Belirsiz integral (2. kısım)

Polinomlarla ilgili belirsiz integral (terstürev) örnekleri

Tekrar hoşgeldiniz.

Bu sunumda polinomların terstürevini veya belirsiz integralini bulmak konusunda örnekler yapacağım. Umarım, bunun çok basit bir işlem olduğunu göreceksiniz.

-

-

-

Başlıyoruz.

Şöyle karmaşık bir ifade oluşturayım.

-

-

-

3 x üzeri eksi 5 eksi 7 x küp artı 3 eksi x üzeri 9'un integralini alalım.

-

Bu ifade gözünüzü korkutmuş olabilir.

Eğer bir önceki sunumu gördüyseniz anlamışsınızdır, belirsiz integral almak zor görünse de, aslında o kadar zor değildir.

-

-

-

-

Farkına varmanız gereken tek şey, polinomun türevini alırken nasıl terimlerin türevlerini topluyorsak, integral alırken de aynı şekilde toplam alabileceğimizdir.

-

-

-

Bu ifadenin terstürevi, teker teker terimlerin terstürevlerinin toplamıdır.

-

Her terimin terstürevini alıp sonucu buluruz.

-

Yani bu neye eşit olur?

Burada 3 x üzeri eksi 5 var.

Üssü alırız, 1 toplarız, yani x üzeri eksi 4, ve 1 bölü yeni üsle çarparız.

-

-

1 bölü yeni üs eşittir eksi 1 bölü 4.

3 çarpı eksi 1 bölü 4 eşittir eksi 3 bölü 4.

Bakalım. Burada x küp var. 3'ü 1 artıralım. x üzeri 4 elde ederiz.

-

-

Ve katsayıyla çarpıyoruz.

Eksiyi tutup katsayı 7'dir diyebiliriz veya katsayı eksi 7'dir deriz.

-

-

Katsayı çarpı 1 bölü yeni üssü alıyoruz.

Yeni üs 4 olduğu için, 1 bölü 4 çarpı eksi 7 eşittir eksi 7 bölü 4.

-

Burası ilginç.

3, sadece 3.

Peki bunu nasıl uygulayacağız?

3, 3 çarpı x üzeri 0'la aynı şey değil mi?

Evet, çünkü x üzeri 0 eşittir 1.

Böyle düşünmemiz gerekiyor.

Bu kuralın çok tutarlı olduğunu görüyoruz.

Buna göre, 3'ün terstürevi nedir?

3'ü 3 x üzeri 0 gibi düşünürsek, üssü 1 artırınca, x üzeri 1 olur.

-

x üzeri 1, x demektir.

Bunu x olarak bırakırım.

Eski katsayıyı, yani 3'ü, 1 bölü yeni üsle çarpıyorum.

-

-

Yeni üs 1 olduğuna göre, 1'in çarpmaya göre tersi 1'dir, böylece bu 3 kalır.

-

3 çarpı 1 bölü 1, 3'tür dedik.

Ve son olarak, x üzeri 9 - sanıyorum yönteme alıştınız- üssü 1 artırırız, x üzeri 10. Şimdiki katsayıyı çarparız. Şimdiki katsayı eksi 1. Buraya 1'i yazmadık.

-

-

-

-

-

Eksi 1'i 1 bölü yeni üsle çarparız, yani eksi 1 bölü 10.

-

İşte bulduk.

Terstürevi almak çok zor değildi - yine unuttum. Artı c, öyle değil mi?

-

-

Çünkü herhangi bir sabitin türevini aldığımızda 0 elde ediyoruz, yani yok oluyor.

-

Artı c, herhangi bir sabit.

10 olabilir, milyon olabilir, eksi trilyon olabilir.

-

Herhangi bir sabit olabilir.

İyice anlamak için, bunun türevini alalım ve bu ifadeyi elde ettiğimizden emin olalım.

-

-

Umarım buna alışmışsınızdır.

Eğer çözecek sorunuz biterse, soru uydurabilirsiniz. Ben böyle yapıyorum.

-

-

-

Video kaydederken de, eğlence olsun diye böyle yapıyorum.

Şimdi bunun türevini alalım.

Eksi 4 çarpı bu katsayı.

Eksi 4 çarpı eksi 3 bölü 4 eşittir 3 x.

Ve, bu üsten 1 çıkarıyoruz, eksi 5.

Sonra, eksi 7 bölü 4 çarpı 4 eşittir eksi 7.

Bu üsten 1 çıkarıyoruz, x küp.

Yukarı bakmıyorum bile.

Yukarı baktığımı düşünebilirsiniz.

Ama hayır, bu türevleri aklımdan buluyorum.

Artı 3 x'in türevi.

3 x'in türevi 3'tür -buna alışkınız, ama şöyle de yapabiliriz - 3 x üzeri 1.

-

1 çarpı 3 eşittir 3 çarpı x üzeri 0.

Ve 10 çarpı eksi 1 bölü 10.

Bu da eksi 1.

x üzeri 10 eksi 1, yani x üzeri 9, artı - bir sabitin türevi nedir?

-

0'dır.

Sabiti, sayı çarpı x üzeri 0 olarak düşünebilirsiniz.

-

Ve türevi aldığınızda, 0 çarpı c elde edersiniz, bu da 0 olur.

-

-

-

-

Burada 0 olur ve sadeleştirdiğinizde, 3 x üzeri eksi 5 eksi 7 x küp artı 3 eksi x üzeri 9 buluruz.

-

Sanırım bir soruluk daha zamanımız var.

Anladığınızı düşünüyorum.

Matematikte öğreneceğiniz en basit konulardan biri, bu.

-

İlerideki sunumlarda, terstürevin faydalarını da anlatacağım.

-

Şu anda belirsiz integrali öğreniyoruz, ama birkaç sunum sonra, belirli integrali öğrendiğimizde, eğri altındaki alan veya döndürülme ile oluşan bir cismin hacmini hesaplayabileceğiz.

-

-

-

-

Neyse, kafanızı fazla karıştırmak istemiyorum.

Bir soru daha yapalım.

Bunu bir önceki kadar zor yapmayacağım.

Eksi 1 bölü 2 x üzeri eksi 3 artı 7 x üzeri 5.

Bu terimle başlayalım.

Üssü 1 artırırız, yani x üzeri eksi 2, çünkü eksi 3'e 1 ekledik.

-

Sonra, eski katsayıyı 1 bölü bu yeni üsle çarparız.

-

Tüm adımları yazayım.

Eski katsayı, eksi 1 bölü 2.

Bu, eksi 2.

Eksi 2, yani eski katsayı çarpı eksi 1 bölü 2.

-

Artı, üssü 1 artıralım, x üzeri 6, ve eski katsayıyı 1 bölü yeni katsayıyla çarpalım, çarpı 1 bölü 6.

-

-

Yani cevap nedir?

Eksi 1 bölü 2 çarpı eksi 1 bölü 2 nedir?

1 bölü 4 x üzeri eksi 2.

Ve tabii ki artı c.

Quizlerde bu c yüzünden puan kaybettiğimi tahmin etmişsinizdir.

-

1 bölü 4 x üzeri eksi 2 artı 7 bölü 6 x üzeri 6 artı c.

İşte böyle.

Türevi almak isterseniz, eksi 2 çarpı 1 bölü 4 eşittir eksi 2 bölü 4, yani eksi 1 bölü 2 x üzeri eksi 3. Ve, 6 çarpı 7 bölü 6 eşittir 7 x. Üssü 1 azaltırız, x üzeri 5.

-

-

-

-

Sabitin türevi de 0'dır.

Ve başlangıçtaki ifadeyi buluruz.

Umarım, artık polinom türevi ve terstürevi almak konusunda kendinizi rahat hissedersiniz.

-

-

-

Artı c'yi unutmayın.

Ve umarım neden bu sabiti buraya koymamız gerektiğini anlıyorsunuz.

Çünkü terstürev aldığınızda orijinal fonksiyonun burada bir sabiti olup olmadığını bilmiyorsunuz. Sabitin türevi 0 olduğu için, türevde sabiti göremezsiniz.

-

-

Umarım bu son cümleyle kafanızı karıştırmışımdır.

Bir sonraki videoda görüşürüz.

Size zincir kuralının tersini almayı göstereceğim.

Yakında görüşürüz.