Całka nieoznaczona (część II)

Przykłady wyznaczania całki nieoznaczonej z wielomianów

Witam ponownie.

W tej prezentacji pokażę garść przykładów

wyznaczania całki nieoznaczonej z

wielomianów i mam nadzieję, że uda mi się

przekonać Cię, że to całkiem proste.

A więc zaczynajmy.

Chcę znaleźć całkę nieoznaczoną z-- możesz poszukać

w Internecie jak prawidłowo napisać ten symbol--

wyznaczymy całkę nieoznaczoną z-- wezmę

jakieś długie wyrażenie.

Powiedzmy, że chcę wyznaczyć całkę nieoznaczoną z 3 razy x

do potęgi minus 5 minus 7 razy x do sześcianu plus 3

Możesz być nieco przestraszony tym

Ale jeśli widziałeś poprzednią prezentację i ją

zrozumiałeś, pewnie zdajesz sobie sprawę, że

całka nieoznaczona- mimo że wygląda jak wyszukana matematyka-

wcale nie jest taka wyszukana.

Albo przynajmniej nie jest taka trudna do rozwiązania.

I wszystko, co musisz teraz pamiętać, to że pochodna

wielomianu to po prostu suma pochodnych poszczególnych

wyrazów wielomianu.

Zastosujemy tu to samo spostrzeżenie, tylko w drugą stronę.

Funkcja pierwotna z całego tego wyrażenia

to po prostu suma funkcji pierwotnych z poszczególnych składników.

Wyznaczymy więc całkę nieoznaczoną z

każdego wyrazu i otrzymamy w ten sposób odpowiedź.

Więc czemu to jest równe?

Mamy tu 3x do potęgi minus 5.

Bierzemy wykładnik, dodajemy do niego 1, więc

dostajemy x do potęgi minus 4, a następnie mnożymy

współczynnik przez odwrotność nowego wykładnika.

1 przez nowy wykładnik daje minus 1/4.

Dalej 3 razy minus 1/4 to minus 3/4.

Spójrzmy dalej.

W miejsce x do potęgi trzeciej podnosimy wykładnik o 1.

Więc dostajemy x do potęgi czwartej.

A teraz mnożymy współczynnik.

Moglibyśmy albo zostawić ten minus i powiedzieć, że

współczynnik to 7, albo przyjąć, że współczynnik

to minus siedem.

Mnożymy ten współczynnik przez odwrotność nowego wykładnika.

Nowy wykładnik to 4, więc mnożymy 1/4 przez

minus 7 i dostajemy minus 7/4.

A teraz coś ciekawego.

3, po prostu 3.

Jak zastosujemy tu naszą regułę?

Czy 3 to nie jest to samo co 3 razy x do potęgi zerowej?

Istotnie, ponieważ x do potęgi zerowej to po prostu 1.

I właśnie w ten sposób powinieneś na to patrzeć.

To pokazuje, że nasza reguła jest w istocie bardzo spójna.

Więc jaka jesf funkcja pierwotna trójki?

Cóż, jeśli spojrzymy na 3 jako 3 razy x do potęgi zerowej, podnosimy wykładnik o 1,

więc teraz mamy x do potęgi pierwszej.

A x do potęgi pierwszej to po prostu x, więc

zostawię to jako x.

I mnożymy to-- ten stary współczynnik 3--

mnożymy to przez

odwrotność nowego wykładnika.

Nowy wykładnik to jeden, więc jego odwrotność to 1,

stąd zostaje tu po prostu 3.

Pomnożyliśmy 3 przez 1/1, co daje 3.

I w końcu x do potęgi dziewiątej-- myślę, że już czujesz,

o co tu chodzi- zwiększamy wykładnik o 1,

x do potęgi dziesiątej.

I później mnożymy współczynnik.

Teraz współczynnik jest równy minus 1, prawda?

Po prostu nie napisaliśmy tu tej jedynki.

Mnożymy ten współczynnik przez

odwrotność nowego wykładnika, co daje minus 1/10.

A więc mamy to.

To nie było zbyt trudne zadanie wyznaczenia całki nieoznaczonej.

Och, zawsze zapominam.

Plus stała c, prawda?

Ponieważ pochodna dowolnej stałej

to 0, tutaj to znika.

Dlatego dodajemy dowolną stałą c.

Mogłoby to być 10, milion, mogłoby być

minus trylion.

To dowolna stała.

Żeby wszystko było jasne, wyznaczmy

pochodną tego aby upewnić się, że otrzymamy

to wyrażenie.

Mam nadzieję, że robisz to już odruchowo.

I gdy kiedykolwiek zabraknie Ci zadań do rozwiązania

w Twoim podręczniku-- bo przecież kochasz robić zadanka z matematyki--

po prostu sam je sobie wymyślaj.

Ja właśnie tak robię.

Nawet gdy nie nagrywam filmów, po prostu dla zabawy.

Więc wyznaczmy pochodną tego.

Minus 4 razy współczynnik.

Minus 4 razy 3/4 daje 3x.

Teraz odejmujemy 1 od wykładnika, minus 5.

Następnie 4 razy minus 4/7 daje 7 x do-- odejmujemy 1 od tego

wykładnika-- x do potęgi trzeciej.

I przysięgam, nawet nie patrzę na to co jest wyżej.

Wiem, że możesz pomyśleć: on po prostu patrzy co jest napisane na górze,

ale nie, koncentruję się na wyznaczaniu pochodnej.

A następnie dodajemy pochodną 3x.

Cóż, pochodna 3x to 3- już teraz niemal bez zastanowienia--

ale możesz zauważyć, że to 3x do potęgi pierwszej.

I teraz powiesz 1 razy 3 daje 3, razy x do potęgi zerowej.

Następnie 10 razy minus 1/10.

To po prostu 1.

x do potęgi 10 minus 1, czyli x do potęgi 9, plus-- jaka

jest pochodna dowolnej stałej?

Tak, to zero.

Możesz zawsze traktować stałą jako iloczyn pewnej liczby

i x do potęgi zerowej.

Biorąc pochodną, mnożymy zero

razy c i otrzymujemy zero.

Cóż, możemy otrzymać minus 1 w zależności od tego,

To jest właściwie bardzo ciekawa kwestia.

OK, wystarczy tych dygresji.

Dostajesz więc tutaj zero, co po uproszczeniu

daje 3 razy x do minus piątej minus 7x do trzeciej plus

Myślę, że wystarczy nam czasu na jeszcze jeden podobny przykład.

Chyba już to rozumiesz, prawda?

To prawdopodobnie jedna z prostszych rzeczy,

których się nauczysz z matematyki.

A w kolejnych prezentacjach chcę przekazać

intuicję, dlaczego całka nieoznaczona jest przydatna.

Uczymy się o całce nieoznaczonej, ale możemy też nauczyć się

wykorzystywać całkę oznaczoną, czego nauczymy się

w dalszych przezentacjach, do znajdowania pola powierzchni pod

krzywą lub objętości bryły obrotowej.

Nie chcę teraz robić zamieszania.

Zróbmy jeszcze jeden przykład.

Nie będzie on tak straszny jak poprzedni.

A więc całka nieoznaczona z 1/2 razy x do potęgi minus 3

Zacznijmy od tego wyrazu naszego wielomianu.

Zwiększamy wykładnik o 1,więc mamy teraz x do minus drugiej,

bo dodaliśmy 1 do minus 3.

I później mnożymy odwrotność tego nowego wykładnika przez

stary współczynnik.

Właściwie to zapiszę wszystkie kroki.

Zatem stary współczynnik to minus 1/2, prawda?

Więc to jest minus 2.

To mnożymy przez minus 1/2

Powrócę do poprzedniego koloru.

Dodać-- zwiększamy wykładnik o 1-- x do szóstej i

mnożymy stary współczynnik przez odwrotność nowego

wykładnika, razy 1/6.

Więc jaka jest odpowiedź?

Ile wynosi minus 1/2 razy minus 1/2?

To plus 1/4 razy x do potęgi minus 2.

Och, i oczywiście plus c.

Jak widzisz, na tym głównie tracę

punkty w quizach z analizy.

1/4 razy x do minus drugiej plus 7/6 razy x do szóstej plus c.

No i mamy.

Biorąc teraz pochodną, mamy minus 2 razy 1/4

to minus 2/4- czyli minus 1/2- razy x do potęgi 3.

A później 6 razy 7/6 daje 7.

Teraz obniżasz wykładnik o 1,

x do potęgi piątej.

A pochodna naszej stałej to zero.

I otrzymaliśmy nasze wyjściowe wyrażenie.

Mam nadzieję, że na tym etapie czujesz się dość komfortowo

wyznaczając pochodne wielomianu, a gdy masz podany wielomian,

potrafisz wskazać jego funkcję pierwotną,

wykonać operację odwrotną.

I nigdy nie zapominaj o dodaniu stałej c.

Mam nadzieję, że rozumiesz, dlaczego musimy wstawić tu tę stałą,

bo gdy wyznaczamy funkcję pierwotną, nie wiemy,

czy wyrażenie, którego pochodną mamy daną

miało tam stałą, ponieważ pochodna stałej to zero.

Mam nadzieję, że nie namieszałem tym ostatnim stwierdzeniem.

W następnej prezentacji pokażę Ci,

jak można odwrócić regułę łańcuchową.

Do zobaczenia wkrótce.

3 minus x do dziewiatej.

Mamy tu x do sześcianu.

Zmienię na chwilę kolor.

co właśnie zapisałem.

dodać 7 razy x do piątej.

jak to zrobimy.

minus x do potęgi dziewiątej.