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不定积分 （第二部）

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    欢迎回来
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    在这个视频中 我会解一些例题
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    取多项式的反导数 或者说是不定积分
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    希望这样下来
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    你能觉得这是蛮直截了当的事
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    所以我们开始吧
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    如果我想取不定积分——
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    你可以上网搜索一下积分
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    图会画得比较像样 --取不定积分--
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    让我把它写得大一些
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    比如说我想取。。。
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    3x^(-5) - 7x^3 + 3 -x^9 的不定积分
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    你可能会被这个给吓到了
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    嗯 如果你观看了上个视频
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    或者你已经了解了 你会发现
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    这个不定积分
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    虽然看起来很是花俏 其实不然
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    至少并不会很难计算
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    你只需了解
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    如果我们取一个多项式的微分
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    那只是每一个项的微分的总和
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    所以这其实是反过来做的
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    这整个式子的反微分只是
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    每一个单独的项的反微分的和
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    所以我们可以取每一项的反微分
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    加在一起 答案就呼之欲出
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    所以这等于什么？
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    嗯 在这里 3x^(-5)
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    所以我们取指数 加上 1
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    所以我们有 x^(-4)
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    把系数除以新的指数
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    所以 1 除以新的指数等于 -1/4
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    所以 3 乘于 -1/4 等于 -3/4
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    所以我们再瞧瞧 这里我们有 x^3
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    作为x^3的替换 我们把这项的指数加 1
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    我们得到 x^4
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    然后再乘系数
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    你知道 我们可以把负号排除
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    说系数是 7
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    或者系数是 -7
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    我们把系数除以新的系数
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    所以新的系数是 4 所以我们乘于 1/4
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    这里是 -7 所以是 -7/4
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    现在这开始变得有趣了
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    3 这只是 3
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    所以我们怎么如何应用这个
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    嗯 3 和 3 乘于 x^0 是不是一样的？
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    对 因为 x^0 等于 1
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    这是你如何对待这项的方式
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    这条规则其实是很前后一致的
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    所以 3 的导数是多少呢？
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    嗯 如果我们把 3 看成是 3 x^0
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    我们将指数加 1 现在是 x^1
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    x^1 是等于 x
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    所以我只把它写成 x
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    再乘于之前的系数 这个3
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    即这个导数系数
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    我们乘于 1 除以新指数
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    所以指数是 1 而 1 的倒数是 1
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    所以这还是等于 3
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    我们已经将 3 乘于 1/1 结果还是 3
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    最后一项是 x^9 ——
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    我想你已经开始上手了——
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    我们把指数加上 1 变成 x^10
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    然后再乘于现在的系数
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    嗯 现在的系数是 -1 对吗？
  • 3:50 - 3:51
    我们不只写 1
  • 3:51 - 3:55
    我们把现在的指数乘于 -1
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    再乘于 1 除以新的指数 所以是 -1/10
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    我们完成了
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    取反导数的过程并不难吧——
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    我又忘了——
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    加 c 对吗？
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    因为当你取任何常数的导数
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    它都会变成 0 所以它可能会在那儿就不见了
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    所以这个 c 是任何常数
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    这可能是 10 可能是 100万
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    可能是 -1000000000000
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    这是任何常数
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    而如果要再追根究底的话
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    我们取这的导数
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    确定我们的答案准确无误
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    希望你已经熟能生巧了
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    你知道因为你太过热爱解数学题
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    而把课本上的练习题都做完了
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    你可以自己想题目来解
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    这就是我在做的事
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    我不在录制视频的时候都在解题 自娱娱人嘛
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    所以让我们取这的导数
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    -4 乘于这系数
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    -4 乘于 -3/4 是 3x
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    然后再从指数减去 1 是 -5
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    4 乘于 4 是 -7x 的——
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    我们从指数减去 1——三次方
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    我保证我甚至都没偷看答案
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    我知道你可能正嘀咕着：“嗯 Sal 他只是在看上面的答案”
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    不是这样的 我其实在头脑中计算这些
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    加上 3x 的导数
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    嗯 3x 的导数是 3 ——已经十分熟练了
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    你也可以和我一样——
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    而你说 1 乘于 3 是 3 乘于 x^0
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    10 乘于 -1/10
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    嗯 答案是 -1
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    x^10 所以是 x^9 + ——
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    任何常数的导数是什么？
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    对了 是 0
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    你可以把常数看成是
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    任意一个号码乘于 x^0
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    而如果你取导数
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    嗯 你把 0 乘于 c 都会得到 0
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    嗯 你可能会得到 -1 取决于之前你怎么做
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    而这其实是蛮有趣的问题
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    OK 我离题太久了
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    你在这得到 0 而如果你简化这项的话
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    那只是 3x^-5 - 7x^3 +3 -x^9
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    我想我们还有时间再解一题
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    我想你可能已经算出来了
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    这或许是在数学中
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    其中一个比较直接的事
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    在之后的视频里
  • 6:24 - 6:30
    我会说明为何反导数如此有用
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    我们在学习不定积分
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    但我们可以学习如何使用定积分
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    通过后面二个视频课程学习
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    比方说曲线下的面积
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    旋转体的体积等等
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    希望我没有让你感到混淆
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    再解多一题吧
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    我不会让你解太复杂的题
  • 6:48 - 7:06
    所以 -(1/2)*x^(-3) + 7x^5 的积分
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    我们从多项式的第一项开始
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    我们把指数加 1 所以现在是 x^(-2)
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    因为我们把 -3 加上 1
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    然后我们乘于 1 除以新指数
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    再乘于旧的系数
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    我会把每一步都写出来
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    所以旧系数是 -1/2
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    所以这是 -2
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    -2 乘于 -1/2
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    让我换颜色
  • 7:44 - 7:49
    加上这项 把指数加 1 变成 x^6
  • 7:49 - 7:53
    我们把旧系数乘于以
  • 7:53 - 8:01
    1 除以新的指数 乘上 1/6
  • 8:01 - 8:03
    所以答案是什么？
  • 8:03 - 8:05
    嗯 -1/2 乘于 1/2 等于多少？
  • 8:05 - 8:11
    那是 1/4*x^(-2)
  • 8:11 - 8:13
    当然还有加上 c
  • 8:13 - 8:16
    你可以看得出来 我都是在这点上
  • 8:16 - 8:21
    在微积分的测验里丢分
  • 8:21 - 8:31
    1/4x^(-2) + 7/6x^6 + c
  • 8:31 - 8:32
    完成了
  • 8:32 - 8:35
    所以如果你想取这答案的导数 -2 乘于 1/4
  • 8:35 - 8:40
    是 -2/4 等于 -1/2 x^(-3)
  • 8:40 - 8:44
    然后 6 乘于 7/6 是 7x
  • 8:44 - 8:46
    把指数减 1
  • 8:46 - 8:47
    x^5
  • 8:47 - 8:50
    常数的导数是 0
  • 8:50 - 8:53
    然后我们得到了原本的式子
  • 8:53 - 8:57
    希望现在你能轻松地
  • 8:57 - 8:59
    取多项式的导数
  • 8:59 - 9:02
    然后更进一步 学会如何取多项式的反导数
  • 9:02 - 9:04
    也就是倒过来做
  • 9:04 - 9:07
    千万别忘记加 c
  • 9:07 - 9:08
    希望你能明白为何这 c 的重要性
  • 9:08 - 9:14
    因为当你取反导数的时候
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    你并不知道这导数之前的函数
  • 9:17 - 9:21
    究竟有没有个常数 因为常数一被微分就变成 0 了
  • 9:21 - 9:22
    希望我没让你觉得困惑
  • 9:22 - 9:24
    下个视频
  • 9:24 - 9:26
    我会教你如何反过来做链式法则
  • 9:26 - 9:28
    下回见
Title:
不定积分 （第二部）
Description:

例题：取多项式的不定积分
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Video Language:
English
Duration:
09:28
Alex Mou edited Chinese, Simplified subtitles for Indefinite integrals (part II)
Kin Guan Wee added a translation

Chinese, Simplified subtitles

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