-
เรามีวิดีโอหลายอันเรื่องทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
-
แต่ผมจะทบทวนสักหน่อย เราจะได้
-
รู้ว่ามันเชื่อมโยงกับทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
-
ที่เราเรียนในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์อย่างไร
-
มันเชื่อมโยงกับสิ่งที่เราเรียน
-
เรื่องค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน
โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตอย่างไร
-
ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยบอกเราว่า ถ้าผมมี
-
ฟังก์ชัน f ที่ต่อเนื่องบนช่วงปิด
-
มันจะรวมจุดปลายด้วย จาก a ถึง b
-
และมันหาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์
-
นิยามบนช่วงเปิด จาก a ถึง b
-
มันไม่จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ได้
-
ตรงขอบ ตราบใดที่มันหาอนุพันธ์ได้
-
ระหว่างขอบ แล้วเรารู้ว่า
-
มันมีค่า หรือจำนวน c ตัวหนึ่ง
-
โดยที่ c อยู่ระหว่างจุดปลายสองจุดของช่วง
-
โดยที่ a น้อยกว่า c น้อยกว่า b
c อยู่ในช่วงนี้ และ
-
นี่คือเนื้อของทฤษฏีนี้
-
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดนั้น
-
คุณมองมันเป็นความชันของเส้นสัมผัส
-
ที่จุดนั้นได้ เท่ากับค่าเฉลี่ย
-
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย
ตลอดช่วงนั้น หรือคุณ
-
คิดถึงมันเป็นความชัน
ระหว่างจุดปลายสองจุดได้
-
ความชันระหว่างจุดปลายสองจุดจะเป็นการ
-
เปลี่ยนแปลงของ y ซึ่งก็คือ
-
การเปลี่ยนแปลงค่าฟังก์ชัน
-
f ของ b ลบ f ของ a, ส่วน b ลบ a
-
เราลงรายละเอียดเรื่องนี้
-
ตอนเราพูดถึงครั้งแรกในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์
-
แต่เพื่อให้คุณเห็นภาพ
-
เพราะผมว่ามันมีประโยชน์
-
ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยที่เราเรียนไป
ในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์
-
บอกเราว่า เฮ้ ดูสิ ถ้านี่คือ a นี่คือ b
-
ผมมีฟังก์ชันทำสิ่งที่น่าสนใจ
-
นี่คือ f ของ a นี่คือ f ของ b ปริมาณนี้
-
ตรงนี้ เราหาการเปลี่ยนแปลง
-
ค่าของฟังก์ชัน แล้วอันนี้ตรงนี้คือ
-
f ของ b ลบ f ของ a คือการเปลี่ยนแปลง
-
ของค่าฟังก์ชัน หารด้วยการเปลี่ยนแปลง
-
ของแกน x มันก็คือการเปลี่ยนแปลงของ y
ส่วนการเปลี่ยนแปลงของ x
-
มันจะให้ความชัน อันนี้ตรงนี้ให้
-
ความชันของเส้นตรงนี้ ความชันของเส้นตรง
-
ที่เชื่อมสองจุดนี้ นั่นคือปริมาณนี้
-
และทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยบอกเราว่า มันมี c
-
ระหว่าง a กับ b ที่คุณมีความชันเท่ากัน
-
มันมีอย่างน้อยหนึ่งแห่ง มันอาจ
-
อยู่ตรงนี้ ที่คุณมีความชันเท่ากันพอดี
-
มันมี c ที่ความชันของเส้นสัมผัส
-
ที่จุดนั้น จะเท่ากับ อันนี้จะ
-
เป็น c ตรงนี้ และเราอาจมี
-
c ได้หลายตัว นั่นอาจเป็น c อีกตัว
-
มันมี c อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ความชัน
-
ของเส้นสัมผัสเท่ากับความชันเฉลี่ย
-
ตลอดช่วง ย้ำอีกครั้ง เราต้องสมมุติ
-
ว่า f ต่อเนื่อง และ f หาอนุพันธ์ได้
-
ทีนี้ เมื่อคุณเห็นอันนี้
คุณอาจเห็นความคล้ายคลึง
-
ที่เราเห็น เวลาเราเห็นว่าเรานิยามค่า
-
หรือสูตร
-
สำหรับค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน
-
นึกดู สิ่งที่เราเห็นสำหรับค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน
-
เราบอกว่า ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันจะ
-
เท่ากับ 1 ส่วน b ลบ a สังเกตว่า 1 ส่วน b ลบ a
-
คุณมี b ลบ a ในตัวส่วนตรงนี้
-
คูณอินทิกรัลจำกัดเขตจาก a ถึง b
ของ f ของ x dx
-
ทีนี้ อันนี้น่าสนใจ เพราะตรงนี้เรามีอนุพันธ์
-
ตรงนี้เรามีอินทิกรัล แต่เราเชื่อมโยงพวกมันได้
-
เราอาจจะเชื่อมสองอย่างนี้ได้
-
สิ่งหนึ่งที่คุณอาจคิดได้ทันที
-
คือว่าเราอาจเขียน
-
ตัวเศษนี่ตรงนี้ใหม่ในรูปนี้ได้สักวิธี
-
และผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอนี้
แล้วลองดูว่าคุณทำได้ไหม
-
และผมจะให้คำใบ้สำคัญ
-
แทนที่จะเป็น f ของ x ตรงนี้ จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามี
-
f ไพรม์ของ x แทน ผมแนะนำให้คุณลองดู
-
เหมือนเดิม ขอผมเขียนทั้งหมดนี้ใหม่
-
อันนี้จะเท่ากับ --
-
อันนี้ตรงนี้เท่ากับ
-
อินทิกรัลจำกัดเขตจาก a ถึง b
ของ f ไพรม์ของ x dx
-
คิดดู
-
คุณจะหาปฏิยานุพันธ์ของ f ไพรม์ของ x
-
ซึ่งก็คือ f ของ x และคุณจะ
-
หาค่ามันที่ b, f ของ b, แล้วจากนั้น
-
คุณจะลบพจน์นั้นหาค่าที่ a, ลบ f ของ a
-
สองตัวนี้เหมือนกันเป๊ะ
-
แล้ว คุณก็หารด้วย b ลบ a ได้
-
ทีนี้ มันเริ่มน่าสนใจแล้ว
-
วิธีคิดอย่างหนึ่งคือว่า มันต้องมี c
-
ที่เท่ากับค่าเฉลี่ย
-
มันต้องมี c ที่หากคุณ
-
หาค่าอนุพันธ์ที่ c
-
มันจะเท่ากับค่าเฉลี่ยของอนุพันธ์
-
หรือวิธีคิดอีกอย่าง
-
ถ้าเราเขียน g ของ x เท่ากับ f ไพรม์ของ x
-
แล้วเราจะใกล้กับสิ่งที่เรามีตรงนี้มาก
-
เพราะอันนี้ตรงนี้จะเท่ากับ g ของ c
-
นึกดู f ไพรม์ของ c เท่ากับ g ของ c
-
เท่ากับ 1 ส่วน b ลบ a จึงมี c
-
ที่ g ของ c เท่ากับ 1 ส่วน b ลบ a
-
คูณอินทิกรัลจำกัดเขตจาก a ถึง b,
ของ g ของ x dx
-
f ไพรม์ของ x เท่ากับ g ของ x
-
วิธีคิดอีกอย่างคือว่า นี่ก็คือ
-
ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยอีกรูปหนึ่ง
-
มันเรียกว่าทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยสำหรับอินทิกรัล
-
ผมจะเขียนตัวย่อนะ
-
ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยสำหรับอินทิกรัล
หรือการอินทิเกรต
-
ซึ่งก็คือ เขียนอย่างเป็นทางการคือว่า
-
ถ้าคุณมีฟังก์ชัน g ถ้า g คือ
-
ขอผมลงมาข้างล่างหน่อย มันบอกเราว่า
-
ถ้า g ของ x ต่อเนื่องบนช่วงปิดนี้
-
จาก a ถึง b จะมี c ในช่วงนี้
-
ที่ g ของ c เท่ากับ อันนี้คืออะไร?
-
นี่คือค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันเรา
-
มันมี c โดยที่ g ของ c เท่ากับ
-
ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันเราบนช่วงนั้น
-
นี่คือนิยามค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน
-
เอาล่ะ นี่คือวิธีกล่าวทฤษฎีบท
-
ค่าเฉลี่ยของอินทิกรัลอีกวิธี
-
เพื่อแสดงว่ามันเกี่ยวข้องกันอย่างยิ่ง
-
มันใช้สัญลักษณ์คนละอย่างก็จริง แต่มัน
-
มันก็คือแนวคิดเดียวกัน
-
กับทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยที่คุณเรียน
ในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์
-
แต่ด้วยสัญลักษณ์ใหม่
-
คุณก็ตีความได้ต่างออกไปเล็กน้อย
-
เรากำลังคิดถึงมันในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์
-
เราคิดถึงการมีจุด
-
ที่ความชันของเส้นสัมผัสฟังก์ชันที่จุดนั้น
-
เท่ากับอัตราเฉลี่ย นั่นคือ
-
ตอนเราคิดในแง่อนุพันธ์ และเรา
-
คิดในแง่ของความชัน
และความชันของเส้นสัมผัส
-
ตอนนี้ ตอนเราคิดในแง่ปริพันธ์ เรากำลังคิด
-
ในแง่ของค่าเฉลี่ย
-
ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน มันมี c
-
โดย g ของ c มันมี c
-
โดยที่ฟังก์ชันหาค่าที่จุดนั้น
-
เท่ากับค่าเฉลี่ย วิธีคิด
-
อีกอย่างคือว่า ถ้าผมวาด g ของ x
-
นั่นคือ x นั่นคือแกน y นี่คือกราฟของ
-
y เท่ากับ g ของ x ซึ่งแน่นอนว่าเหมือนกับ
-
f ไพรม์ของ x แต่เราเขียนมันใหม่
-
ให้สอดคล้องกับสูตรค่าเฉลี่ย
-
และเราจะพูดถึงช่วงจาก a ถึง b
-
เราเห็นวิธีคำนวณค่าเฉลี่ยไปแล้ว
-
บางทีค่าเฉลี่ยคือค่านั่นตรงนั้น
-
แล้ว g เฉลี่ย ค่าเฉลี่ยของเราคือค่านี้
-
ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยสำหรับอินทิกรัลบอกเรา
-
ว่ามี c ฟังก์ชันของเรามีค่าตามนั้น
-
ที่ c โดย c นั้นอยู่ข้างใน
-
โดย c อยู่ในช่วงนั้น
Khan Academy
