Định lý giá trị trung bình cho tích phân

Chúng mình có rất nhiều video về định lý về giá trị trung bình

nhưng mình vẫn sẽ ôn lại về nó 1 chút, để xem

định lý mà ta đã học

ở môn Phép tính vi phân,

có thể liên hệ như thế nào với

giá trị trung bình của hàm số bằng tích phân xác định.

Vậy định lý trung bình cho ta biết nếu mình có

1 hàm số f liên tục trên 1 khoảng đóng,

và bao gồm cả các điểm nút, từ a đến b,

và nó khả vi, vậy đạo hàm

được xác định trên 1 khoảng mở, từ a đến b

và không nhất thiết phải khả vi

ở các giới hạn, miễn là nó khả vi

ở giữa các giới hạn đó, thì ta biết

sẽ tồn tại 1 giá trị c nào đó

nằm giữa 2 điểm nút của khoảng,

thỏa điều kiện c lớn a, nhỏ hơn b, nên c sẽ nằm trong khoảng, VÀ

đây là điểm quan trọng,

đạo hàm của hàm số tại điểm đó

có thể được dùng làm hệ số góc của tiếp tuyến

tại điểm đó, sẽ coi như là bằng

tốc độ biến thiên trung bình trên khoảng,

hoặc bạn có thể xem như nó là hệ số góc giữa 2 điểm nút.

Vậy hệ số góc giữa 2 đầu mút sẽ là

biến thiên (delta) y, nó cũng là

biến thiên của giá trị hàm số,

vậy f của , trừ f của a phần b trừ a,

và 1 lần nữa ta sẽ phân tích chi tiết định lý này

như đã làm lần đầu ở Phép tính vi phân,

và mình sẽ vẽ đồ thị để bạn dễ hình dung

vì mình nghĩ nó rất hữu ích.

Định lý giá trị trung bình ta đã học ở Phép tính vi phân

cho ta biết, nếu đây là a, đây là b,

và mình cho hàm số có hình ngẫu nhiên,

vậy đây là f của a, đây là f của b, và giá trị

của vế này

Mình sẽ nói kỹ hơn trên hình

là f của b trừ f của a, chính là

giá trị biến thiên của hàm số, chia cho

biến thiên của trục x, vậy đó sẽ là biến thiên của y phần biến thiên của x

sẽ ra được hệ số góc, phần này sẽ là

hệ số góc của đường này. đường mà

liên kết 2 điểm này lại, là vế này đây

và định lý giá trị trung bình cho ta biết có 1 điểm c

giữa a và b sẽ cho ta 1 hệ số góc trùng với a hoặc b,

và sẽ có ÍT NHẤT 1 điểm, có thể là

ở đây, tồn tại hệ số góc trùng b

Mình nhắc lại, có 1 điểm c mà hệ số góc của tiếp tuyến

tại điểm đó sẽ trùng với, để mình đánh dấu

c ở đây, và cũng có thể có

nhiều điểm c, và điểm c ở đây cũng có thể.

Miễn là sẽ có ít nhất 1 điểm c mà hệ số góc

của tiếp tuyến cũng chính là hệ số góc trung bình

trên khoảng, và 1 lần nữa

mình giả sử f liên tục và khả vi.

Khi bạn nhìn ở đây, bạn có thể thấy vài điểm tương đồng

với định nghĩa

của..., có thể gọi đại khái là công thức

của giá trị trung bình của hàm số.

Nhớ lại, khi chúng ta nói về giá trị trung bình của hàm số,

ta nói nó sẽ bằng

1 phần b trừ a, giống với

phần mẫu số bên này,

nhân cho tích phân xác định từ a đến b của f của x, dx.

Đến phần thú vị đây, khi ta có 1 đạo hàm ở đây

và 1 tích phân ở đây, nhưng ta có thể liên kết chúng lại với nhau.

Mình sẽ thử liên kết chúng.

1 cách bạn có thể thử là

viết lại

tử số bên này thành dạng bên này.

Và mình khuyên bạn nên dừng video lại và làm thử,

mình cũng sẽ cho bạn 1 gợi ý lớn là,

thay vì là f của x ở đây, nếu là

đạo hàm f phẩy của x ở đó thì sao, bạn hãy làm thử xem.

Để mình viết lại cả phần này,

phần này sẽ là...

bằng chính xác với

tích phân xác định từ a đến b của f phẩy x, dx.

Nghĩ thử xem.

Ta có thể lấy nguyên hàm của f phẩy của x,

chính là bằng f của x, sau đó

tính giá trị tại b, hay f của b, rồi từ đó

bạn trừ nó cho f của a... trừ f của a.

2 phần này là giống nhau.

Sau đó, bạn phải chia thêm cho b trừ a.

Càng ngày càng thú vị rồi.

1 cách khác để nghĩ là phải có 1 c

mà tại đó tìm ra được...

Mình lặp lại, phải có 1 c, mà khi

bạn tính đạo hàm tại c,

nó sẽ là giá trị trung bình của đạo hàm bên này.

Hoặc 1 cách làm khác,

ta có thể đặt g của x bằng với f phẩy của x,

thì nó sẽ gần giống với phần bên này,

vì nó sẽ trở thành g của c,

và đồng thời f phẩy của chính là g của c,

bằng 1 phần b trừ a, vậy sẽ tồn tại 1 c

mà g của c bằng 1 phần b trừ a,

nhân với tích phân xác định từ a đến b của g của x, dx.

f phẩy của x cũng chính là g của x.

Và 1 cách khác nữa là,

và đây cũng là 1 dạng khác của định lý giá trị trung bình,

được gọi là định lý giá trị trung bình cho tích phân.

Mình sẽ viết tắt,

định lý giá trị trung bình cho tích phân, hay phép lấy tích phân,

nó cũng là, để mình viết bằng dạng

quy tắc hơn là, nếu bạn có 1 hàm số g,

để mình kéo xuống 1 tí, mà cho trước

g của x liên tục trên khoảng đóng

từ a đến b, thì sẽ tồn tại 1 điểm c trong khoảng

mà tại đó, g của c sẽ bằng với phần này, là gì nào?

Nó là giá trị trung bình của hàm số.

Vậy, sẽ tồn tại 1 điểm c mà tại đó, g của c sẽ bằng

giá trị trung bình của hàm số trên khoảng.

Đây là định nghĩa của giá trị trung bình của hàm số.

Đây chỉ là 1 cách nói khác

của định lý giá trị trung bình của tích phân.

và mục đích là để thấy

ngay cả khi cách định nghĩa là khác,

nhưng ý chính vẫn giống hoàn toàn

với định lý giá trị trung bình bạn đã học ở Phép tính vi phân,

nhưng với 1 cách định nghĩa khác thì

bạn có thể có cách hiểu khác đi 1 tí.

Chúng ta đã áp dụng cách đã học ở Phép tính vi phân,

là sẽ có 1 điểm mà tại đó

hệ số góc của tiếp tuyến của hàm số tại điểm đó

cũng chính là tốc độ trung bình,

và chúng đang dùng tư duy vi phân, khi ta xét

hệ số góc và hệ số góc của tiếp tuyến,

và bây giờ khi dùng tư duy tích phân,

ta có thể chú ý hơn đến giá trị trung bình

của hàm số, vậy sẽ có 1 điểm c mà tại đó

g của c, hay

hàm số tính tại điểm đó

sẽ bằng với giá trị trung bình, hoặc 1 cách nghĩ khác là

nếu mình vẽ đồ thị hàm số g của x,