Obestämda integraler (del 2)

Några exempel på hur man hittar den obestämda integralen av ett polynom.

Välkommen tillbaka.

I den här presentationen kommer jag bara att göra några exempel

där jag hittar primitiv funktion eller löser en obestämd integral av

polynomuttryck, och förhoppningsvis kommer jag att visa dig att

det är en ganska rättfram sak att göra.

Så låt oss börja.

Om jag ville ta en obestämd integral -- och du kan göra en

internetsökning på integral och då kommer du att se den här ritad

ordentligt -- ta den obestämda integralen -- låt mig göra

ett stort uttryck.

Om jag vill ta den obestämda integralen av 3x

upphöjt i minus 5 minus 7x upphöjt i 3 plus 3

Du kanske känner dig avskräckt av

Först, om du såg den senaste presentationen eller om du

förstod presentationen inser du troligen att den

obestämda integralen, även om den ser ut som komplicerad

matematik inte är det.

Eller den är åtminstone inte så svår att utföra.

Och allt du behöver förstå nu är om vi tog derivatan av

ett polynom, det var bara summan av derivatorna

för alla termer.

Det visar sig faktiskt att det är på samma sätt åt det andra hållet.

Den primitiva funktionen av hela det här uttrycket är bara

summan av de primitiva funktionerna av de enskilda termerna.

Så vi kan bara ta den primitiva funktionen

hos alla termer och det ger oss svaret.

Så, vad är det här lika med?

Så, i det här fallet 3x upphöjt till 5.

Så vi tar exponenten, vi adderar 1 till exponenten vilket

ger oss x upphöjt till minus 4, och sen multiplicerar we

koefficienten med 1 över den nya exponenten.

Så 1 över den nya exponenten är minus 1/4.

Så 3 gånger minus 1/4 är minus 3/4.

Och låt oss se

så istället för x upphöjt till tre, låt oss höja den med ett nummer.

Så vi får x upphöjt till 4.

Och sen multiplicerar vi med koefficienten.

Du vet, vi kan antingen behålla minuset och säga att

koefficienten är 7, eller så kan vi säga att koefficienten

är minus 7.

Vi multiplicerar koefficienten med 1 över den nya exponenten.

Så den nya exponenten är 4, vilket ger att vi multiplicerar 1/4 med

minus 4, vilket blir minus 7/4.

Det här är intressant.

3, bara 3.

Så, hur använder vi det?

Är inte 3 samma sak som 3 gånger x upphöjt i 0?

Precis, eftersom x upphöjt i 0 är bara 1.

Och det är så du ska tänka på det.

Det visar att den här regeln är väldigt konsekvent.

Så vad är den primitiva funktionen till 3?

Om vi ser 3 som 3x upphöjt i 0, och vi ökar exponenten med

1, så nu kommer vi att ha x upphöjt i 1.

Och x upphöjt i 1 är bara x, så jag

lämnar det som ett x.

Och vi multiplicerar det, den gamla koefficienten -- den här 3:an

eller du vet koefficienten i polynomet -- vi multiplicerar det med

inversen av den nya exponenten.

Så, den nya exponenten är 1, och inversen av 1 är 1.

så den är fortfarande 3.

Vi multiplicerade 3 med 1/1, vilket fortfarande bara är 3.

Och sen slutligen x upphöjt i nio -- Jag tror du börjar

få koll på det här -- vi ökar exponenten med ett,

x upphöjt i 10.

Och sen multiplicerar vi den nuvarande koefficienten.

Den nuvarande koefficienten är minus 1 eller hur.

Vi skrev bara inte ut 1:an där.

Vi multiplicerar den nuvarande koefficienten minus 1 med

1 över den nya exponenten, vilket blir minus 1/10.

Där har vi klarat av det.

Det där var inte så svårt att hitta den primitiva funktionen till

eller -- jag glömmer alltid.

Plus c, eller hur?

Eftersom när du tar derivatan av en konstant

blir den 0, så den kan ha försvunnit här.

Så plus c, som är en godtycklig konstant

Den kan vara 10, kan vara en miljon, kan

vara minus biljoner.

Det är en konstant, vilken som helst.

Och för att vara säker, låt oss ta

derivatan på det här och försäkra oss om att vi har

det här uttrycket.

Och förhoppningsvis sitter det här i ryggmärgen nu.

Och om du får slut på övningsuppgifter

i din bok för att du älskar matte så mycket,

kan du börja hitta på egna problem.

Det är vad jag gör.

Jag gör det här även när jag inte spelar in videos, bara för skojs skull.

Så låt oss ta derivatan av det här.

Minus 4 gånger den här koefficienten.

Minus 4 gånger minus 3/4 är 3x.

Sen subtraherar vi 1 från exponenten, minus 5.

Och sen 4 gånger 4 är minus 7 x upphöjt i -- vi drar bort 1 från den här

exponenten -- x upphöjt i 3.

Och jag lovar dig, jag tittar inte ens upp här.

Jag vet att ni kanske tänker, Sal, han tittar bara uppe här,

men nej, jag räknar i alla fall igenom det i mitt huvud.

Och sen plus derivatan av 3x.

Derivatan av 3x är 3 -- sitter nästan i ryggmärgen

nu, men du du kan göra det här -- det är 3x upphöjt i 1.

Och du säger att 1 gånger 3 är 3 gånger x upphöjt i 0.

Och sen 10 gånger minus 1/10.

Vilket bara är minus 1.

x upphöjt i 1 mindre än 10 är x upphöjt i nio, plus -- vad är

deivatan av en konstant?

Den är 0, eller hur.

Du kan nästan göra den här konstanten som ett tal

gånger x upphöjt i 0.

Och om du ta derivatan på det, komemr du att multiplicerar 0

med c och få 0.

Du kan få minus 1 beroende på hur

Men det är faktiskt en väldigt intressant fråga.

OK, jag ska sluta med sidospåret.

Men om du har 0 här, och om du förenklar det, blir det bara

lika med 3x upphöjt i minus 5 minus 7x upphöjt i 3 plus

Tror att vi har tid för ett till problem liknade det här.

jag tror att du förmodligen har fattat det här.

Det här är förmodligen en av de mer rättframma sakerna

du kommer att lära dig inom matematik.

Och i senare presentationer kommer jag ge dig mer av

en intuition av varför integraler är så användbara.

Vi lär oss den obestämda integralen, men vi skulle kunna läsa oss att

använda den bestämda integralen, vilken vi kommer att lära oss om ett par

presentationer för att räkna ut saker som arean under

en kurva, eller volymen av en roterande figur.

Jag ska inte förvirra dig alltför mycket.

Låt oss gör ett till problem.

Jag gör inte den här lika svår.

Så, vad är integralen av minus 1/2x upphöjt i minus 3

Vi börjar med den här termen i polynomet.

Vi ökar exponenten med 1, det blir x upphöjt i minus 2,

eller hur, eftersom vi adderade 1 till minus 3.

Sen multiplicerar vi 1 över den nya exponenten med

den gamla koefficienten

Och, jag skriver ut alla steg.

Den gamla koefficienten är minus 1/2.

Det här är minus 2.

Minus 2 multiplicerat med minus 1/2.

Jag byter tillbaka färg.

Plus vi ökar exponenten med 1, x upphöjt i 6, och vi

multiplicerar den gamla koefficienten med 1 över den nya

exponenten, gånger 1/6.

Så, vad blir svaret?

Vad är minus 1/2 gånger minus 1/2?

Det är positivt 1/4 x upphöjt i minus 2.

Åh, och självklart, plus c.

Som du märker, det här är min främsta anledning till att missa

poäng på räknetest.

1/4 x upphöjt i minus 2 plus 7/6 upphöjt i 6 plus c.

Där har vi det.

Och om du vill ta derivatan, minus 2 gånger 1/4

är minus 2/4 vilket är minus 1/2 x upphöjt i minus 3.

Och sen 6 gånger 7/6 är 7x.

Och sen minskar du exponenten med 1,

x upphöjt i 5

Och derivatan av vår konstant är 0.

Och sen har vi vårt original uttryck.

Förhoppninsvis, vid den här punkten är du ganska bekväm med att

derivera ett polynom, och sen givet ett polynom kan du

dessutom integrera, gå

åt andra hållet.

Och glöm aldrig att ta med plus c.

Och jag hoppas att du förstår varför vi behöver lägga till den konstanten

där, eftersom när du integrerar vet du inte

om orginalet som du tog derivatan av

hade en konstant där, eftersom konstantens derivata är 0.

Förhoppningsvis förvirrade jag dig inte med den sista meningen.

Vi syns i nästa presentation, då jag sak visa dig

hur kedjeregeln fungerar baklänges-

Syns snart.

3 minus x upphöjt i nio.

Här har vi x upphöjt till tre.

det jag har skrivit.

du gör det

minus x upphöjt i nio.

plus 7x upphöjt i 5.