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Intégrales indéfinies (partie II)

  • 0:01 - 0:02
    Bonjour.
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    Lors de cette présentation, je ferai simplement plusieurs exemples
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    de calcul d'antidérivée ou l'intégrale indéfinie
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    d'expressions polynomiales, et tenter de vous démontrer que
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    c'est une chose plutôt simple à faire.
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    Alors débutons.
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    Si je voulais calculer l'intégrale indéfinie-- et vous pouvez faire une
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    recherche web sur l'intégration, vous verrez ce symbole dessiné
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    correctement-- prenons l'intégrale indéfinie de
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    cette grande expression.
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    Disons que je veux l'intégrale indéfinie de 3x^-5
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    moins 7x^3 plus 3
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    Vous êtes peut-être déja intimidés par
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    Et bien, si vous avez vu la dernière présentation ou si vous
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    l'avez comprise, vous réalisez probablement que
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    l'intégrale indéfinie, même si elle paraît difficile
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    ne l'est pas vraiment.
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    Ou du moins elle n'est pas si difficile à effectuer,
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    et tout ce que vous devez réaliser pour le moment est que si nous prenons la dérivée
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    d'un polynôme, nous obtenons la somme des dérivées
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    de chacun des termes.
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    C'est aussi vrai d,un coté où l'autre.
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    L'antidérivée de cette expression n'est que la
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    somme des antidérivées de chaque terme pris individuellement.
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    Donc nous pouvons prendre l'intégrale
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    de chaque terme et nous aurons la réponse.
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    Alors que vaut cette expression?
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    Dans ce cas-ci, 3x^-5.
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    Nous prenons l'exposant, on lui ajoute 1, donc on a
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    x^-4, et puis nous multiplions le
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    coefficient par 1/(-4).
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    Nous avons donc -1/4.
  • 2:02 - 2:09
    Donc 3 fois -1/4 nous donne -3/4.
  • 2:09 - 2:13
    Maintenant,
  • 2:13 - 2:16
    Donc ajoutons 1 à l'exposant,
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    nous avons x^4.
  • 2:20 - 2:22
    Puis on multiplie le coefficient.
  • 2:22 - 2:24
    Vous savez, on pourrait aussi conserver le négatif et dire
  • 2:24 - 2:25
    que le coefficient est 7, ou bien qu,il est
  • 2:25 - 2:27
    -7.
  • 2:27 - 2:31
    On le multiplie par l,inverse du nouvel exposant.
  • 2:31 - 2:33
    L'exposant est 4, on multiplie donc 1/4
  • 2:33 - 2:42
    par -7, donc -7/4.
  • 2:42 - 2:45
    Et ceci est intéressant.
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    3, seulement 3.
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    Comment appliquer ceci?
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    Pouvons nous dire que 3 ext la même chose que 3 fois x^0?
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    Oui, parce que x^0 est égal à 1.
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    C'est comme ça que vous devriez le voir.
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    Cela démontre combien cette règle est consistante.
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    Quelle est l'antidérivée de 3?
  • 3:03 - 3:07
    Si nous prenons 3 comme 3x^0, on augmente l'exposant de 1
  • 3:07 - 3:13
    nous avons donc x^1
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    Et x^1 n'est en fait que x, je vais donc simplement
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    noter x.
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    Puis nous multiplions l'ancient coefficient, 3 ou
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    le coefficient différentiel-- on le multiplie
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    par l'inverse du nouvel exposant.
  • 3:26 - 3:29
    L'exposant est 1, son inverse est aussi 1.
  • 3:29 - 3:33
    Il demeure donc simplement 3.
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    On a multiplié 3 par 1/1, ce qui est égal à 3.
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    Finalement, x^9, je crois que vous comprenez
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    bien le principe-- on augmente de 1 l'exposant,
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    on a donc x^10.
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    Puis on multiplie le coefficient.
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    le coefficient est -1.
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    Le 1 est simplement sous-entendu.
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    Nous multiplions le coefficient -1 par
  • 3:55 - 4:02
    l'inverse du nouvel exposant, on a -1/10.
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    Et voilà!
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    Ce n'était pas si difficile.
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    Oh--j'oublie toujours,
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    Additionnons C.
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    Parce que la dérivée d'une constante
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    est 0, elle pourrait donc avoir disparu ici.
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    Donc plus C, où C est une constante quelconque.
  • 4:17 - 4:19
    Ce pourrait être 10, 1 million, ou bien
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    négatif 1 trillion
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    N'importe quelle constante.
  • 4:23 - 4:26
    Et pour s'assurer du résultat, prenons
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    la dérivée de cette expression pour être certain
  • 4:28 - 4:31
    de retrouver notre expression initiale.
  • 4:31 - 4:33
    Et ceci devrait se faire sans problème.
  • 4:33 - 4:35
    Et vous savez, si jamais vous manquez de problèmes pour pratiquer
  • 4:35 - 4:37
    dans votre livre parce que vous aimez trop les maths,
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    inventez-en de nouveaux.
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    C'est ce que je fais.
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    Je fais ceci même lorsque je ne fais pas de vidéos, pour le plaisir.
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    Prenons la dérivée de cette expression.
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    -4 fois ce coefficient.
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    -4 fois -3/4 font 3x.
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    On soustrait 1 à l'exposant, -5.
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    Puis, -7/4 fois 4 nous donne -7x^3, parce que nous
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    soustrayons 1 à l'exposant.
  • 5:10 - 5:12
    Et je vous promet que je ne regarde même pas ici-haut.
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    Vous pourriez penser que, eh bien-- Sal ne fait que regarder en-haut,
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    mais non, en fait je suis dans ma tête et je travaille l'expression.
  • 5:17 - 5:20
    Ensuite on ajoute la dérivée de 3x.
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    La dérivée de 3x est 3-- c'est maintenant un réflexe naturel
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    mais vous pouvez le faire-- 3x^1
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    Puis, 1 fois 3 est 3 fois x^0.
  • 5:32 - 5:35
    Puis, 10 fois -1/10
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    Ce qui donne -1.
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    x exposant 10-1, donc x^9, plus-- quelle est
  • 5:44 - 5:46
    la dérivée d'une constante?
  • 5:46 - 5:48
    Voilà, c'est 0.
  • 5:48 - 5:50
    On pourrait travailler la constante comme un nombre
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    fois x^0
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    Si on en prend la dérivée, bien on multiplie le 0
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    fois C et on obtient 0.
  • 5:59 - 6:01
    Bien, vous pourriez obtenir -1 dépendamment de la façon
  • 6:01 - 6:03
    Ceci soulève une question intéressante.
  • 6:03 - 6:04
    Ok, je vais arrêter de m'écarter du sujet.
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    Vous obtenez 0 ici, et si on simplifie, on obtient
  • 6:06 - 6:16
    3x^-5 moins 7x^3 plus
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    Je crois qu'on a le temps pour un autre problème semblable.
  • 6:18 - 6:20
    Je crois que vous pourrez le faire.
  • 6:20 - 6:22
    C'est une des choses les plus simples
  • 6:22 - 6:23
    que vous apprendrez en mathématiques.
  • 6:23 - 6:24
    Lors de présentations futures, je vous donnerai une
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    meilleure intuition quant à l'utilité de l'antidérivée.
  • 6:30 - 6:32
    Nous apprenons l'intégrale indéfinie, mais on pourrait apprendre
  • 6:32 - 6:34
    à utiliser l'intégrale définie, ce que nous apprendrons dans quelques
  • 6:34 - 6:36
    présentation pour trouver l'aire sous une
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    courbe, ou le volume d'une figure de rotation.
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    Je vais essayer de ne pas vous mélanger.
  • 6:43 - 6:46
    Faisons un autre problème.
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    Celui-ce ne sera pas aussi complexe.
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    Donc, l'intégrale de -1/2x exposant -3
  • 7:06 - 7:09
    Débutons par ce terme du polynôme.
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    On ajoute 1 à l'exposant, donc x^-2
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    n'est-ce pas? Parce que nous ajoutons 1 à -3.
  • 7:19 - 7:22
    Puis on multiplie l'inverse du nouvel exposant
  • 7:22 - 7:24
    par l'ancient coefficient.
  • 7:24 - 7:25
    En fait, je devrais écrire toutes les étapes.
  • 7:25 - 7:31
    Donc l'ancient coefficient est -1/2.
  • 7:31 - 7:34
    Nous avons donc -2.
  • 7:34 - 7:42
    -2, donc on multiplie par -1/2.
  • 7:42 - 7:44
    Je vais changer de couleur.
  • 7:44 - 7:49
    Puis on ajoute 1 à l'exposant. x¸6, et nous
  • 7:49 - 7:53
    multiplions l'ancient coefficient par l'inverse du nouveau
  • 7:53 - 8:01
    coefficient, fois 1/6.
  • 8:01 - 8:03
    Quelle est la réponse?
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    Que vaut -1/2 fois -1/2.
  • 8:05 - 8:11
    c'est 1/4x^-2.
  • 8:11 - 8:13
    Oh, et bien sûr, + C
  • 8:13 - 8:16
    Comme vous voyez, ceci est ma principale cause
  • 8:16 - 8:21
    de points perdus sur des examens de calcul.
  • 8:21 - 8:31
    1/4^-2 plus 7/6x^6 plus C
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    Voilà!
  • 8:32 - 8:35
    Et si onvoulait la dérivée, -2 fois 1/4
  • 8:35 - 8:40
    donne 2/4, ce qui vaut 1/2x^-3.
  • 8:40 - 8:44
    pUIS 6 FOIS 7/6 donne 7x.
  • 8:44 - 8:46
    Puis on diminue l'exposant de 1,
  • 8:46 - 8:47
    x^5.
  • 8:47 - 8:50
    Et la dérivée d'une constante est 0.
  • 8:50 - 8:53
    Et nous retrouvons l'expression de départ.
  • 8:53 - 8:57
    J'espère que vous vous sentez maintenant confortable
  • 8:57 - 8:59
    avec la dérivée d'un polynôme, et qu'étant donné un polynôme,
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    vous pouvez aussi en trouver l'antidérivée,
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    l'opération inverse.
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    Et n'oubliez pas le + C.
  • 9:07 - 9:08
    J'espère que vous comprenez pourquoi nous devons ajouter cette constante
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    ici, parce que lorsque l'on prend l'antidérivée, on ne sait pas
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    si l'expression originale avait une
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    constante, parce que la dérivée d'une constante est 0.
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    Je vous ai peut-être mélangé avec cette dernière phrase.
  • 9:22 - 9:24
    On se voit dans la prochaine présentation, je vous montrerai
  • 9:24 - 9:26
    comment inverser la dérivation en chaîne.
  • 9:26 - 9:28
    À bientôt!
  • Not Synced
    3-x^9.
  • Not Synced
    ce que je viens d'écrire.
  • Not Synced
    dont vous vous y prenez.
  • Not Synced
    moins x^9
  • Not Synced
    nous avons x^3
  • Not Synced
    plus 7x^5.
Title:
Intégrales indéfinies (partie II)
Description:

Exemples d'intégrales indéfinies (ou antidérivées) de polynômes.

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Video Language:
English
Duration:
09:28
jeremy_sam edited French subtitles for Indefinite integrals (part II)
jeremy_sam added a translation

French subtitles

Incomplete

Revisions