Obegränsad Integration (del III)

Integration genom att göra kedjeregeln i omvänd ordning.

Välkommen tillbaka

nu kommer jag presentera hur man

huvudsakligen inventerar kejdje regeln eller vänder kedje

regeln eftersom vi gör integration, vilket är den

motsatsen till att ta derivatan.

Så låt oss bara ta en översyn av vad kedje

regeln lärde oss förut

Om jag skulle ta derivatan av fi g x -

förhoppningsvis förvirra det inte dig för mycket.

Jag ska ge ett annat exempel med en konkret f av x

och ett konkret g av x

Om jag vill ta derivatan av att kedjan

regeln säger bara derivat av den här sammansatta funktionen är

bara derivatan på insidan funktion.

g utmärkt x gånger derivat av den yttre, eller

typ av funktionen överordnade, men fortfarande med g

för x i tiden.

f prime g x.

Jag vet att detta kan verka komplicerat om du inte är alltför

bekväm med den här typen notation, men gjort på slag

ett exempel form gör det mycket känsla.

Om jag sade är vad derivat av låt oss

säga synd x kvadrat.

Väl i denna situation är f x synden av x, rätt?

Och sedan g x är x kvadrat, rätt?

Och synd x kvadratvärdet är i huvudsak f g x.

Och denna översyn av regeln om kedjan.

Man kan titta på videon om kedjan regeln, men jag

inget emot att göra ett par problem här.

Allt detta är att säga att derivatan av detta är du vidta

derivat av inuti funktionen--g x i detta

exempel, som är 2 x-- och du multiplicera det gånger den

derivat av den yttre funktionen eller

överordnad funktion.

Och vi kom ihåg jag gissa att derivatan av synden av x

är cosinus av x, så det är gånger cosinus av x g.

Så vi hålla x squared det.

Om man blandar du, tänk om insidan

och utanför funktionen.

Om du tar derivat av typ av denna sammansatta

funktion, det är samma sak som är lika med derivat av

inuti funktionen som är 2 x gånger derivatan

utanför funktionen.

Men vi hålla detta inuti funktionen i det, och vi

hålla detta x rätt där.

Så det är en översyn av regeln om kedjan.

Så vad händer om vi vill bakåtkompilera kedjan regeln?

Även säger om vi ville återföra det, vi i huvudsak

att vi vill ta integralen av något där vi

har derivatan av typ av funktionen inre, och sedan vi

har derivatan av en större sammansatt funktion.

Jag skriva om bara kedjan regeln, men jag skriver

en integrerad form att det är lika med f g x.

Detta uttalande här uppe är exakt samma sak som

uttalande här nere.

Allt jag gjorde är jag tog integralen av båda sidor.

Jag säger integralen av detta är lika med den

integralen av detta här.

Jag bytte förmodligen inte lika tecken som

med dig, men låt oss använda denna formel jag gissa.

Men du vet är detta baksidan av kedjan

regel att lösa vissa problem.

Bildens Invertera färger.

Låt mig skriva om som.

Integral--om jag har g premiärminister x gånger f premiärminister av

g x dx, då som är lika med f g x.

Detta är bara kedjan regeln baklänges.

Och jag vet att det är mycket komplicerat ibland när du

har det i denna notation, men jag ska ge er en

några exempel.

Vad händer om jag hade integral i Låt oss säga--är detta faktiskt

en slags ofta ses som ett trick, men du ser

Det är faktiskt inte så knepigt för ett trick.

Okej.

Så låt oss säga har fysiska loggen squared över x dx.

Och om du såg en integrerad såhär kan du förmodligen skulle vara

skrämda, och du skulle bli förvånad, många bra

i kollegiet är calculus kurser fortfarande detta

av detta problem.

Men du måste inse detta är

omvänd kedjan regeln.

Varför är detta regeln omvänd kedjan?

Det är samma sak som integral 1 / x gånger den

den naturliga logaritmen--whoops, detta bör nlx, rätt--den

den naturliga logaritmen av x kvadraten dx.

Dessa är samma sak, jag tog bara 1 / x ut.

Nu kanske detta känner lite.

Tja, vad som är derivat av den naturliga logaritmen av x?

Om du kommer ihåg från modulen derivat

Det är 1 / x, rätt?

Låt mig skriva som ner i hörnet här.

Derivat av den naturliga logaritmen av x är lika med 1 / x.

Så rätt här har vi derivat av den

den naturliga logaritmen av x.

Så nu kan vi bara säga att vi i huvudsak kunde behandla detta

den naturliga logaritmen för x som en variabel av sig självt.

Och i huvudsak vad jag ska göra om jag kunde

faktiskt ersätta.

Egentligen ska göra.

Väl Nej, nej, inte jag inte göra det nu, som ska det förvirrar för dig.

Även om min flip-flopping är förmodligen förvirrande

du ännu mer.

Jag har derivat av den naturliga logaritmen av x, så jag kan sedan

säga väl har derivatan där, så det här är en

sammansatt funktion.

Detta är i huvudsak f premiärminister g x.

Så då kan jag väl att integrerad måste vara

lika med denna sak.

Detta är något kvadraten, rätt?

Vad är integral något kvadrat?

Integralen av något kvadratvärdet är 1/3.

Det är något till den tredje makten.

Vi lärde oss i den tidigare generaliserad integralen

modul, rätt?

Och då är det 1/3 något till den tredje makten, och sedan vi

vet från kedjan regeln att något är ln x.

Och jag vet inte om jag redan har glömt att göra det

en gång, men Glöm inte att göra plus c.

Nu ni säger, Sal, detta helt förvirrade mig,

eftersom det förmodligen gjorde.

Och om den förväxlas helt du, låt oss ta bara det

derivat av detta och jag tror att du ser det händer det

Tvärtom och det kan göra lite känsla.

När du tar derivatan, använder vi bara regeln kedjan.

Du börja derivat på insidan.

Derivat av insidan är 1 / x och du multiplicera som gånger

derivatan av funktionen utanför, och sedan du

hålla insidan samma.

Derivatan av funktionen utanför är 3 gånger det

koefficient, så det är 3 gånger 1/3 gånger i hela

till ett mindre exponenten.

Så är hela ln x.

Och sedan naturligtvis plus 0, höger.

C derivat är 0.

Även detta är precis lika 3, 3 Avbryt.

Detta är lika med 1 / x gånger ln x kvadratvärdet, som

är vårt ursprungliga problem.

Låt mig göra ett annat problem eftersom jag förmodligen började

ut med något lite lite lugnare.

Vad är integrerad i Låt oss säga sin x till

den tredje makten dx.

Som skrivs ofta såhär.

Som skrivs ofta som synd för x.

Samma sak, men jag gillar att tänka på det här sättet eftersom

Det är inte en ny anteckning.

Detta är faktiskt ett misstag.

Jag gör tydligt upp dessa problem i farten.

Jag vill faktiskt inte göra detta.

Det är fel problemet.

Jag vill ta integrerad-- och faktiskt kan du se slag

av hur jag tänker på dessa problem--kommer jag att ta

integralen av cosinus av x gånger x till synd

den tredje makten dx.

Tja, har vi denna typ av mer komplicerad del, x, synd

och vi har x derivat synd eftersom vi lärt oss de

derivat sin x är cosinus av x.

Så om vi har en funktion inne i en större sammansatt funktion,

och vi har dess derivata, vi kan bara behandla denna funktion som

typ av som en enda enhet.

Som om detta var bara en variabel och sedan vi

ta integrerad i den.

Så här bara lika med sin x och vi tar upp detta en mer

befogenhet att fjärde och vi gånger multiplicera 1/4.

Och hur gör vi det?

Eftersom vi vet att integral säga x till fjärde

DX är lika med--jag menar x till den tredje dx--är lika

till 1/4 x till fjärde.

I stället för ett x hade vi en synd här.

Och kom ihåg anledningen till varför vi gjorde att eftersom den

derivatan av funktionen sin sitter här.

I nästa presentationen, ska jag visa er varför detta också kan

klar med substitutionsprincipen, eller varför de är samma sak.

Jag ser dig i nästa presentationen.