Integrales indefinidas ( parte II )

Ejemplos de como calcular la integral indefinida de un polynomio ( en ingles tambien las llaman antiderivadas )

Bienvenida de nuevo.

En esta presentación voy a hacer unos cuantos ejemplos

de calcular la antiderivada o la integral indefinida de

polinomios , y espero enseñaros que

es algo bastante sencillo de hacer

Así que vamos a empezar.

Si quisiera calcular la integral indefinida - y usted podría

buscar en internet " integral" y ver un dibujo

bien hecho -- tomar la integral indefinida - permítanme hacer

una expresión grande.

digamos que quiero calcular la integral indefinida de ( 3X , elevado a

menos cinco , menos 7X al cubo , mas 3

Así que puede que ya estes intimidado por

Bueno, uno, si has visto la última presentación, o si

entiendiste la ultima presentación , probablemente te habras dado cuenta de que , bueno ,

la integral indefinida aunque parece bastante extraña

no es tan extraña .

O al menos no es tan dificil de hacer .

Y de lo que te tienes que dar cuenta , es de que si tomabamos la derivada de

un polinomio , era simplemente la suma de las derivadas

de cada uno de los terminos

Y de hecho , se puede hacer justo lo contrario

La integral de toda esta expresion es simplemente , la

suma de las integrales de cada uno de los terminos individuales

Asi que podemos calcular la integral

de cada termino y tendremos la solucion

asi que esto ¿ a que es igual ?

Bueno , en este caso tenemos , 3X a la -5

Asi que cogemos el exponente ( -5 ) , y le sumamos uno (+1) , de modo que

obtenemos X a la - 4 , y multiplicamos el

coeficiente por uno partido del nuevo exponente (1/-4)

uno partido del nuevo exponente es( - 1/4 ) ,

tres veces -1/4 es -3/4

Y veamos ,

asi que en vez de al cubo , le sumamos uno al exponente

y obtenemos X a la 4 ( X^4)

ahora multiplicamos el coeficiente

podemos conservar el signo negativo y decir que el

coeficiente es 7 , o podemos decir simplemente que el coeficiente

es -7 .

Multiplicamos el coeficiente por uno partido del nuevo exponente ,

como el nuevo exponente es 4 , multiplicamos 1/4 por

-7 , que da : -7/4

Y ahora , esto es interesante ,

tres , solo tres .

¿ y como hacemos esto ?

Bueno ¿, no es 3 lo mismo que 3 por X elevado a 0 ? ( 3 = 3*X^0 )

Cierto , porque X elevado a 0 es uno ( X^0 = 1 )

y asi es como hay que verlo ,

demuestra que esta regla es bastante extensa

Asi que ¿ cual es la integral de 3 ?

Bueno , si lo vemos como 3*X^0 , le sumamos 1 al exponente

y obtenemos X^1

Y X^1 es lo mismo que X , asi que voi

a dejarlo como X .

Y multiplicamos el coeficiente ( 3 )

Lo multiplicamos

por uno partido del nuevo exponente

El exponente es uno , la inversa de 1 es 1 ,

asi que se queda como 3

Hemos multiplicado 1/1 por 3 , que sigue siendo 3 .

Y finalmente , X a la 9 ( X^9) -- creo que ya lo

vais pillando -- le sumamos uno al exponente ,

X a la 10 ( X^10 )

y multiplicamos el coeficiente

, que es -1 ,

solo que el 1 no lo escribimos

multiplicamos el nuevo coeficinte (-1) por

la inversa del nuevo exponente ( 1/10 )

Y ya esta .

No ha sido tan dificil , calcular la integral de ,

oh , siempre me olvido

mas C ¿ no ?

porque cuando haces la derivada de cualquier constante

de cero , asi que podia tener una constante que desaparecio al derivar .

asi que mas C , donde C es cualquier constante .

Podria ser un diez , podria ser un millon , podria

ser menos un trillon .

Es cualquier constante .

Y solo para hacerlo redondo , hagamos la

derivada de esto y aseguremonos de que

tenemos la expresion (( la inicial ))

Y esto , esperemos , sea pan comido para vosotros ya .

Y Ya sabeis , si os quedais sin ejercicios

que hacer , porque os encantan las matematicas ,

simplemente inventaroslos .

Eso es lo que yo estoi haciendo .

Lo hago incluso cuando no estoi grabano , por diversion .

bueno , hagamos la derivada de esto .

menos cuatro veces el coeficiente .

menos cuatro por menos tres cuartos es tres ( 3X )

Luego le quitamos uno al exponente , menos cinco

Y luego , cuatro veces cuatro es menos siete X a la -- le quitamos uno

al exponente -- X al cubo

Y os prometo que lo estoi haciendo sin mirar .

Se que podeis pensar , Sal estas mirando lo de arriba ,

pero no , estoi haciendolo mentalmente .

Y luego , mas la derivada de 3X :

Bueno la derivada de ·x es 3 -- chupado --

Pero podeis hacer esto , 3X a la -1

Y haceis uno por 3 es 3 , por X elevado a cero

Diez veces menos un decimo

es simplemente menos uno

X a la , diez menos uno , asi que X a la nueve , mas -- ¿ cual es

la derivada de una constante ?

aha , es cero .

Incluso podriais hacerlo como un numero

por X elevado a cero

y si hicieseis la derivada , multiplicariais cero

por C y os daria cero

puede que os diese menos uno , dependiendo de como

Es una cuestion interesante .

Bueno ya vale de divagar .

Os da cero , y si lo simplificais es :

tres X elevado a menos cinco , menos siete X al cubo , mas

Creo que tenemos tiempo para otro problema como este .

Me parece que ya la habreis pillado .

Es una de las cosas mas sencillas (( o de resolucion mas directa ))

que aprendereis en matematicas .

Y en las proximas lecciones , os dare una idea

intuitiva de para que es util la integral .

Estamos aprendiendo a usar integrales indefinidas , pero podriamos aprender a

usar las integrales definidas , que daremos dentro de un par de

clases , para calcular cosas como el area bajo

una curva , o el volumen de una figura rotatoria .

Bueno , no os liare mas .

hagamos otro problema .

No hare este tan largo .

Integral de menos un medio de X al cubo ,

Empezemos con este termino del polynomio .

Le sumamos uno al exponente , asi que da X a la menos dos ,

¿no? porque le hemos sumado uno a menos tres .

y luego multiplicamos la inversa del nuevo exponente ( 1/2 )

al coeficiente .

De hecho voi a escribir todos los pasos .

El coeficiente era menos un medio .

y esto es menos dos .

asi que multiplicamos menos dos por menos un medio .

--Voi a volver a cambiar de color--

Ahora le sumamos uno a este exponente , X a la sexta , y

multiplicamos el coeficiente por la inversa del nuevo

exponente ( 1/6 )

y ¿ cual es la respuesta ?

Bueno , ¿que es menos un medio por menos un medio?

Es mas un cuarto , X a la menos dos .

A , y claro , mas C

Ya veis que esto es lo que mas puntos me hace perder

en pruebas de calculo .

un cuarto de X a la menos dos , mas siete sextos de X a la sexta , mas C .

Ya esta .

Y si quereis acer la derivada , menos dos por un cuarto

es menos dos cuartos , que es menos un medio , de X a la menos tres .

Y luego , seis por siete sextos es 7 , X

Y le restais uno al exponente ,

X a la quinta .

Y la derivada de la constante (C) es cero , por supuesto .

Y obtenemos nuestra expresion original .

Espero que ya os sintais bastante comodos calculando la

derivada de un polynomio , Y dado un polynomio , podais

calcular la integral , ir

en el otro sentido .

Y nunca os olvideis de sumarle C .

Espero que hayais entendido porque hay que ponerla ,

porque cuando haceis una integral , no sabeis

si la expresion original que se derivo ,

tenia una constante , porque al derivarla se haria cero .

Probablemente os haya confundido con eso ultimo .

Os vere en la proxima clase , y os enseñare

como darle la vuelta a la regla de la cadena .

Nos vemos .

-- TRADUCIDO POR WAU --

3 , menos X elevado a 9 .

aqui tenemos X al cubo

lo hagais .

lo que acabo de escribir.

mas siete X a la quinta .

menos X elevado a nueve