dzieje, gdy chcemy odwrócić regułę łańcuchową?

Gdy chcemy ją odwrócić, mówimy w istocie, że

chcemy wyznaczyć całkę z czegoś, co jest iloczynem

pochodnej czegoś w rodzaju funkcji wewnętrznej oraz

pochodnej większej funkcji złożonej.

Przepisuję po prostu regułę łańcuchową, ale

pod znakiem całki, dlatego zapisuję, że to jest równe f od g od x.

To stwierdzenie na górze jest równoważne

temu stwierdzeniu na dole.

Wszystko, co zrobiłem, to obustronne wzięcie całki.

Twierdzę, że całka z tego wyrażenia jest równa

całce z tego wyrażenia tutaj.

Nie powinienem był zamieniać tutaj stron równości.

Użyjmy tej formuły.

Wszystko co musisz w tej chwili wiedzieć, aby rozwiązywać

zadania, to że jest to odwrócenie reguły łańcuchowej.

Napiszę to raz jeszcze.

Całka z g prim od x razy f prim od

g od x dx jest równa f od g od x.

To po prostu odwrócenie reguły różniczkowania złożenia funkcji.

Wiem, że to czasem bardzo skomplikowane, gdy używamy

tej notacji, ale podam

kilka przykładów.

Powiedzmy, że chcę wyznaczyć całkę z -- to jest właściwie coś,

co często jest postrzegane jako "trikowe", ale zobaczysz,

że nie jest to wcale taki "trikowy" chwyt.

OK.

Powiedzmy, że mamy kwadrat logarytmu naturalnego z x przez x dx.

Widząc podobną całkę byłbyś pewnie

zniechęcony, ale- zaskoczę Cię- wiele osób,

które już dłuższy czas uczą się analizy, wciąż czuje się podobnie,

widząc takie zadanie.

Musisz tylko rozpoznać, że to jest

odwrócona reguła łańcuchowa.

Dlaczego jest to odwrócona reguła łańcuchowa?

Cóż, to to samo co całka nieoznaczona z 1/x razy

logarytm naturalny-- ups, tu powinno być ln x--

logarytm naturalny z x podniesiony do kwadratu.

To jest to samo, po prostu wyciągnąłem 1/x.

Teraz może to wyglądać znajomo.

Jaka jest pochodna logarytmu naturalnego z x?

Jeśli pamiętasz moduł na temat pochodnych,

jest to 1/x, prawda?

Zapiszę to tutaj z boku.

Pochodna logarytmu naturalnego z x to 1/x.

A więc tutaj mamy pochodną

logarytmu naturalnego z x.

Teraz moglibyśmy potraktować ten

logarytm naturalny z x jako oddzielną zmienną.

W istocie będziemy chcieli teraz

zrobić podstawienie.

Zróbmy właśnie tak.

Albo nie, nie, nie, nie będę robił tego teraz- to wprowadzi zamieszanie.

Choć pewnie ta zmiana planów komplikuje

wszystko jeszcze bardziej.

Mam pochodną logarytmu naturalnego z x, mogę więc powiedzieć:

mam tu pochodną funkcji wewnętrznej, a to

funkcja złożona.

To jest w istocie f prim od g od x.

Mogę więc stwierdzić, że ta całka

musi być równa takiemu wyrażeniu.

To jest kwadrat czegoś, prawda?

A jaka jest całka z czegoś do kwadratu?

Całka z czegoś do kwadratu to 1/3 razy

to coś do potęgi trzeciej.

Uczyliśmy się tego w poprzednim module na temat

całki nieoznaczonej, prawda?

Więc jest to 1/3 razy coś do potęgi trzeciej, a wiemy

z reguły łańcuchowej, że to coś to logarytm naturalny z x.

Nie wiem, czy już kiedyś o tym zapomniałem,

ale nie zapomnij dodać stałej c.

Powiesz teraz, Sal, to dla mnie strasznie pogmatwane-

bo pewnie takie właśnie było.

Ale jeśli czujesz, że to strasznie pogmatwane, policzmy po prostu

pochodną tego wyrażenia i myślę, że zobaczysz co się tu dzieje

od drugiej strony i może coś się rozjaśni.

Wyznaczając pochodną, zastosujemy po prostu regułę różniczkowania funkcji złożonej.

Najpierw bierzemy pochodną funkcji wewnętrznej.

Pochodna funkcji wewnętrznej to 1/x i mnożymy to przez

pochodną funkcji zewnętrznej, przy czym

zachowujemy tu funkcję wewnętrzną.

Zatem pochodna funkcji zewnętrznej to 3 razy

współczynnik, czyli razy 1/3, razy całe to wyrażenie

do potęgi o 1 mniejszej.

A to wyrażenie to logarytm naturalny z x.

Następnie oczywiście dodajemy zero, prawda?

Pochodna stałej c to 0.

To jest po prostu równe-- 3 i 1/3 skracają się--

to jest równe 1/x razy ln z x do kwadratu- co daje

nasze wyjściowe wyrażenie.

Zrobię kolejny przykład, bo chyba zacząłem

od czegoś zbyt trudnego.

Jaka jest całka z sinus x do

potęgi trzeciej dx.

Często zapisywane jest to w ten sposób.

To samo, ale wolę myśleć o tym w ten sposób, bo

nie wprowadzamy tu nowej notacji.

Właściwie to jest błąd.

Oczywiście wymyślam te problemy na bieżąco.

W zasadzie nie chcę tego robić.

To nie jest dobre zadanie.

Chcę znaleźć całkę-- teraz możesz zobaczyć,

w jaki sposób myślę o tych zadaniach-- wezmę

całkę z cosinus x razy sinus x do

potęgi trzeciej dx.

Cóż, mamy tę "bardziej skomplikowaną" część z sinus x,

mamy też pochodną sinus x, bo nauczyliśmy się,

że pochodna sinus x to cosinus x.

Więc gdy mamy pewną funkcję wewnątrz pewnej większej funkcji złożonej

oraz mamy jej pochodną, możemy potraktować tę funkcję jako

oddzielną zmienną.

Tak jakby była to jedna zmienna, a następnie

bierzemy całkę po tej zmiennej.

Więc to jest równe sinus x-- i podnosimy

ten wykładnik o jeden-- do czwartej i mnożymy to przez 1/4.

Jak to zrobiliśmy?

Ponieważ wiemy, że całka z x do czwartej

dx jest równa-- mam na myśli x do trzeciej dx-- jest równa

1/4 razy x do czwartej.

Zamiast x mieliśmy tutaj sinus x.

Pamiętaj, że zrobiliśmy tak, ponieważ

pochodna funkcji sinus x siedzi tutaj.

W następnej prezentacji pokażę, dlaczego można to zrobić także

stosując podstawienie albo raczej dlaczego jest to równoważne.

Do zobaczenia w następnej prezentacji.