Intégrales indéfinies (partie II)

Exemples d'intégrales indéfinies (ou antidérivées) de polynômes.

Bonjour.

Lors de cette présentation, je ferai simplement plusieurs exemples

de calcul d'antidérivée ou l'intégrale indéfinie

d'expressions polynomiales, et tenter de vous démontrer que

c'est une chose plutôt simple à faire.

Alors débutons.

Si je voulais calculer l'intégrale indéfinie-- et vous pouvez faire une

recherche web sur l'intégration, vous verrez ce symbole dessiné

correctement-- prenons l'intégrale indéfinie de

cette grande expression.

Disons que je veux l'intégrale indéfinie de 3x^-5

moins 7x^3 plus 3

Vous êtes peut-être déja intimidés par

Et bien, si vous avez vu la dernière présentation ou si vous

l'avez comprise, vous réalisez probablement que

l'intégrale indéfinie, même si elle paraît difficile

ne l'est pas vraiment.

Ou du moins elle n'est pas si difficile à effectuer,

et tout ce que vous devez réaliser pour le moment est que si nous prenons la dérivée

d'un polynôme, nous obtenons la somme des dérivées

de chacun des termes.

C'est aussi vrai d,un coté où l'autre.

L'antidérivée de cette expression n'est que la

somme des antidérivées de chaque terme pris individuellement.

Donc nous pouvons prendre l'intégrale

de chaque terme et nous aurons la réponse.

Alors que vaut cette expression?

Dans ce cas-ci, 3x^-5.

Nous prenons l'exposant, on lui ajoute 1, donc on a

x^-4, et puis nous multiplions le

coefficient par 1/(-4).

Nous avons donc -1/4.

Donc 3 fois -1/4 nous donne -3/4.

Maintenant,

Donc ajoutons 1 à l'exposant,

nous avons x^4.

Puis on multiplie le coefficient.

Vous savez, on pourrait aussi conserver le négatif et dire

que le coefficient est 7, ou bien qu,il est

-7.

On le multiplie par l,inverse du nouvel exposant.

L'exposant est 4, on multiplie donc 1/4

par -7, donc -7/4.

Et ceci est intéressant.

3, seulement 3.

Comment appliquer ceci?

Pouvons nous dire que 3 ext la même chose que 3 fois x^0?

Oui, parce que x^0 est égal à 1.

C'est comme ça que vous devriez le voir.

Cela démontre combien cette règle est consistante.

Quelle est l'antidérivée de 3?

Si nous prenons 3 comme 3x^0, on augmente l'exposant de 1

nous avons donc x^1

Et x^1 n'est en fait que x, je vais donc simplement

noter x.

Puis nous multiplions l'ancient coefficient, 3 ou

le coefficient différentiel-- on le multiplie

par l'inverse du nouvel exposant.

L'exposant est 1, son inverse est aussi 1.

Il demeure donc simplement 3.

On a multiplié 3 par 1/1, ce qui est égal à 3.

Finalement, x^9, je crois que vous comprenez

bien le principe-- on augmente de 1 l'exposant,

on a donc x^10.

Puis on multiplie le coefficient.

le coefficient est -1.

Le 1 est simplement sous-entendu.

Nous multiplions le coefficient -1 par

l'inverse du nouvel exposant, on a -1/10.

Et voilà!

Ce n'était pas si difficile.

Oh--j'oublie toujours,

Additionnons C.

Parce que la dérivée d'une constante

est 0, elle pourrait donc avoir disparu ici.

Donc plus C, où C est une constante quelconque.

Ce pourrait être 10, 1 million, ou bien

négatif 1 trillion

N'importe quelle constante.

Et pour s'assurer du résultat, prenons

la dérivée de cette expression pour être certain

de retrouver notre expression initiale.

Et ceci devrait se faire sans problème.

Et vous savez, si jamais vous manquez de problèmes pour pratiquer

dans votre livre parce que vous aimez trop les maths,

inventez-en de nouveaux.

C'est ce que je fais.

Je fais ceci même lorsque je ne fais pas de vidéos, pour le plaisir.

Prenons la dérivée de cette expression.

-4 fois ce coefficient.

-4 fois -3/4 font 3x.

On soustrait 1 à l'exposant, -5.

Puis, -7/4 fois 4 nous donne -7x^3, parce que nous

soustrayons 1 à l'exposant.

Et je vous promet que je ne regarde même pas ici-haut.

Vous pourriez penser que, eh bien-- Sal ne fait que regarder en-haut,

mais non, en fait je suis dans ma tête et je travaille l'expression.

Ensuite on ajoute la dérivée de 3x.

La dérivée de 3x est 3-- c'est maintenant un réflexe naturel

mais vous pouvez le faire-- 3x^1

Puis, 1 fois 3 est 3 fois x^0.

Puis, 10 fois -1/10

Ce qui donne -1.

x exposant 10-1, donc x^9, plus-- quelle est

la dérivée d'une constante?

Voilà, c'est 0.

On pourrait travailler la constante comme un nombre

fois x^0

Si on en prend la dérivée, bien on multiplie le 0

fois C et on obtient 0.

Bien, vous pourriez obtenir -1 dépendamment de la façon

Ceci soulève une question intéressante.

Ok, je vais arrêter de m'écarter du sujet.

Vous obtenez 0 ici, et si on simplifie, on obtient

3x^-5 moins 7x^3 plus

Je crois qu'on a le temps pour un autre problème semblable.

Je crois que vous pourrez le faire.

C'est une des choses les plus simples

que vous apprendrez en mathématiques.

Lors de présentations futures, je vous donnerai une

meilleure intuition quant à l'utilité de l'antidérivée.

Nous apprenons l'intégrale indéfinie, mais on pourrait apprendre

à utiliser l'intégrale définie, ce que nous apprendrons dans quelques

présentation pour trouver l'aire sous une

courbe, ou le volume d'une figure de rotation.

Je vais essayer de ne pas vous mélanger.

Faisons un autre problème.

Celui-ce ne sera pas aussi complexe.

Donc, l'intégrale de -1/2x exposant -3

Débutons par ce terme du polynôme.

On ajoute 1 à l'exposant, donc x^-2

n'est-ce pas? Parce que nous ajoutons 1 à -3.

Puis on multiplie l'inverse du nouvel exposant

par l'ancient coefficient.

En fait, je devrais écrire toutes les étapes.

Donc l'ancient coefficient est -1/2.

Nous avons donc -2.

-2, donc on multiplie par -1/2.

Je vais changer de couleur.

Puis on ajoute 1 à l'exposant. x¸6, et nous

multiplions l'ancient coefficient par l'inverse du nouveau

coefficient, fois 1/6.

Quelle est la réponse?

Que vaut -1/2 fois -1/2.

c'est 1/4x^-2.

Oh, et bien sûr, + C

Comme vous voyez, ceci est ma principale cause

de points perdus sur des examens de calcul.

1/4^-2 plus 7/6x^6 plus C

Voilà!

Et si onvoulait la dérivée, -2 fois 1/4

donne 2/4, ce qui vaut 1/2x^-3.

pUIS 6 FOIS 7/6 donne 7x.

Puis on diminue l'exposant de 1,

x^5.

Et la dérivée d'une constante est 0.

Et nous retrouvons l'expression de départ.

J'espère que vous vous sentez maintenant confortable

avec la dérivée d'un polynôme, et qu'étant donné un polynôme,

vous pouvez aussi en trouver l'antidérivée,

l'opération inverse.

Et n'oubliez pas le + C.

J'espère que vous comprenez pourquoi nous devons ajouter cette constante

ici, parce que lorsque l'on prend l'antidérivée, on ne sait pas

si l'expression originale avait une

constante, parce que la dérivée d'une constante est 0.

Je vous ai peut-être mélangé avec cette dernière phrase.

On se voit dans la prochaine présentation, je vous montrerai

comment inverser la dérivation en chaîne.

À bientôt!

3-x^9.

ce que je viens d'écrire.

dont vous vous y prenez.

moins x^9

nous avons x^3

plus 7x^5.