Inverse Trig Functions: Arccos

Əvvəlki videolarda arksinus və arktangens
haqqında danışmışdıq.

Bu video isə arkkosinus haqqında olacaq.

Arkkosinusda da əsas fikir digər tərs

funksiyalarda olduğu kimidir.
Arkkosinus x-in tetaya bərabər

olduğunu hesab edin.
arccos x = Θ.

Bunu belə yaza bilərik:
cos^(-1)x = Θ.

Bunlar iki eyni ifadənin müxtəlif formalarda
yazılışıdır.

Hər hansı bir tərs funksiya gördükdə, dərhal onun

nə demək olduğunu yada salmalıyıq.

Hər hansı bir Θ bucağının kosinusunu tapdıqda x alınır.

Bu ifadələrin hər birinin mənası eynidir.
Bu iki ifadədən biri

buna çevrilir. "cos^(-1)x nəyə bərabərdir?" dedikdə,

"hansı bucağın kosinusu x-a bərabərdir?" nəzərdə tutulur.

Gəlin bir nümunəyə nəzər salaq.
Bizə arkkosinus funksiyası verilib.

Arccos(-1/2) funksiyasını hesablamaq tələb olunur.

Bu funksiyanın hər hansı bir bucağa bərabər
olduğunu hesab edək.

Həmin bucağın kosinusunu hesabladıqda,

-1/2 alınır. Bunu belə düşündükdə,
hesablamaq daha asan olur.

Gəlin burada vahid bir çevrə çəkək və misalı

həll etməyə çalışaq. Bir qədər düz çəkməyə çalışacam.

Bəlkə də, xətkeşdən istifadə etsəm daha yaxşı olar.

Bəlkə onda daha düz çəkə bilərəm.
Yox, bu çox çətindir.

Bu y oxudur, bu isə x oxudur. Çox səliqəli olmasa da,
işimizə yarayacaq.

İndi isə vahid çevrəni çəkək. Daha çox ovala
bənzədi, ancaq siz əsas fikri

anladınız. Bucağın kosinusu vahid çevrədəki

x-in qiyməti ilə müəyyən edilir. Burada bir bucaq olsa,
x-in qiyməti

-1/2-ə bərabər olar. Bu -1/2 nöqtəsidir.

Burada tapmalı olduğumuz bucaq Θ bucağıdır. Həmin bucaq

çevrə ilə kəsişdikdə, x-in qiyməti -1/2-ə bərabər olur.
Gəlin baxaq. Bu bucaq

tapmalı olduğumuz bucaqdır. Teta bucağını
müəyyən etməliyik. Bunu necə edə bilərik?

Bu -1/2 olarsa, buradakı müxtəlif bucaqları
tapmağa çalışaq.

Bunun üçün əvvəlcə bu bucağı müəyyən etməyə
çalışacam.

180 dərəcədən burada göstərilən bu bucağı çıxsam,

bu açıq mavi rənglə göstərilən bucağın ölçüsünü taparam.

Gəlin buradakı üçbucağı bir qədər böyük çəkək.

Həmin üçbucaq belə görünür. Buradakı məsafə bu məsafə ilə
eynidir.

Həmin məsafə 1/2-dir. Bu məsafə 1/2-dir.
Bu hissənin uzunluğu isə 1-dir.

Bu üçbucağın ölçüləri 30-60-90 dərəcədir.

Bu tərəfin uzunluğunu tapa bilərik.
Bu tərəf kökaltında 3 böl 2-ə bərabərdir.

Pifaqor teoremi tətbiq etməklə, üçüncü
tərəfin uzunluğunu tapa bilərik.

Gəlin bu tərəfi a adlandıraq.

a kvadratı + 1/2 kvadratı, yəni 1/4 = 1 kvadratı, yəni 1.

Burada a kvadratı = 3/4 və ya
a = kökaltında 3 böl 2 alınır.

Bu üçbucağın bucaq ölçüləri 30-60-90 dərəcədir.
Belə üçbucaqda

hipotenuz 1, katetlərin uzunluğu isə 1/2 və
kökaltında 3 böl 2-dir.

Kökaltında 3 böl 2 tərəfinin qarşısındakı bucaq

60 dərəcədir. Bu 60-dır. Bu 90 dərəcə, yəni
düz bucaqdır. Bu isə 30 dərəcədir.

Ancaq bizə sadəcə bu bucaq lazımdır. Bu bucağın

60 dərəcə olduğunu tapdıq. Bəs
buradakı bu böyük bucaq nə qədərdir?

60 dərəcəlik bucağın qonşu bucağı nə qədərdir?
Onların cəmi 180 dərəcədir.

Belə ki, gəlin ifadəni belə yazaq:
arccos (-1/2)

120 dərəcəyə bərabərdir. Bu bucağın ölçüsü 180 - 60
dərəcədir.

Bütün bucaq 180 dərəcədir. Bu bucaq isə 120 dərəcədir.
120 + 60

180-ə bərabərdir. Bunu radianla ifadə etmək üçün
120 dərəcə vur

pi radian/180 dərəcə yazırıq. Dərəcələr
ixtisar olunur. 12/18 = 2/3. Belə ki, bu

2pi/3 radiana bərabərdir.
Bu ifadə 2pi/3 radiana bərabərdir.

Eynilə arksinus və arktangens videolarında
olduğu kimi burada da deyə bilərsiniz ki,

"2pi/3 radian arkkosinus (-1/2)-ə bərabərdirsə."

Bunu belə yaza bilərəm:
cos 2pi/3 radian = -1/2.

Bu ikisi demək olar ki, eyni ifadədir.

Vahid çevrə ətrafında dövr etməyə davam
edə bilərəm. Məsələn: buradakı nöqtəyə baxaq.

Əgər burada bu qədər məsafə qət etsək,

bu da həmçinin -1/2 olar. Yenidən 2pi dövr etsək,
yenə buraya qayıdarıq.

Burada çoxlu qiymətlər var. Buradakı bucağın kosinusunu tapsaq, -1/2 alınar.

Odur ki, arccos funksiyasının aldığı qiymətlər
çoxluğunu

məhdudlaşdırmalıyıq. Qiymətlər çoxluğunu

məhdudlaşdırmaq üçün bu yarımkürəni götürürük.

Yəni, birinci və ikinci rüblər.

Arccos x = Θ olduqda, qiymətlər çoxluğunu

məhdudlaşdırırıq. Odur ki, teta 0-dan böyük və ya

bərabər, 2pi-dən isə kiçik və ya bərabər olmalıdır.
Üzr istəyirəm, 2pi-dən yox,

pi-dən kiçik və ya bərabər olmalıdır. Buraya 0 dərəcə
və 180 dərəcə yaza bilərik.

Yəni, qiymətlər çoxluğunu bu yarımkürə ilə
məhdudlaşdırdıq.

Bu nöqtə bucağın kosinusunun 1/2-ə

bərabər olduğu yeganə nöqtədir. Bu bucağı qəbul edə
bilmərik, çünki qiymətlər çoxluğu xaricindədir.

X-in ala biləcəyi həqiqi qiymətlər nədir?
Kosinusu mənfi 1 və müsbət 1

arasında olan istənilən bucaq ola bilər.
Odur ki, arccos funksiyasının

təyin oblastı 1-dən kiçik və ya bərabər,

mənfi 1-dən böyük və ya bərabər olmalıdır.
Gəlin cavabımızı yoxlayaq.

Buradakı arccos(-1/2) ifadəsinin qiyməti

2pi/3-dir. Gəlin kalkulyatorumuzu
işə salaq.

Kosinusun tərs funksiyasını tapmalıyıq, yəni arkkosinus.

Arccos(-1/2) yəni, 0.5. Burada qəribə bir cavab alınır.

Gəlin bunun 2pi/3-ə bərabər olub-olmadığını
yoxlayaq. 2pi böl 3

gördüyünüz kimi eynilə bu cavaba bərabərdir.
Kalkulyatordan istifadə edərək, eyni cavabı aldıq.

Ancaq bu əlverişsiz cavabdır. Əslində bu doğru cavabdır,

ancaq qısa və asan cavab deyil.

Bunun 2pi/3 radian olduğunu bilmirdim.
Vahid çevrə ilə bunu hesabladıqda,

bu cavabı tapa bilirik. Gəlin bunu

maraqlı bir sualla tamamlayaq.

Sizə belə bir sual verim:
arccos x funksiyasının

kosinusunu hesablasaq, cavabda nə alınar?

Bu ifadə nəyə bərabər olar?
Buradakı ifadə, yəni

arccos x = Θ. Bu o deməkdir ki, Θ-nın kosinusu

x-ə bərabərdir. Arccos x =Θ olarsa, bunun əvəzinə

Θ yaza bilərik. Bu zaman cosΘ isə gördüyünüz kimi

x-ə bərabərdir. Yəni, bütün bu ifadənin
cavabı x-dir. Ümid edirəm, çaşdırıcı olmadı.

Arccos x = Θ.

Tərifə əsasən, cos Θ = x. Bunlar

bərabər ifadələrdir. Onlar tamamilə eyni mənalı
ifadələrdir.

Buraya Θ yazsaq, cos Θ

x-ə bərabər olmalıdır. Daha bir sual soruşum:

Bu, istənilən x qiyməti üçün doğrudur.

X-in mənfi bir və müsbət bir arasındakı istənilən
qiyməti üçün bu ifadə

doğrudur. Sualımıza qayıdaq:
arccos(cosΘ) ifadəsinin cavabı nədir?

Bu ifadənin cavabı nəyə bərabərdir?

Bu Θ-dan asılıdır. Əgər Θ-nın qiyməti

0 və pi aralığında olarsa, bu bizim qiymətlər

çoxluğumuzdur, o zaman bu ifadə Θ-a bərabər olacaq.

Bu Θ üçün doğrudur. Bəs qiymətlər çoxluğu
xaricində bir qiymət götürsək necə?

Gəlin bu aralıqdan bir Θ götürək.

arccos(cos.. gəlin bildiyimiz qiymətlərdən

birini götürək.
Arccos(cos2pi/3).

Cos 2pi/3 radian = arccos(-1/2),

cos 2pi/3 = -1/2. Bunu videonun əvvəllərində görmüşdük.

Bu ifadə 2pi/3-ə bərabərdir.

Θ 0 və pi aralığında olarsa, bu cavab doğrudur, çünki

arccos funksiyası yalnız 0 və pi aralığında qiymət alır.

Arccos(cos 3pi) ifadəsinin cavabı

nəyə bərabərdir? Gəlin buraya

vahid bir çevrə çəkək. Bunlar qrafik oxlarıdır.
3 pi nədir? 2 pi tam bir

dövr deməkdir. Daha bir pi getsək, dövrü burada tamamlayırıq.

Odur ki, vahid çevrədə bir tam və yarım dövr etdik.
Yəni, 3 pi. Buradakı x koordinatı nədir?

-1-dir. Odur ki, cos 3pi -1-ə bərabərdir.

Bəs arccos(cos -1) nəyə bərabərdir? Yadda saxlayın:

Arkkosinusun ala biləcəyi qiymətlər çoxluğu

sadəcə pi və 0 arasında ola bilər.
Odur ki, arccoos -1

pi-ə bərabərdir. Bu ifadənin cavabı pi-dir.

Bu hissə -1-ə bərabərdir. Arccos -1 = pi.

Bu, kifayət qədər məntiqə uyğundur, çünki
3pi və pi arasındakı fərq

vahid çevrə ətrafında bir neçə dəfə dövr etməkdən
ibarətdir.

Beləliklə, vahid çevrə üzərində bərabər nöqtələr
əldə edə bilirik.

Bu iki ifadənin hər birinə diqqətlə baxın.

Burada yazdığıma nəzər salın. Bu çox əlverişlidir.

Bu ifadənin cavabı həmişə x-ə bərabərdir.
Bunu sinusla da edə bilərik: sin(arcsin x) də

həmçinin x-ə bərabərdir. Bu çox əlverişli bir ifadədir.

Bunu əzbərləməyə ehtiyac yoxdur, çünki əzbərləsəniz,
qarışdıra bilərsiniz.

Bir az diqqətli olsanız, heç vaxt unutmayacaqsınız.