Indefinite integrals (part II)

Vítejte zpět!

V tomhle videu se budeme věnovat několika příkladům

na hledání primitivní funkce/neurčitého integrálu

různých polynomů a doufám, že uvidíte,

že je to vlastně docela jednoduché.

Tak do toho!

Kdybych chtěl hledat neurčitý integrál -

můžete kouknout na internet

a uvidíte, jak se znak pro integrál píše pořádně,

Vezmu něco pořádného.

Tak třeba hledáme neurčitý integrál

z výrazu 3x^(-5) - 7x^(3) +3- x^(9)

Určitě vás tenhle příklad zaujal.

Pokud jste viděli minulé video,

tak jste si asi uvědomili,

že neurčitý integrál

není tak složitá věc, jak vypadá.

Minimálně není tak těžký.

A všichni si musíte uvědomit, že

když derivujeme polynom,

tak je to pouze součet derivací jednotlivých členů.

A to samé platí obráceně.

Integrování tohoto výrazu je pouze

součtem integrálů jednotlivých členů

Takže stačí zintegrovat pouze každý člen

a získáme výsledek.

Čemu se to tedy rovná?

V tomto případě 3x na mínus pátou

takže vezmeme exponent a přičteme k němu jedničku,

tedy x bude na mínus čtvrtou

a potom vydělíme koeficient u x tímto novým exponentem.

To znamená 1/(-4) je mínus jedna čtvrtina

a když to vynásobíme třemi, tak vyjdou mínus tři čtvrtiny.

Tady je x na třetí.

Přičteme jedničku,

takže máme x na čtvrtou

teď vynásobíme koeficient.

To může být buď mínus sedm

nebo jenom sedm,

pokud tam necháte to mínus.

Vynásobíme ho zlomkem jedna lomeno nový exponent.

Nový exponent je čtyři,

takže dostaneme mínus sedm čtvrtin.

a teď to bude zajímavé.

Tři, prostě tři.

jak teda použijeme tenhle postup?

není to náhodou totéž jako 3 krát "x" na nultou?

Je, protože "x" na nultou je prostě jedna.

A tak byste to měli chápat.

A ukazuje to že celý tenhle postup je konzistentní.

Tak, jak tedy zintegrovat "3"?

Když to chápeme jako "x" na nultou, tak
stačí zvednout exponent o jedna

takže budeme mít "x" na první

a to je jen "x",

tak tam napíšu jenom "x".

Teď to ještě vynásobíme
ten starým koeficientem - tj. 3

zlomkem který má

ve jmenovateli ten nový exponent

a ten je jedna a jedna lomeno jedna

to je jedna, tak tam zůstane jenom trojka

vynásobili jsme trojku jedničkou.

A nakonec tu máme "x" na devátou -

myslím, že už se do toho dostáváte -

zvedneme exponent o jedna, "x" na desátou

a vynásobíme koeficient

ten je mínus jedna

zlomkem 1/10,

takže dostáváme,

že je to -1/10.

Takže jsme hotovi.

To nebylo tak složité -

pozor - zase jsem zapomněl

plus konstanta, ne?

Protože pokud derivujete konstantu,

tak je to vždycky nula, tak se to tu mohlo

ztratit. Takže plus c.

To může být deset nebo milion

nebo mínus bilion.

Jakákoliv konstanta.

Abychom to dodělali, tak

to teď ještě zderivujeme,

jen pro kontrolu.

To snad už umíte bez problémů.

A jestli vám někdy už nezbydou v knize
žádné příklady,

protože tak rádi počítáte,

Tak si můžete příklady vymyslet.

To je to, co dělám.

Dokonce i když nenatáčím žádné video.
Jen pro zábavu.

Tak to zderivujeme.

mínus čtyři krát tenhle koeficient

mínus čtyří krát 3/4, to je "3x"

teď ještě odečteme jedna od exponentu, tj. mínus pět

a mínus 7/4 krát čtyři je mínus 7

ještě odečteme jedničku.

Přísahám, že se tam nahoru nekoukám.

Můžete si myslet, Sal, ten se jenom kouká na zadání

ale ne, já to teď počítám z hlavy.

plus derivace "3x"

tak to je prostě 3.

Můžete si představit, že je to

3 krát "x" na nultou.

Teď deset krát mínus jedna desetina

to je prostě jedna,

x na deset mínus jedna, to je "x" na
devátou

plus derivace jakékoli konstanty - to

je nula.

Je to totiž vlastně nějaké číslo

krát "x" na nultou,

a když to derivuji

tak dostanu nula krát c - to je nula

Mohli byste taky dostat -1 podle toho,
jak byste to dělali

to je vlastně docela zajímavá otázka.

Nebudu odbíhat.

Takže nakonec dostanete, když to zjednodušíte

to původní zadání.

Myslím, že si můžeme dát ještě
jeden podobný příklad.

Myslím, že to už chápete.

Je to možná jedna z těch jednodušších

věcí v matematice.

V dalších videích bych

chtěl ukázat, proč je integrál tak
užitečný

Učíme se teď o neur. integrálu,

ale v dalších videích se naučíme používat

také určitý integrál

a zjistíme tím věci jako je plocha pod
křivkou

nebo objem rotačního tělesa.

Nebudu vás mást.

Uděláme ještě příklad.

Tenhle nebude tak zamotaný.

Takže - integrál z -1/2x^(-3) plus 7x^(5).

Začneme tímto členem.

Přičteme k exponentu jedničku, takže to
je teď mínus dva

protože mínus tři plus jedna je mínus dva.

Teď to vynásobíme zlomkem 1/-2

krát ten starý koeficient.

Raději ty kroky napíšu

Takže starý koeficient je -1/2

exponent je mínus dva

takže to vynásobíme

ještě změním barvy

plus zintegrovaný druhý člen, to je
"x" na šestou

a vynásobíme koeficient zlomkem se tím
exponentem

ve jmenovateli, takže krát 1/6

takže výsledek je?

Kolik je -1/2 krát -1/2?

To máme 1/4 x^(-2)

a samozřejmě plus konstanta.

asi je vám jasné, že

jsem kvůli "c" ztrácel body v testech.

1/4x^(-2) plus 7/6 x^(6) plus c

A je to.

A když to chcete zderivovat. -2 krát 1/4

to je -1/2 krát x^(-3)

a 6 krát 7/6, to je 7

a ještě snížíme exponent o jedna,

to je x^(5)

a derivace konstanty je nula.

A to je původní zadání.

Snad jste teď již ztotožněni s

derivováním polynomů,

a když máte zadaný nějaký polynom,
tak stačí při

integrování dělat to samé

naopak. A nikdy nezapomeňte
na konstantu

Doufám, že víte, proč tam je ta konstanta,

protože, když to integrujete, tak

nevíte, jestli ta původní věc,
která je zderivovaná

měla nějakou konstantu, protože její
derivace je nula.

Snad jsem vás tímhle trochu zmátl

Uvidíme se v dalším videu,

ukáži vám, jak obrátit pravidlo pro
derivaci složené funkce.

Nashledanou.