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Indefinite integrals (part II)

  • 0:01 - 0:02
    歡迎回來
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    在這個影片中 我會解一些例題
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    取多項式的反導數 或者說是不定積分
  • 0:08 - 0:12
    希望這樣下來
  • 0:12 - 0:14
    你能覺得這是蠻直截了當的事
  • 0:14 - 0:16
    所以我們開始吧
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    如果我想取不定積分——
  • 0:22 - 0:24
    你可以上網搜索一下積分
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    圖會畫得比較像樣 --取不定積分--
  • 0:28 - 0:31
    讓我把它寫得大一些
  • 0:31 - 0:35
    比如說我想取。。。
  • 0:35 - 0:54
    3x^(-5) - 7x^3 + 3 -x^9 的不定積分
  • 0:54 - 0:59
    你可能會被這個給嚇到了
  • 0:59 - 1:02
    嗯 如果你觀看了上個影片
  • 1:02 - 1:03
    或者你已經了解了 你會發現
  • 1:03 - 1:04
    這個不定積分
  • 1:04 - 1:07
    雖然看起來很是花俏 其實不然
  • 1:07 - 1:10
    至少並不會很難計算
  • 1:10 - 1:12
    你只需了解
  • 1:12 - 1:17
    如果我們取一個多項式的微分
  • 1:17 - 1:19
    那只是每一個項的微分的總和
  • 1:19 - 1:24
    所以這其實是反過來做的
  • 1:24 - 1:28
    這整個式子的反微分只是
  • 1:28 - 1:32
    每一個單獨的項的反微分的和
  • 1:32 - 1:33
    所以我們可以取每一項的反微分
  • 1:33 - 1:36
    加在一起 答案就呼之欲出
  • 1:36 - 1:38
    所以這等於什麽？
  • 1:38 - 1:42
    嗯 在這裡 3x^(-5)
  • 1:42 - 1:46
    所以我們取指數 加上 1
  • 1:46 - 1:51
    所以我們有 x^(-4)
  • 1:51 - 1:58
    把係數除以新的指數
  • 1:58 - 2:02
    所以 1 除以新的指數等於 -1/4
  • 2:02 - 2:09
    所以 3 乘於 -1/4 等於 -3/4
  • 2:09 - 2:13
    所以我們再瞧瞧 這裡我們有 x^3
  • 2:13 - 2:16
    作爲x^3的替換 我們把這項的指數加 1
  • 2:16 - 2:20
    我們得到 x^4
  • 2:20 - 2:22
    然後再乘係數
  • 2:22 - 2:24
    你知道 我們可以把負號排除
  • 2:24 - 2:25
    說係數是 7
  • 2:25 - 2:27
    或者係數是 -7
  • 2:27 - 2:31
    我們把係數除以新的係數
  • 2:31 - 2:33
    所以新的係數是 4 所以我們乘於 1/4
  • 2:33 - 2:42
    這裡是 -7 所以是 -7/4
  • 2:42 - 2:45
    現在這開始變得有趣了
  • 2:45 - 2:47
    3 這只是 3
  • 2:47 - 2:48
    所以我們怎麽如何應用這個
  • 2:48 - 2:54
    嗯 3 和 3 乘於 x^0 是不是一樣的？
  • 2:54 - 2:56
    對 因爲 x^0 等於 1
  • 2:56 - 2:57
    這是你如何對待這項的方式
  • 2:57 - 3:00
    這條規則其實是很前後一致的
  • 3:00 - 3:03
    所以 3 的導數是多少呢？
  • 3:03 - 3:07
    嗯 如果我們把 3 看成是 3 x^0
  • 3:07 - 3:13
    我們將指數加 1 現在是 x^1
  • 3:13 - 3:14
    x^1 是等於 x
  • 3:14 - 3:16
    所以我只把它寫成 x
  • 3:16 - 3:20
    再乘於之前的係數 這個3
  • 3:20 - 3:22
    即這個導數係數
  • 3:22 - 3:26
    我們乘於 1 除以新指數
  • 3:26 - 3:29
    所以指數是 1 而 1 的倒數是 1
  • 3:29 - 3:33
    所以這還是等於 3
  • 3:33 - 3:38
    我們已經將 3 乘於 1/1 結果還是 3
  • 3:38 - 3:40
    最後一項是 x^9 ——
  • 3:40 - 3:41
    我想你已經開始上手了——
  • 3:41 - 3:46
    我們把指數加上 1 變成 x^10
  • 3:46 - 3:48
    然後再乘於現在的係數
  • 3:48 - 3:50
    嗯 現在的係數是 -1 對嗎？
  • 3:50 - 3:51
    我們不只寫 1
  • 3:51 - 3:55
    我們把現在的指數乘於 -1
  • 3:55 - 4:02
    再乘於 1 除以新的指數 所以是 -1/10
  • 4:02 - 4:03
    我們完成了
  • 4:03 - 4:06
    取反導數的過程並不難吧——
  • 4:06 - 4:10
    我又忘了——
  • 4:10 - 4:11
    加 c 對嗎？
  • 4:11 - 4:13
    因爲當你取任何常數的導數
  • 4:13 - 4:15
    它都會變成 0 所以它可能會在那兒就不見了
  • 4:15 - 4:17
    所以這個 c 是任何常數
  • 4:17 - 4:19
    這可能是 10 可能是 100萬
  • 4:19 - 4:21
    可能是 -1000000000000
  • 4:21 - 4:23
    這是任何常數
  • 4:23 - 4:26
    而如果要再追根究底的話
  • 4:26 - 4:28
    我們取這的導數
  • 4:28 - 4:31
    確定我們的答案準確無誤
  • 4:31 - 4:33
    希望你已經熟能生巧了
  • 4:33 - 4:35
    你知道因爲你太過熱愛解數學題
  • 4:35 - 4:37
    而把課本上的練習題都做完了
  • 4:37 - 4:38
    你可以自己想題目來解
  • 4:38 - 4:42
    這就是我在做的事
  • 4:42 - 4:48
    我不在錄制影片的時候都在解題 自娛娛人嘛
  • 4:48 - 4:49
    所以讓我們取這的導數
  • 4:49 - 4:51
    -4 乘於這係數
  • 4:51 - 4:55
    -4 乘於 -3/4 是 3x
  • 4:55 - 5:00
    然後再從指數減去 1 是 -5
  • 5:00 - 5:08
    4 乘於 4 是 -7x 的——
  • 5:08 - 5:10
    我們從指數減去 1——三次方
  • 5:10 - 5:12
    我保證我甚至都沒偷看答案
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    我知道你可能正嘀咕著：“嗯 Sal 他只是在看上面的答案”
  • 5:14 - 5:17
    不是這樣的 我其實在頭腦中計算這些
  • 5:17 - 5:20
    加上 3x 的導數
  • 5:20 - 5:23
    嗯 3x 的導數是 3 ——已經十分熟練了
  • 5:23 - 5:26
    你也可以和我一樣——
  • 5:26 - 5:32
    而你說 1 乘於 3 是 3 乘於 x^0
  • 5:32 - 5:35
    10 乘於 -1/10
  • 5:35 - 5:37
    嗯 答案是 -1
  • 5:37 - 5:44
    x^10 所以是 x^9 + ——
  • 5:44 - 5:46
    任何常數的導數是什麽？
  • 5:46 - 5:48
    對了 是 0
  • 5:48 - 5:50
    你可以把常數看成是
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    任意一個號碼乘於 x^0
  • 5:54 - 5:55
    而如果你取導數
  • 5:55 - 5:59
    嗯 你把 0 乘於 c 都會得到 0
  • 5:59 - 6:01
    嗯 你可能會得到 -1 取決於之前你怎麽做
  • 6:01 - 6:03
    而這其實是蠻有趣的問題
  • 6:03 - 6:04
    OK 我離題太久了
  • 6:04 - 6:06
    你在這得到 0 而如果你簡化這項的話
  • 6:06 - 6:16
    那只是 3x^-5 - 7x^3 +3 -x^9
  • 6:16 - 6:18
    我想我們還有時間再解一題
  • 6:18 - 6:20
    我想你可能已經算出來了
  • 6:20 - 6:22
    這或許是在數學中
  • 6:22 - 6:23
    其中一個比較直接的事
  • 6:23 - 6:24
    在之後的影片裏
  • 6:24 - 6:30
    我會說明爲何反導數如此有用
  • 6:30 - 6:32
    我們在學習不定積分
  • 6:32 - 6:34
    但我們可以學習如何使用定積分
  • 6:34 - 6:36
    通過後面二個影片課程學習
  • 6:36 - 6:39
    比方說曲線下的面積
  • 6:39 - 6:41
    旋轉體的體積等等
  • 6:41 - 6:43
    希望我沒有讓你感到混淆
  • 6:43 - 6:46
    再解多一題吧
  • 6:46 - 6:48
    我不會讓你解太複雜的題
  • 6:48 - 7:06
    所以 -(1/2)x^(-3) + 7x^5 的積分
  • 7:06 - 7:09
    我們從多項式的第一項開始
  • 7:09 - 7:15
    我們把指數加 1 所以現在是 x^(-2)
  • 7:15 - 7:19
    因爲我們把 -3 加上 1
  • 7:19 - 7:22
    然後我們乘於 1 除以新指數
  • 7:22 - 7:24
    再乘於舊的係數
  • 7:24 - 7:25
    我會把每一步都寫出來
  • 7:25 - 7:31
    所以舊係數是 -1/2
  • 7:31 - 7:34
    所以這是 -2
  • 7:34 - 7:42
    -2 乘於 -1/2
  • 7:42 - 7:44
    讓我換顏色
  • 7:44 - 7:49
    加上這項 把指數加 1 變成 x^6
  • 7:49 - 7:53
    我們把舊係數乘於以
  • 7:53 - 8:01
    1 除以新的指數 乘上 1/6
  • 8:01 - 8:03
    所以答案是什麽？
  • 8:03 - 8:05
    嗯 -1/2 乘於 1/2 等於多少？
  • 8:05 - 8:11
    那是 1/4x^(-2)
  • 8:11 - 8:13
    當然還有加上 c
  • 8:13 - 8:16
    你可以看得出來 我都是在這點上
  • 8:16 - 8:21
    在微積分的測驗裏丟分
  • 8:21 - 8:31
    1/4x^(-2) + 7/6x^6 + c
  • 8:31 - 8:32
    完成了
  • 8:32 - 8:35
    所以如果你想取這答案的導數 -2 乘於 1/4
  • 8:35 - 8:40
    是 -2/4 等於 -1/2 x^(-3)
  • 8:40 - 8:44
    然後 6 乘於 7/6 是 7x
  • 8:44 - 8:46
    把指數減 1
  • 8:46 - 8:47
    x^5
  • 8:47 - 8:50
    常數的導數是 0
  • 8:50 - 8:53
    然後我們得到了原本的式子
  • 8:53 - 8:57
    希望現在你能輕松地
  • 8:57 - 8:59
    取多項式的導數
  • 8:59 - 9:02
    然後更進一步 學會如何取多項式的反導數
  • 9:02 - 9:04
    也就是倒過來做
  • 9:04 - 9:07
    千萬別忘記加 c
  • 9:07 - 9:08
    希望你能明白爲何這 c 的重要性
  • 9:08 - 9:14
    因爲當你取反導數的時候
  • 9:14 - 9:17
    你並不知道這導數之前的函數
  • 9:17 - 9:21
    究竟有沒有個常數 因爲常數一被微分就變成 0 了
  • 9:21 - 9:22
    希望我沒讓你覺得困惑
  • 9:22 - 9:24
    下個影片
  • 9:24 - 9:26
    我會教你如何反過來做連鎖律
  • 9:26 - 9:28
    下回見
Title:
Indefinite integrals (part II)
Description:

Examples of taking the indefinite integral (or anti-derivative) of polynomials.
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Video Language:
English
Duration:
09:28
David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

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